[原创]杜国平探析潜无穷和实无穷

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[watermark]二、杜国平探析潜无穷和实无穷
南京大学现代逻辑与逻辑应用研究所的杜国平教授也认为：“ 没有任何问题能像无穷那样如此深刻地影响人类的精神----任何一个问题都不曾如此有效地激励人们的心智；也没有任何概念比无穷更需要澄清”----约公元前611-546年米利都学派的阿那克西曼德就说：“任何东西，如果不是本原，就是来自本原；然而无限者没有本原，因为说无限者有本原就等于说它有限。它作为本原，是不生不灭的。凡是产生出来的东西，都要达到一个终点，然而有终点就是有限。所以说，无限者没有本原，它本身就是别的东西的本原，包罗一切，支配一切。”但我们却认为，作为虚拟世界，可以化简为一种数字化生存，而且数联系信息传输也是一种数字化生存。
化简的数字，在数轴上是一些点。从应行仁教授谈芝诺悖论困扰现状，到杜国平教授探析潜无穷和实无穷，都没有正面回答为什么到现在，很多人还以为“点”无奇特可言？因为如果人们对“点”的认识不清，那么要揭示芝诺悖论、实无穷、潜无穷、极限等难题，就是一句空话。其实数学的点，已经是一个高度组织化了的点。
即使微分流形的概念和构造，也是从欧氏空间的概念和有关的构造脱胎而来的。
n维欧氏空间是n维微分流形最简单的例子和模型。然而n维欧氏空间不能用直观的方法去建立，只能通过公理化的方式将它建立在n维向量空间及n维欧氏向量空间的基础上，这虽然可行，但却掩盖了它难以逃出沿点线面体发散的巢穴：
（1）黎曼几何张量的突破仍是从点体出发的流动，而没有产生向物体内部作运动的反向思维；
（2）向物体内部作运动的想法来自物质无限可分的观念，然而一般的物质无限可分说，也类似黎曼采用旧的点体观，即它是把物质分成类似无限个更小的球面，而没有产生“自手术”的向物质内部作孔穿过的想法；
（3）传统数学中运用的环面，无三旋。遇到类似地球磁场兼有环面问题，也仅是从一般的整体直观外表去认识，没有看到宏观物体虽类似不能穿过地球，但从微观来说，如磁场磁力线，仍可以从北极出南极进作运动；这就构成了一个从球面转变到环面“变脸”的自手术的整体运动。
（4）所谓“圆点哲学”、“圆圈哲学”，也主要是指事物由旋转运动而形成的完美曲线和球形态。例如它所讲的自旋、循环、周期、整体、大小、层次、无限律、同构律、变化律、全息律、和谐律、均衡律、交换律、逆向律、双旋律、因果律、宏观宇宙之圆、中观万物之圆、微观世界之圆、人体结构之圆、人生环形跑道之圆、社会及发展回旋破圆和求圆之圆、人思维螺旋辩证之圆、自然之圆、人工之圆、限度之圆、非圆之圆、误区之圆、美学之圆、分合之圆、全球之圆、统一之圆、包容之圆、系统之圆、圆满之圆、实圆生复圆、圆旋弦实旋生复旋、旋|非旋亦此亦彼，等等，都是主要以球面的自旋、循环、周期之圆取象为中心的，没有更多地考虑自手术式的类圈体的三旋规律；
（5）如果把趋于无穷小的点以圈态三旋取象，微积分的求和，不作必要的规定是困难的。如此等等，使一些著名的疑难问题饶有兴趣。
(6) 例如有人说，一切斥力、引力都是由于物质的旋转所形成的。道理是，一个球体只要让它旋转起来，在赤道处会产生斥力，由赤道向两极引力开始逐渐增大。如地球有引力，便是来自于它的自转带动了周边气体等微小物质，这些物质在地球周围都是由赤道向两极中心旋转。人站在赤道上应该被排斥而并没有被吹起来，是因为太阳同时也给了地球一个很大的压力。其次太阳也在旋转，那比地球的力场要大得多；还有银河力场会更大。这些力场都在首先压向地球赤道，在赤道上旋转起来；在力场相互对接之后，剩余的力，就是旋转的空间粒子，都会旋回它们自身。地球相比太阳银河来说要小得多，它在赤道的斥力全部被压制，这也就是为什么从赤道向两极重力逐渐增大的原因。
电子周围的磁场也是如此。由于电子自旋速度极高，转速越快力场也就越强。无论任何物质，只要放在某个地方就会受到周边粒子甚至是像辐射这样的能量的撞击，它们会填满周边任何空隙，电子自旋它们便会跟着旋转起来，由此产生了磁场。电子绕核旋转与地球绕太阳旋转稍有不同，它本身应该像太阳一样有一个固定的自转、公转轴，但由于和地球相比它太小了。空间粒子对它来说已经很大了，这些粒子不停的和电子碰撞，它是稳定不下来的。这里面还有原子核的作用，空间粒子也会作用在原子核上，核本身并不稳定，振幅也会很大。当质子和中子相遇时，它们彼此都是高速旋转，自身有很强力场，彼此相互吸引。引力比斥力大，可能是表面比较平整，它受的力场更多，宇宙、银河、太阳、地球到电子等微小物质，都会对它施加力，但斥力仍不能为零。弱力可能是由于粒子数差别较大，或是旋转力等很多方面不同，一个粒团把另一个粒团撞碎了，而碎裂的粒团已不是一个整体，迟早要瓦解。以上都可看成没有点内空间概念。
这里有人问：如果力起源于旋转，可否根据一圆一方，圆即方，方即圆；圆非圆，圆可代表一组波幅按指数增大的电磁波；三旋非三旋，亦非弦；旋弦非形非质，亦形亦质等力的碰撞截面图，测定其表面积、表面平整度、旋转速度、传递力场粒子的密度，而快速测出是何种粒子、粒团？但这里也涉及无穷或极限实无穷、潜无穷等问题。
杜国平教授说：人们对于无穷的认识基本上可以分为两种，一种是潜无穷，一种是实无穷；德谟克里特认为原子是无穷小完成了的无穷小，因为原子本身是不能再分的。这就是一种实无穷的观点。柏拉图也是实无穷论者。第一次明确区分潜无穷和实无穷的是亚里士多德。他认为只有潜无穷，而没有实无穷。无穷只能是一种潜在的存在，而不能是一种实在的存在。他不同意柏拉图的实无穷而坚持彻底的潜无穷观点。自此以后，两种无穷观此消彼长直至今日。我国古代也同样分为潜无穷和实无穷两种。先秦典籍《尚书》中有无穷一词：“公其惟时成周，建无穷之基，亦有无穷之闻。”
惠施的《历物十事》也提出著名的：“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一。”这是历史上第一次指向探讨“点内空间”。杜国平说，同一时期提出的“辩者二十一事”命题，其中有一个命题就为“一尺之捶，日取其半，万世不竭”，这里显然包含了典型的潜无穷思想。将无穷引入了数学，晋代数学家刘徽提出，使用内接正多边形(正多边形)来求圆的面积，其中的“割之弥细，所失弥少，割之又割”，“以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，则显然也包含了潜无穷和实无穷思想。但中国古代的学者没有像古希腊学者那样直接地将无穷、潜无穷和实无穷作为自己的研究对象。
原因之一就是没有像阿基里斯永远追不上龟这种芝诺悖论具有的普及性和传播性；即使至欧几里德对无穷采取笼统的排斥态度，但到15世纪随着文艺复兴，无穷又重新引起人们的重视。如开普勒成功地使用无穷小量分析方法，求得一些曲面体的体积。牛顿和莱布尼茨使用无穷小分析方法，各自独立地提出了微积分理论。这一时期的数学家基本上都是实无穷论者。随着微积分在实践和工程上所获得的成功，实无穷占据了主导地位。但是无穷小量毕竟不是0，著名的贝克莱悖论使得这一矛盾更加激化，导致第二次数学危机对于微积分的理论基础的建构显得更加迫切。到19世纪柯西和魏尔斯特拉斯的极限理论，贯彻的彻底的潜无穷观点给微积分增强的严格的理论基础，使潜无穷又逐渐取代了实无穷的优势地位。19世纪末20世纪初康托尔是个彻底的实无穷论者，他建立的无穷集合的理论被看作是一个完成了的实体，为希尔伯特等众多数学家所接受，成为数学的一个基础理论。但也产生了不同的流派，如集合论悖论导致的第三次数学危机，直觉主义派坚持潜无穷，公理集合论派坚持实无穷，众多数学家则摇摆不定。
杜国平教授例举鲁滨逊，说他就是这类无奈。原因是1964年鲁滨逊提出两个主要原则：(1)无穷集合不论在实际上或理论上都不存在，或关于无穷集合的任何陈述或大意陈述，在字面上都简直无意义。(2)但是我们还应该如通常那样去从事数学活动，还是应该把无穷集合，当作似乎是真实存在的那样。对此杜国平对潜无穷、实无穷基本内涵及其相互关系的探析是：实无穷论者认为，无穷是一个现实的、完成的、存在的整体。潜无穷论者认为，无穷并不是已完成的，而是就其发展来说是无穷的，无穷只是潜在的。
如康托尔在《集合论基础》一书中指出：自然数序列1，2，3，…是从1开始，通过相继加1而产生的。这种通过相继加1定义有穷序数的过程，被称为“第一生成原则”。将全体有穷整数集合称为第一数类，用(Ⅰ)表示，显然其中无最大数。用一个新数ω来表示它的自然顺序没有什么不当之处，这个新数ω是紧跟在整个自然数序列之后的第一个数----第一个超穷数。这里的ω是一个数，而不是微积分中的变量∞(无穷大)。ω是“实无穷”，而∞只是“潜无穷”。从ω出发，运用第一生成原则，可以得到一个超穷数序列：ω，ω+1，ω+2，…，ω+υ，…。由自然数序列1，2，…，υ，…，到上面这个超穷数序列，这一过程运用的是“第二生成原则”：给定任意实整数序列，如果其中无最大数，则可产生一个新数，它作为这个序列的极限，定义为大于此序列中所有数的一个后继。康托尔的无穷是分层次的，一层上的无穷比其前一层上的无穷“更大”。例如所有几何曲线的数目比所有平面上点的数目大，而所有平面上点的数目又比所有整数的数目大。
希尔伯特认为：“在分析中，我们只是把无限大和无限小当作极限概念，当作某种正在到来、正在发生的东西来研究，即我们研究的是潜无限……或者当我们把一个区间的点看作同时存在的许多事物的总体时，这种无限性称为实无限性。”美国数学家丹奇克指出：“无穷的概念既不是实验的天然物，也不是逻辑的必然物；而是数学的必然物。我们对头脑的这种肯定也许是一种纯粹的幻想，然而它却是一种必要的幻想了。”以色列数学家马奥尔认为：“自然数1，2，3，……的集合是潜无穷的，因为每一个自然数都有一个后继者，然而在计数过程的每一个阶段----无论这个阶段进展到何种程度，我们遇见的元素的数目仍然是有限的。从另一方面讲，实无穷涉及到的过程在每个阶段上已经得到了无穷多次重复。整数集在按照其‘自然’顺序：……，-3，-2，-1，0，1，2，3，……排列时，就包含一个实无穷集，因为在每一个阶段都已经有无穷多个整数出现。”  
俱往矣，还看量子中国经历各种复杂的如改革开放前以阶级斗争为纲、改革开放后以经济建设为中心的考验，在实、潜无穷物质与真空、思维与存在的实践总结中获前驱。
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