怎样将定积分 ∫(0,1)e^xdx 表示为求和式的极限？

luyuanhong

这是网友 永远 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

永远

利用定积分的定义，计算\(\displaystyle\int_0^1 {{e^x}} dx\)的值。

解：令\(f(x) = {e^x}\)。

（1）分割

     在区间\([0,1]\)上等间隔地插入\(n - 1\) 个分点，把区间\([0,1]\)等分成\(n\) 个小区间\([\frac{{i - 1}}{n},\frac{i}{n}]\;(i = 1,2, \cdots ,n)\)，每个小区间的长度为\(\Delta x = \frac{i}{n} - \frac{{i - 1}}{n} = \frac{1}{n}\)。

（2）近似代替、作和

取\(\xi  = \frac{i}{n}\;(i = 1,2, \cdots ,n)\)，则

\(\begin{align}
  \int_0^1 {{e^x}} dx \approx {S_n}& = \sum\limits_{i = 1}^n {f(\frac{i}{n})}  \bullet \Delta x \\
   &= \sum\limits_{i = 1}^n {{e^{\frac{i}{n}}}}  \bullet \frac{1}{n} \\
   &= \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{e^{\frac{i}{n}}}}  \\
   &= \frac{{(1 - e){e^{\frac{1}{n}}}}}{{n(1 - {e^{\frac{1}{n}}})}} \\
\end{align}\)

（3） 取极限

\(\begin{align}
  \int_0^1 {{e^x}} dx = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n} &= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{(1 - e){e^{\frac{1}{n}}}}}{{n(1 - {e^{\frac{1}{n}}})}} \\
   &= (1 - e)\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{e^{\frac{1}{n}}}}}{{n(1 - {e^{\frac{1}{n}}})}} \\
   &= (1 - e)\mathop {\lim }\limits_{\lambda  \to 0} \frac{{{e^\lambda }}}{{\frac{1}{\lambda }(1 - {e^\lambda })}} \\
   &= (1 - e)\mathop {\lim }\limits_{\lambda  \to 0} \frac{{\lambda {e^\lambda }}}{{1 - {e^\lambda }}} \\
   &= (1 - e)\mathop {\lim }\limits_{\lambda  \to 0} \frac{{(\lambda  + 1){e^\lambda }}}{{ - {e^\lambda }}} \\
   &= (1 - e) \times [ - \mathop {\lim }\limits_{\lambda  \to 0} (\lambda  + 1)] \\
  & = e - 1 \\
\end{align} \)

luyuanhong

楼上 永远 的解答很好！已收藏。

永远

具体细节参见这个帖子

求极限 lim(n→∞)(1-e)e^(1／n)／{n[1-e^(1／n)]}

http://www.mathchina.com/bbs/for ... p;extra=#pid2459458