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[求助] (sin A)^4 的几何意义？
sin A = 对边/斜边； con A = 邻边/斜边。 那么：
(sin A)^4 或 （con A）^6 等等，能有什么任何直观的几何意义吗？[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 schaumal 在 时添加 -=-=-=-=-
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20110422 续写此文（兼回复 drc2000及波浪 两位网友昨天和今天的跟帖）
呵呵，谢谢 drc2000及波浪 两位网友的跟帖。
正如你们的图形所表明的那样：由于 0 <= sin A <= 1, 那么 （sin A)^n 当然就随着 n 的增大而变小,如果 sin A = 对边/斜边 之比值用一线段来表示，（sin A)^n 的几何意义当然就是该线段随着 n 的增大而变短。这是没有疑义的。
然而，尽管没有疑义，但似乎也没多大意义。
大家有没有想象过：在一定的约束条件下，（sin A)^n （n>=1）之几何意义（广义说也就是三角函数的几何意义），除了直观的线段比外，还可以用同样直观的几何图形的面积比呀、体积比呀什么什么的来表示？[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 schaumal 在 时添加 -=-=-=-=-
20110425 续写此文
比如：如图所示圆锥ABC中，
sinα=r/R=(πr)r/(πr)R=(πr^2)/πrR=S_d/S_c
也就是，sinα= (r（对边）)/(R（斜边）)=(S_(d ) 圆锥底面积)/(S_c 圆锥侧面积)
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 schaumal 在 时添加 -=-=-=-=-
2011/05/11 11:49pm
再试一次，看能否上图。
once again.
noch einmal.
此主题相关图片如下：
-=-=-=-=- 以下内容由 schaumal 在 时添加
如图所示圆锥ABC中，
Sinα = r/R = (πr)r / (πr)R = (πr^2)/πrR = S_d/S_c
也就是，sinα=（对边）/（斜边）= r / R = (S_d ) / (S_c) = （圆锥底面积）/（圆锥侧面积）”
也就是说，将三角函数常规的几何意义即线段比扩展成了面积比。当然，这只是一个特例，且 sinα 仍为一次。
更一般地，能否在一定的约束条件下，找到更多的、且非常直观的线段比，尤其是面积比及体积比来表示（sin A)^n，（cos A)^n，（tg A)^n 等的几何意义？
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2011/05/17 00:51am
究竟有没有人认真思考过这个问题呀？
“能否在一定的约束条件下，找到更多的、且非常直观的面积比或体积比来表示（sin A)^n，（cos A)^n，（tg A)^n 等的几何意义呀？”
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2011/05/24 02:09am
我倒是有个方法。十余年前碰巧捣鼓出一个“模型”，能非常直观的将（sin A)^n，（cos A)^n，（tg A)^n 等的几何意义用规则图形的面积比呀、体积比呀等来表示。
而且，潜意识告诉我，这会很有意义。
不过，令人纳闷的是，这数学坛子里却似乎没什么人对此感兴趣——没什么人跟帖嘛。
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2011/05/28 16:40
我喜欢自然而然，喜欢随意，不喜欢刻意。这个“模型”在自己心里已憋了十多年，其后并未刻意地去“研究”它。不过它时不时地想从心里冒出来，所以也不知道该贴出来呢，还是让它憋死在自己心里算啦，呵呵。
还有就是：不知道什么原因，似乎在这个坛子里上图总是不太顺利。郁闷 [br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 schaumal 在 时添加 -=-=-=-=-
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2011/05/31
谢谢 21楼 drc2000 ！
你说，“毕竟数学表达式和几何意义是两个不同范畴内的问题”。呵呵，是这样。
不过，知道吗，直到19世纪中叶，电和磁也被看作是两种相对不同的事物，可后来麦克斯韦在“思想实验室”中愣是把它们联系了起来，再借助于数学工具（麦克斯韦方程组），完成了电和磁的统一，表达了电磁场的本质。
再就是，我们人类目前知道自然界的力无非就是四种相互作用，也就是：强相互作用、弱相互作用、万有引力、电磁相互作用。尽管它们表面上看起来是那么的不同，但为什么人们却总是试图用一个什么“大统一理论”（grand unified theories，GUTs）去把它们统一起来呢？总是试图用同一组方程式去描述全部粒子和力的物理性质呢？这样的能表述“万物之理”（Theory of Everything，TOE）的理论或模型真的存在吗？真能被人类找到吗？呵呵，无论怎样，总值得人们一试，对吧？
再回到“毕竟数学表达式和几何意义是两个不同范畴”这个问题。借助坐标系，用代数方法研究集合对象之间关系和性质的解析几何，是不是已经是一个把数学表达式和几何（平面、立体）这两个不同范畴事物拉近了的成功范例？!
还有就是，量子力学发展迅速，逐渐地，许多物理学家甚至相信：“量子力学是普适的”。但与此同时，人们长期以来对量子理论又抱有成见——太玄。人们急于知道：与直觉相悖的量子力学原理是如何作用于我们宏观世界的？全世界的实验物理学家都在不遗余力地探索从量子力学到经典力学之间的转变。量子叠加态的“模棱两可”是在什么时候、以及是怎么样转变成“非此即彼”，即一个确定的宏观世界的？除了许多人比较认可的“退相干”（Decoherence）理论外，还有“我在这里，我在那里”的“多重世界”理论，不过“你还是需要一个自洽的理论来解释我们在这个世界中切实感受到的物理”[罗格•彭罗斯（Roger Penrose）语]。呵呵，眼见为实嘛！如果缺少了这样的理论，你“就虚论虚”，你“多重世界”理论不就显得本末倒置了吗？
所以，无论“思想实验室”也好，还是数学方法演绎也罢，人们要求有一个能自圆其说的理论“来解释我们在这个世界中切实感受到的物理”的愿望是可以理解的。也就是说，人们有“眼见为实”的愿望是自然的，是可以理解的啊。否则，“就虚论虚”才真是没有多大意义。
正是从这个意义上说，明了一个数学表达式的几何意义，除了可以帮助我们更深入地分析、理解问题外，更重要的是：人们“眼见为实”后，说不定它还隐含着更深的物理、哲学等意义呢。
一句话，任何原创性的东东，尤其是自洽的原创性东东，都是应该鼓励的。
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在我的模型中，除了三角函数可以表示为面积比、体积比外，还有许多有趣的结果。比如，在某特定条件下，甚至可得到这样的结果:
1, 两体积之差，正好等于π；
2，此时，与黄金分割数Ф（1.61803398…） 有千丝万缕的联系…
这样一来，使数学中的两个著名常数相关啦，呵呵！
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这坛子真奇怪：上图很困难，但偶尔也能上。不知为什么。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 schaumal 在 时添加 -=-=-=-=-
呵呵，在我的这个模型中，我甚至有机会碰到这样一种情况：
sin(x)=f(x)/F（x）=[f(x)+ ψ(x)]/[F（x）+ψ(x)]
也就是说，分子分母同加一个相同函数（数），其比值不变。
嘿嘿，世界真奇妙！
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在我的这个模型中，许多三角函数关系式都能得到非常直观的证明。 |
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发表于 2011-4-21 22:53
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发表于 2011-4-22 08:59
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