[讨论]三角方程的解？

qingjiao

令cosx+cos(x/2)+cos(x/3)+cos(x/4)+...cos(x/n)=n，
则x=?

drc2000

以下仅在实数范围内考虑此问题:
     因为cosx≤1;cos(x/2)≤1;cos(x/3)≤1;...;cos(x/n)≤1
     所以cosx+cos(x/2)+cos(x/3)+cos(x/4)+...+cos(x/n)≤n
        (当且仅当cosx=cos(x/2)=cos(x/3)=cos(x/n)=1时,等号成立)  
     故有cosx=1;cos(x/2)=1;cos(x/3)=1;...;cos(x/n)=1
     要使上述式子成立,
必然有x=0

qingjiao

下面引用由drc2000在 2011/05/02 04:19pm 发表的内容：
以下仅在实数范围内考虑此问题:
     因为cosx≤1;cos(x/2)≤1;cos(x/3)≤1;...;cos(x/n)≤1
     所以cosx+cos(x/2)+cos(x/3)+cos(x/4)+...+cos(x/n)≤n
        (当且仅当cosx=cos(x/2)=cos(x ...

您错了，x=0只是其中一个解。显然它还有形如x=2π*k*n!的解(k为整数），但这也只是一小部分。
谁能求出它的最小正数解，那就是。。。。。。

qingjiao

用陆教授的n倍角公式可以得到一个有限次有限项的不含三角函数的方程，但仍然太复杂。

drc2000

下面引用由qingjiao在 2011/05/02 07:53pm 发表的内容：
...x=0只是其中一个解。显然它还有形如x=2π*k*n!的解(k为整数...

的确,x=0只是其中一个解.
若需要通解的话,可以先求1,2,3...,n的最小公倍数T
则通解为x=2Tπ

qingjiao

若将cos(x/m)按幂级数展开，得到的是无穷级数方程，可能需要截取前面若干项求近似解，但次数依然很高。

qingjiao

[这个贴子最后由qingjiao在 2011/05/02 08:09pm 第 1 次编辑]

下面引用由drc2000在 2011/05/02 08:04pm 发表的内容：
的确,x=0只是其中一个解.
若需要通解的话,可以先求1,2,3...,n的最小公倍数T
则通解为x=2Tπ

现在问题就是，最小公倍数T怎样用n表示出来？
陆教授可有良策？

波浪

x = m*2π , m 是 1 到 n 所有正整数的最小公倍数。

qingjiao

下面引用由波浪在 2011/05/02 08:40pm 发表的内容：
x = m*2π , m 是 1 到 n 所有正整数的最小公倍数。

x=k*T*2π，T是1，2，3，4，...n的最小公倍数，k为任意整数（包括0）。
问题是T怎样用n表示出来？

波浪

这恐怕不是容易的问题。