可否如下证明0.999……＝1

春风晚霞

证明(反证法)：假设无限循环小数0.999……<1，则存在纯小数c使不等式0.999……<c<1成立，由c>0.999……，于是根据逐位比较法：纯小数c在小数点的后边至少存在某一数位上的数字大于9，这与9是0到9这10个数字中的最大数矛盾。所以c不存在，故假设不成立。所以无限循环小数0.999……=1。

jzkyllcjl

无尽循环小数0.333…… 来自于1被3除的运算过程中得到的针对误差界序列{1/10^n}以十进小数为项不足近似值的康托儿基本数列0.3，0.33，0.333，……，它可以简写为0.333……，并称它为无尽循环小数，它的极限是1/3, 但它本身不等于1/3。等式1/3=0.333…… 是不确切的、无根据的 张冠李戴性的错误等式。  
0.999…… 也是无穷数列0.9，0.99，0.999，……的康托尔基本数列的简写，它是无穷数列性质的变数，它的极限是1， 这个数列无限接近于1，不存在c使不等式0.999……<c<1成立，但 这个数列的极限 才等于1， 但这个数列 永远不等于1. 这个数列 不是定数，这个数列中的每一个数都小于1，例如：0.999…9（一万个9） 就小于1 。所有无尽小数都是 永远写不到底的事物都不是定数，都是理想实数的针对误差界序列{1/10^n}以十进小数为项不足近似值的康托儿基本数列的简写。  

elim

jzkyllcjl 搞不定 0.333... 的猿声啼不住。人类数学的轻舟已过万重山。

春风晚霞

从jzkyllcjl 先生“0.999…… 也是无穷数列0.9，0.99，0.999，……的康托尔基本数列的简写，它是无穷数列性质的变数，它的极限是1， 这个数列无限接近于1，不存在c使不等式0.999……<c<1成立，但 这个数列的极限才等于1， 但这个数列永远不等于1. 这个数列不是定数，这个数列中的每一个数都小于1，例如：0.999…9（一万个9） 就小于1 。所有无尽小数都是永远写不到底的事物都不是定数，都是理想实数的针对误差界序列{1/10^n}以十进小数为项不足近似值的康托儿基本数列的简写”看： jzkyllcjl 先生还是承认 康托尔实数理论的。不知先生是否知道在康托尔实数理论中是“不容许以9为循环节的小数表示实数”的（参见吉林师范大学数学系《数学分析讲义》上册P129），像0.999……；3.999……这类以9为循环节的纯循环小数或混循环小数是直接定义成1或4的（即1＝0.999……，4＝3.999……）。在康托尔实数理论中每一个数（当然包括无限循环小数和无限不循环小数）都是取值唯一的客观存在。尽管数的表现形式多样（如1＝0.999……；√2＝1.4142……）但数的本身是唯一的。jzkyllcjl 先生的“不定数”理论与康托尔实数理论是不兼容的（“不定数”理论是否正确，先生自酌）。在康托尔实数理论中“不存在c使不等式0.999……<c<1成立” ，那么0.999……就一定等于1，这是康托尔实数连续性的基本表现。当然在我们知道0.999……的极限是1的情况下，用极限的“ε－N”语言仍可证明无限循环小数0.999……＝1的。
虽然我不认同jzkyllcjl 先生的“不定数”理论，但我仍然感谢jzkyllcjl 先生回帖。

elim

jzkyllcjl 混淆了数列与数．畜生不如．

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2019-5-29 02:38
从jzkyllcjl 先生“0.999…… 也是无穷数列0.9，0.99，0.999，……的康托尔基本数列的简写，它是无穷数列性 ...

你4楼的我看了。我使用了康托尔实数理论中康托尔 基本数列的定义，但我不同意 康托尔的实数定义。他“把彼此等价的基本数列归为一类，每一类称为一个实数，记号【an】 表示与{an} 等价的基本数列类构成的实数是 α，{an} 叫做α 的一个代表。”的说法不恰当，因为：他把数列性质的变数当作定数了，把等价看作相等了。为此，笔者再提出如下的实数公理。
（实数公理）：每一个理想实数都存在着以它为极限的康托尔的以有理数为项的基本数列；除0以外的每一个理想实数都存在唯一的以它为极限的无尽小数（参看下文实例：与现行无尽小数概念不同，笔者称；无尽小数都是根据理想实数算出的针对误差界序列 以十进小数为项不足近似值的康托儿基本数列的简写）表达式，这些基本数列（包括无尽小数）收敛于这个理想实数。反之，每一个康托尔基本数列（或称以有理数为项的柯西基本数列）都存在一个唯一的理想实数（简称为实数）为其极限，而且等价(也称全能近似相等)的康托儿基本数列的极限相同。

elim

jzkyllcjl 根本不懂等价类．

Ysu2008

简洁明了。

awei

0.9999……如果是1，那么它就是有理数，哪两个整数之比是0.9999……，1/1=1，我认为不是0.99999。哥德尔不完全性定理，已经说明了很多道理，玩推磨子的的游戏有意思么

jzkyllcjl

awei 发表于 2019-5-30 14:40
0.9999……如果是1，那么它就是有理数，哪两个整数之比是0.9999……，1/1=1，我认为不是0.99999。哥德尔不 ...

0.9999……被人们说它是无尽循环小数。 根据无尽是无有穷尽的语文意义，所有 无尽小数都是永远写不到底的事物，它们都不是定数。如果研究它的实用价值，就必须把0.9999……看作是1的针对误差界序列{1/10^n}以十进小数为项的不足近似值无穷数列0.9，0.99，0.999，…… 的简写 。