猜想：形如2·3·5·7····p+1的素数只有有限个

lusishun

30030·17+1是素数吗？

lusishun

欢迎大家来寻找更大的形如2·3·5·7·11·……p+1的素数，目前只发现31，211两个啊！

yangchuanju

lusishun 发表于 2021-12-14 14:15
欢迎大家来寻找更大的形如2·3·5·7·11·……p+1的素数，目前只发现31，211两个啊！

以下8个素数都是p#+1型素数：
2, 3, 7, 31, 211, 2311, 200560490131, 1719620105458406433483340568317543019584575635895742560438771105058321655238562613083979651479555788009994557822024565226932906295208262756822275663694111

a(1) = 2 = 1 + product of the first 0 primes (i.e., the empty product = 1).

a(2) = 3 = 1 + 2 = 1 + product of the first prime (= 2).

a(3) = 7 = 1 + 2*3 = 1 + product of the first two primes.

a(4) = 31 = 1 + 2*3*5 = 1 + product of the first three primes.

a(5) = 211 = 1 + 2*3*5*7 = 1 + product of the first four primes.

a(6) = 2311 = 1 + 2*3*5*7*11 = 1 + product of the first five primes.

a(7) = 200560490131 = 1 + 2*3*5*7*11*13*17*19*23*29*31 = 1 + product of the first eleven primes,

75号素数379的阶乘379#+1是素数: 1719620105458406433483340568317543019584575635895742560438771105058321655238562613083979651479555788009994557822024565226932906295208262756822275663694111 (154)
   = prime

yangchuanju

以下7个素数都是p#-1型素数：
5, 29, 2309, 30029, 304250263527209, 23768741896345550770650537601358309, 19361386640700823163471425054312320082662897612571563761906962414215012369856637179096947335243680669607531475629148240284399976569

yangchuanju

鲁老师理解不正确，大多数p#±1不同时是素数对，但有一些是素数对，如6±1,30±1都是素数。
从已经找到的个数看，梅森素数最多，p#±1次之，费马素数再向后排，最少的是10^n+1型素数，现只找到11和101两个；10^n-1中没有一个素数。

费尔马1

yangchuanju 发表于 2021-12-14 18:06
鲁老师理解不正确，大多数p#±1不同时是素数对，但有一些是素数对，如6±1,30±1都是素数。
从已经找到的 ...

杨老师的功力深厚！找到75号素数，能判断这个数是素数，太棒了！这一点知识，当年费马、欧拉、哥德巴赫等数学家是不会的。

lusishun

yangchuanju 发表于 2021-12-14 07:53
以下7个素数都是p#-1型素数：
5, 29, 2309, 30029, 304250263527209, 2376874189634555077065053760135830 ...

究竟是无限多啊，还是有限多都是要证明的，千万不要凭感觉，

费尔马1

证明:
假设素数有限个，则2*3*5*7*……*p±1就是两个素数，而实际素数是无限多的，就说明孪生素数一直存在(这是孪生素数无限多的证明)。
这个证明同时也证明了以下三种素数永远存在:
①2*3*5*7*……*p+1型素数；
②2*3*5*7*……*p－1型素数；
③2*3*5*7*……*p±1型素数。
还有就是:
这个证明也同时证明了，不但一般的孪生素数无限多，而且，2*3*5*7*……*p±1型的孪生素数也是无限多的。

时空伴随者

设П(n)是前n个素数的连乘积，比如П(2)=6，П(3)=30，等等。
П(2) + 1 是素数
П(2) - 1 是素数
П(3) + 1 是素数
П(3) - 1 是素数
П(4) + 1 是素数
П(5) + 1 是素数
П(5) - 1 是素数
П(6) - 1 是素数
П(11) + 1 是素数
П(13) - 1 是素数
П(24) - 1 是素数
П(66) - 1 是素数
П(68) - 1 是素数
П(75) + 1 是素数
П(167) - 1 是素数
П(171) + 1 是素数
П(172) + 1 是素数
П(287) - 1 是素数
П(310) - 1 是素数
П(352) - 1 是素数
П(384) + 1 是素数
用时 29.89516544342041 秒

lusishun

规定下可以吧！
型如2·3·5·7·11·………·p+1的素数，表为：素数p！+1.
目前这一型素数，网友们找出来的不足十个，等待大家的努力。

目前发现的很少，但不保证只有有限个。