孪生素数丛

白新岭 · 发表于 2021-8-3 11:31

yangchuanju 发表于 2021-8-3 10:15
以上论及的n-孪丛，各对孪生素数之间均无其它素数；各对孪生素数之间的间距一般是不相等的。
下面给出的n- ...

yangchuanju先生又向孪生素数丛吹响了进军的号角。把孪生素数最为一个整体，研究其中项的和与差，就可以知道它们的分布情况了。

蔡家雄 · 发表于 2021-8-3 21:09

求：n(n+1)(n+2) -1 与 n(n+1)(n+2)+1 均为素数的前100个解，，，

蔡家雄 · 发表于 2021-8-3 21:11

求：n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) -1 与 n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1 均为素数的前100个解，，，，，

yangchuanju · 发表于 2021-8-4 04:21

蔡家雄发表于 2021-8-3 21:05
求：n(n+1) -1 与 n(n+1)+1 均为素数的前100个解，，

网页A002383给出n^2+n+1形式的素数10751个，标题是Primes of form n^2 + n + 1，最小的部分素数是：
3, 7, 13, 31, 43, 73, 157, 211, 241, 307, 421, 463, 601, 757, 1123, 1483, 1723, 2551, 2971, 3307, 3541, 3907, 4423, 4831, 5113, 5701, 6007, 6163, 6481, 8011, 8191, 9901, 10303, 11131, 12211, 12433, 13807, 14281, 17293, 19183, 20023, 20593, 21757……

网页A002384给出n^2+n+1形式的素数对应n值10000个，标题是Numbers n such that n^2 + n + 1 is prime，最小的部分n值是：
1, 2, 3, 5, 6, 8, 12, 14, 15, 17, 20, 21, 24, 27, 33, 38, 41, 50, 54, 57, 59, 62, 66, 69, 71, 75, 77, 78, 80, 89, 90, 99, 101, 105, 110, 111, 117, 119, 131, 138, 141, 143, 147, 150, 153, 155, 161, 162, 164, 167, 168, 173, 176, 188, 189, 192, 194, 203, 206, 209, 215 ……

yangchuanju · 发表于 2021-8-4 05:19

蔡家雄发表于 2021-8-3 21:05
求：n(n+1) -1 与 n(n+1)+1 均为素数的前100个解，，

n≤1000 n^2+n-1中素数312个 n≤1000 n^2+n+1中素数189个
n n^2+n-1 n n^2+n+1
2 5 1 3
3 11 2 7
4 19 3 13
5 29 5 31
6 41 6 43
8 71 8 73
9 89 12 157
10 109 14 211
11 131 15 241
13 181 17 307
15 239 20 421
16 271 21 463
19 379 24 601
20 419 27 757
21 461 33 1123
24 599 38 1483
26 701 41 1723
28 811 50 2551
30 929 54 2971
31 991 57 3307
35 1259 59 3541
38 1481 62 3907
39 1559 66 4423
41 1721 69 4831
44 1979 71 5113
45 2069 75 5701
46 2161 77 6007
48 2351 78 6163
50 2549 80 6481
53 2861 89 8011
54 2969 90 8191
55 3079 99 9901
56 3191 101 10303
59 3539 105 11131
60 3659 110 12211
64 4159 111 12433
65 4289 117 13807
66 4421 119 14281
68 4691 131 17293
70 4969 138 19183
76 5851 141 20023
83 6971 143 20593
85 7309 147 21757
86 7481 150 22651
89 8009 153 23563
93 8741 155 24181
94 8929 161 26083
96 9311 162 26407
100 10099 164 27061
101 10301 167 28057
103 10711 168 28393
114 13109 173 30103
115 13339 176 31153
120 14519 188 35533
125 15749 189 35911
126 16001 192 37057
130 17029 194 37831
131 17291 203 41413
134 18089 206 42643
138 19181 209 43891
140 19739 215 46441
141 20021 218 47743
144 20879 231 53593
145 21169 236 55933
148 22051 245 60271
149 22349 246 60763
153 23561 266 71023
154 23869 272 74257
155 24179 278 77563
158 25121 279 78121
159 25439 287 82657
160 25759 288 83233
163 26731 290 84391
164 27059 293 86143
169 28729 309 95791
171 29411 314 98911
174 30449 329 108571
176 31151 332 110557
180 32579 336 113233
181 32941 342 117307
184 34039 344 118681
186 34781 348 121453
188 35531 351 123553
191 36671 357 127807
193 37441 369 136531
195 38219 378 143263
196 38611 381 145543
199 39799 383 147073
203 41411 392 154057
206 42641 395 156421
209 43889 398 158803
215 46439 402 162007
218 47741 404 163621
219 48179 405 164431
220 48619 414 171811
225 50849 416 173473
230 53129 426 181903
231 53591 434 188791
233 54521 435 189661
236 55931 447 200257
240 57839 453 205663
241 58321 455 207481
244 59779 456 208393
246 60761 476 227053
248 61751 489 239611
258 66821 495 245521
259 67339 500 250501
263 69431 512 262657
264 69959 518 268843
265 70489 525 276151
268 72091 530 281431
281 79241 531 282493
285 81509 533 284623
288 83231 537 288907
290 84389 540 292141
294 86729 551 304153
296 87911 554 307471
298 89101 560 314161
301 90901 566 320923
303 92111 567 322057
305 93329 572 327757
306 93941 579 335821
309 95789 582 339307
314 98909 584 341641
319 102079 603 364213
323 104651 605 366631
330 109229 609 371491
331 109891 612 375157
335 112559 621 386263
339 115259 624 390001
343 117991 626 392503
349 122149 635 403861
350 122849 642 412807
351 123551 644 415381
354 125669 668 446893
358 128521 671 450913
360 129959 677 459007
361 130681 686 471283
364 132859 696 485113
373 139501 701 492103
374 140249 720 519121
378 143261 726 527803
380 144779 728 530713
385 148609 735 540961
386 149381 743 552793
391 153271 747 558757
393 154841 755 570781
395 156419 761 579883
396 157211 762 581407
401 161201 768 590593
405 164429 773 598303
408 166871 782 612307
418 175141 785 617011
419 175979 792 628057
420 176819 798 637603
423 179351 801 642403
428 183611 812 660157
431 186191 818 669943
433 187921 819 671581
445 198469 825 681451
448 201151 827 684757
449 202049 836 699733
450 202949 839 704761
453 205661 846 716563
455 207479 855 731881
456 208391 857 735307
461 212981 860 740461
463 214831 864 747361
468 219491 875 766501
471 222311 878 771763
473 224201 890 792991
474 225149 894 800131
475 226099 897 805507
478 228961 899 809101
481 231841 911 830833
486 236681 915 838141
490 240589 918 843643
494 244529 920 847321
495 245519 927 860257
496 246511 950 903451
499 249499 959 920641
500 250499 960 922561
501 251501 969 939931
504 254519 974 949651
506 256541 981 963343
510 260609 987 975157
511 261631 990 981091
515 265739 992 985057
518 268841 993 987043
519 269879
528 279311
530 281429
541 293221
544 296479
548 300851
549 301949
550 303049
551 304151
560 314159
561 315281
569 324329
571 326611
573 328901
578 334661
581 338141
588 346331
589 347509
591 349871
594 353429
595 354619
596 355811
598 358201
604 365419
606 367841
610 372709
616 380071
618 382541
624 389999
625 391249
629 396269
633 401321
639 408959
640 410239
644 415379
646 417961
648 420551
651 424451
654 428369
655 429679
659 434939
668 446891
670 449569
673 453601
676 457651
683 467171
686 471281
691 478171
693 480941
695 483719
699 489299
705 497729
706 499141
708 501971
709 503389
715 511939
716 513371
720 519119
724 524899
728 530711
739 546859
743 552791
746 557261
750 563249
753 567761
754 569269
761 579881
763 582931
765 585989
769 592129
776 602951
779 607619
780 609179
781 610741
786 618581
794 631229
798 637601
803 645611
804 647219
809 655289
814 663409
815 665039
816 666671
825 681449
833 694721
838 703081
845 714869
848 719951
856 733591
863 745631
873 763001
881 777041
884 782339
885 784109
889 791209
890 792989
901 812701
906 821741
915 838139
921 849161
923 852851
925 856549
930 865829
939 882659
941 886421
944 892079
946 895861
950 903449
955 912979
956 914891
963 928331
965 932189
966 934121
968 937991
974 949649
976 953551
981 963341
984 969239
989 979109
994 989029
996 993011
998 997001
1000 1000999

yangchuanju · 发表于 2021-8-4 05:20

蔡家雄发表于 2021-8-3 21:09
求：n(n+1)(n+2) -1 与 n(n+1)(n+2)+1 均为素数的前100个解，，，

n≤1000 n(n+1)(n+2) -1中素数201个 n≤1000 n(n+1)(n+2) +1中素数218个
n n(n+1)(n+2) -1 n n(n+1)(n+2) +1
1 5 1 7
2 23 3 61
3 59 5 211
7 503 6 337
8 719 9 991
10 1319 10 1321
13 2729 13 2731
14 3359 14 3361
15 4079 18 6841
17 5813 20 9241
20 9239 21 10627
22 12143 24 15601
23 13799 25 17551
28 24359 30 29761
30 29759 34 42841
34 42839 38 59281
35 46619 40 68881
37 54833 41 74047
40 68879 44 91081
44 91079 49 124951
47 110543 51 140557
54 166319 53 157411
57 195053 56 185137
58 205319 61 238267
59 215939 74 421801
63 262079 76 456457
68 328439 83 592621
69 342929 84 614041
70 357839 86 658417
75 438899 89 728911
80 531359 91 778597
85 635969 94 857281
97 941093 98 970201
103 1124759 100 1030201
107 1259603 101 1061107
110 1367519 105 1190911
112 1442783 110 1367521
114 1520759 115 1560781
118 1685039 119 1727881
122 1860743 124 1953001
125 2000249 128 2146561
127 2097023 129 2196871
129 2196869 131 2299837
135 2515319 133 2405971
139 2743859 135 2515321
149 3374849 138 2685481
150 3442799 139 2743861
154 3723719 140 2803081
162 4330583 146 3176377
167 4741463 154 3723721
173 5267849 166 4657297
175 5451599 168 4826641
182 6128303 175 5451601
183 6229319 188 6751081
184 6331439 194 7414681
185 6434669 201 8242207
187 6644483 220 10793641
188 6751079 229 12166771
190 6967679 236 13311817
202 8365223 238 13651681
205 8741609 241 14172247
213 9800129 243 14526541
219 10647779 244 14705881
220 10793639 251 16002757
229 12166769 255 16776961
238 13651679 258 17373721
240 13997279 261 17984467
254 16581119 263 18399481
257 17173253 264 18609361
260 17779319 270 19902241
268 19464839 271 20123377
273 20570549 273 20570551
275 21024299 276 21253657
287 23887583 285 23393371
288 24137279 289 24388711
295 25934039 291 24896797
315 31554179 293 25411891
325 34645649 294 25672081
337 38614133 296 26197777
343 40707239 298 26730601
358 46267919 304 28372321
359 46655639 306 28934137
360 47045519 315 31554181
364 48626759 320 33075841
365 49027529 321 33385927
367 49835663 326 34965457
373 52313249 328 35610961
374 52733999 339 39303661
380 55305959 346 41781577
384 57066239 350 43243201
399 63999599 353 44361511
405 66923009 355 45117661
413 70957529 361 47437567
427 78402323 363 48228181
428 78953159 371 51478477
430 80062559 375 53157001
432 81182303 390 59776081
440 85765679 391 60235897
443 87527939 404 66429721
444 88120679 405 66923011
447 89914943 413 70957531
449 91124549 418 73559641
450 91733399 434 82312441
453 93576209 440 85765681
457 96071453 441 86350447
464 100544159 445 88716091
465 101194229 448 90518401
468 103161239 454 94195921
470 104486639 464 100544161
474 107171399 465 101194231
477 109214873 469 103822531
479 110591519 471 105153577
488 116929679 476 108530857
498 124250999 478 109901761
502 127263023 481 111979687
503 128023559 485 114790771
507 131096003 489 117648511
512 135005183 490 118370281
517 138991313 493 120553291
519 140607479 496 122762977
520 141420239 503 128023561
532 151418903 509 132650491
540 158339879 515 137387581
549 166374449 520 141420241
552 169111823 524 144702601
558 174676319 531 150568237
560 176557919 539 157463461
562 178452983 546 163666777
569 185192429 553 170030911
574 190108799 556 172808137
579 195111419 560 176557921
583 199176119 566 182283697
589 205378409 569 185192431
590 206424479 573 189118651
603 220348259 579 195111421
622 241803743 583 199176121
624 244139999 584 200201041
629 250046369 586 202261417
635 257258819 590 206424481
638 260916479 593 209583991
645 269585489 604 221444521
659 287495339 616 234884497
660 288804119 618 237176041
668 299417639 621 240641227
674 307546199 625 245313751
677 311665073 628 248857561
682 318611303 630 251238961
685 322828169 641 264608647
688 327082079 646 270839377
693 334254689 649 274624351
695 337152839 654 281010721
700 344471399 655 282299761
707 354894203 669 300762331
719 373247279 681 317213887
723 379502699 683 320012821
724 381077399 684 321418441
733 395446169 685 322828171
734 397064639 688 327082081
748 420188999 695 337152841
750 423563999 711 360943417
754 430368119 721 376366327
758 437244719 728 387419761
762 444194183 731 392222437
772 461889143 738 403582681
777 470910173 740 406868281
785 485586869 744 413492881
792 498676463 745 415160191
793 500565389 749 421874251
798 510081599 751 425258257
805 523605809 756 433797337
815 543337679 758 437244721
824 561514799 760 440710321
828 569721959 765 449454331
832 578008703 768 454755841
833 580092869 770 458313241
834 582182039 773 463684051
835 584276219 775 467287801
855 627221159 779 474551221
857 631627853 786 487442617
859 636055139 788 491168281
868 656234039 789 493038211
870 660775439 808 529474321
878 679150559 814 541342561
882 688464503 816 545337697
903 738762359 823 559475401
908 751088519 825 563559151
909 753570089 826 565608457
920 781229039 830 573855361
927 799177823 833 580092871
930 806953559 835 584276221
938 827935079 838 590588881
948 854669399 850 616294201
950 860084399 856 629421937
959 884735039 859 636055141
960 887502719 866 651713497
969 912672029 868 656234041
972 921166343 881 686128087
979 941191019 900 731431801
982 949861103 903 738762361
988 967360679 914 766059961
992 979145663 915 768574381
—— ———— 921 783776527
—— ———— 923 788888101
—— ———— 931 809556637
—— ———— 933 814779571
—— ———— 945 846589591
—— ———— 949 857374051
—— ———— 956 876466537
—— ———— 958 881973121
—— ———— 959 884735041
—— ———— 970 915497641
—— ———— 971 918329077
—— ———— 975 929713201
—— ———— 976 932573857
—— ———— 986 961503817
—— ———— 990 973241281
—— ———— 993 982106791
—— ———— 999 999999001

yangchuanju · 发表于 2021-8-4 05:21

蔡家雄发表于 2021-8-3 21:11
求：n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) -1 与 n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1 均为素数的前100个解，，，，，

n≤997 n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) -1 中素数145个 n≤997 n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) +1中素数140个
n n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) -1 n n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) +1
2 719 3 2521
4 6719 5 15121
7 55439 6 30241
9 154439 7 55441
13 742559 19 4037881
16 1860479 28 24165121
20 5100479 33 52307641
24 11793599 38 102080161
26 17100719 39 115511761
27 20389319 40 130320961
32 45239039 42 164490481
34 60233039 50 379501201
45 228826079 54 549853921
49 344362199 61 991186561
59 843461639 64 1250895361
63 1158917759 66 1452361681
65 1348621559 68 1678985281
67 1562389079 73 2370937801
75 2704501799 74 2533330801
79 3484127519 75 2704501801
98 9995000399 87 5580534961
108 16098445439 90 6586922161
111 18417137759 106 14686982641
119 25928567279 110 17616392641
128 37118315519 116 22869362881
144 66322730879 124 31747968001
145 68625603479 126 34349253121
147 73423236599 129 38568249721
151 83823228719 154 92370598321
156 98446083839 157 101601407041
159 108154751039 162 118614695761
167 137834358479 164 126026429761
177 183737320919 168 141961135681
178 188927640719 171 154938004201
191 267749239679 176 178661704321
192 274758382079 178 188927640721
196 304278004799 190 260883874561
209 418180233239 194 289217008081
210 428184545039 200 336282004801
233 716638258439 204 370923995521
235 747658145639 206 389283935041
240 829926725759 207 398732574241
241 847216865879 209 418180233241
243 882661623479 220 539163905281
250 1016175005999 229 657686919121
258 1188049721039 230 672046895521
261 1258193241359 234 732016761841
263 1306767868559 236 763565765761
264 1331611364159 248 976484376001
268 1434792286079 253 1078121003521
269 1461560798879 256 1143051786241
284 1913390519039 262 1282296560161
294 2272133112479 283 1880171933641
305 2726897647319 285 1947076971841
306 2771600887439 300 2511949507201
312 3052292967359 304 2682773089921
313 3101207918759 307 2816888483641
331 4094506688039 314 3150747981361
346 5103619508399 315 3200919127561
348 5251973126399 326 3796199557921
361 6302555018759 332 4156357242241
364 6567335698559 337 4476922695961
371 7219856258999 341 4747359743281
376 7716916509119 349 5327432510401
381 8240983914239 362 6389848024561
396 9986232009599 371 7219856259001
411 12015380469959 399 10368319197601
425 14194740760199 402 10762013218321
431 15220464265439 406 11305447839841
436 16119784570559 409 11727251912041
441 17061121120679 413 12309144644161
444 17646694894079 431 15220464265441
445 17845418935679 438 16491196481761
450 18866074510799 439 16679452149361
451 19075697560919 448 18452356876801
464 21974529432959 453 19500533554321
497 30938126246999 458 20595810921841
506 33830634792239 461 21276237296161
516 37294149372479 470 23426113661281
518 38019700162079 473 24180118439401
521 39129158262599 475 24693483011401
522 39504678015599 481 26286111491641
532 43420884911039 497 30938126247001
536 45071693472959 500 31879387512001
555 53612860153319 501 32198181387121
565 58601474008559 508 34501861847041
566 59120071123679 515 36935551782361
569 60697930087079 516 37294149372481
572 62309299852799 530 42613822152721
598 77758920002399 538 45915715082161
605 82401963779519 546 49419183013201
628 99242404067519 553 52657212579721
634 104059134619439 557 54582332444641
635 104879790255239 561 56563350073561
636 105705615375359 567 59642333236081
637 106536634364159 570 61231303813681
643 111633194725079 591 73327569749281
646 114253590765599 592 73947938359681
649 116922964758599 599 78409078196401
658 125231820122639 648 116027689377601
661 128104003350959 679 146463995443921
662 129073020017759 712 185561040624961
671 138060844891199 720 196192238417281
672 139089614227199 724 201687500414401
675 142212773266199 729 208729013766121
678 145391784642719 740 224913530237761
679 146463995443919 748 237302578128001
682 149718637862639 753 245318866130521
686 154147896826559 761 258594307128361
691 159831233626679 762 260293349882161
700 170483029516799 764 263718227036161
714 188174545518959 767 268923049274881
716 190817415377279 769 272438347445881
727 205889194995119 770 274209728118481
728 207305214217919 791 313590201004081
735 217436997032639 798 327677440003201
738 221898636282959 802 335951732035921
770 274209728118479 808 348675782898241
774 281387629101599 809 350833430069641
779 290570559313319 813 359571096545761
781 294310169223839 825 386833763269801
802 335951732035919 830 398669943409921
812 357370539039359 834 408345975948241
816 366237889879679 843 430804770275881
826 389178210319919 852 454241046813121
830 398669943409919 854 459585015009121
833 405909544110839 858 470423837323441
835 410794093310039 869 501288697475281
857 467695160772839 871 507070528146001
858 470423837323439 904 610433477056321
866 492714954380879 915 648401627091961
870 504172982270879 923 677183122816201
891 567877381881479 931 706977714652441
898 590486355003599 943 753627280301281
901 600393647496719 945 761636017822681
914 644873870687759 957 811130393082241
931 706977714652439 974 885618762350401
934 718417272212639 976 894730008923521
935 722263189087439 993 975243827751481
940 741740626642559 997 995005004994001
957 811130393082239
959 819623849466239
961 828188306183159
986 941418001283759
992 970352935937279

yangchuanju · 发表于 2021-8-4 06:53

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-8-4 08:39 编辑

已经查明，n*(n+1)*(n+2)*(n+3)+1总是平方数，分解因式后得﹙n2＋3n＋1﹚^2，之中没有素数，但n*(n+1)*(n+2)*(n+3)-1总有较多素数，当n小于等于1000时，内有180个素数。
n≤1000 n(n+1)(n+2)(n+3) -1中素数180个
n n(n+1)(n+2)(n+3) -1
1 23
3 359
4 839
6 3023
7 5039
8 7919
10 17159
11 24023
14 57119
17 116279
21 255023
27 657719
35 1771559
39 2686319
40 2961839
43 3916439
48 5997599
49 6497399
54 9480239
56 10923023
60 14295959
66 20748023
68 23319239
73 30791399
76 36060023
81 46308023
91 73188023
92 76405079
95 86694719
96 90345023
101 110355023
102 114725519
103 119224559
105 128618279
110 154529759
125 256031999
127 272613119
129 289986839
144 448126559
145 460574519
147 486246599
154 584624039
159 663526079
160 680218559
171 885360023
174 948578399
181 1109223023
183 1158653519
192 1401828479
193 1431033239
197 1552438799
202 1714870919
204 1783288439
209 1963287479
228 2774023559
229 2822690639
238 3290054879
244 3632352359
248 3874937999
251 4064700023
259 4604843879
264 4968699119
269 5353702559
279 6190385039
280 6279136079
286 6831849023
293 7521919439
302 8484436319
306 8940648023
311 9536499023
315 10034229239
320 10683496319
333 12519148319
336 12974349023
344 14248958159
347 14750345399
348 14920378199
355 16152122279
367 18439195679
368 18640167839
372 19460528999
379 20960958839
389 23252895119
399 25727839199
400 25985762399
402 26507421719
405 27304588079
407 27845930639
413 29518332479
417 30674369879
421 31864035023
426 33399390023
434 35970536279
446 40102065023
453 42670751759
458 44579677319
462 46152358559
470 49422180719
472 50266088399
474 51120757799
476 51986280023
493 59794431839
494 60279579359
508 67386448919
510 68450780159
524 76258270199
526 77425845023
528 78606776159
532 81009113639
543 87899797439
550 92507830799
552 93857062319
554 95220999239
560 99402108959
561 100112124023
568 105189300239
572 108175867799
581 115127883023
588 120762505079
591 123239613023
595 126601467719
610 139824392759
615 144453965039
628 157029120359
630 159034261679
642 171471356279
652 182381097719
654 184624043039
655 185753242079
657 188027171639
661 192637599023
679 214442160239
684 220814468279
698 239413511399
700 242163394199
706 250555308023
707 251974884839
711 257713599023
713 260619439079
719 269484536159
724 277043269799
725 278573895599
727 281654165519
731 287891268023
739 300675658919
747 313881182999
754 325788666839
762 339808550759
766 346985793023
770 354276134519
773 359818822799
780 373004569079
798 408575361599
802 416813563319
804 420979071239
809 431529434279
815 444450222239
816 446631573023
830 478021514879
834 487286367479
837 494322892559
853 533146768559
855 538155755279
857 543199954439
871 579509175023
888 626011681679
892 637348352279
894 643074082559
895 645951371519
906 678242838023
910 690280150559
927 743235376319
932 759374559239
938 779086910279
956 840531408023
960 854665119359
970 890779203719
977 916731566519
978 920484817559
980 928025882279

蔡家雄 · 发表于 2021-8-4 07:50

同一个n值，

求：n(n+1) -1 与 n(n+1)+1 均为孪生素数的前100个解，，

蔡家雄 · 发表于 2021-8-4 07:52

同一个n值，

求：n(n+1)(n+2) -1 与 n(n+1)(n+2)+1 均为孪生素数的前100个解，，，

		自动登录	找回密码
密码			注册

孪生素数丛

评分

浏览过的版块