素数幻方欣赏

yangchuanju · 发表于 2021-8-18 17:39

幻和等于393、411、417的3阶素数幻方
经筛选，幻和等于393、411、417的可用于编制3阶幻方的9素数（见下表），
使用以下模板编制
p8 p1 p6
p3 p5 p7
p4 p9 p2
（一）幻和等于393的3阶素数幻方：
序号素数差幻方
1 29 —— 191 29 173
2 71 42 113 131 149
3 113 42 89 233 71
4 89 -24 行和
5 131 42 393 393 393
6 173 42 列和
7 149 -24 393 393 393
8 191 42 对角线和
9 233 42 393 393

（二）幻和等于411的3阶素数幻方：
序号素数差幻方
1 11 —— 227 11 173
2 47 36 83 137 191
3 83 36 101 263 47
4 101 18 行和
5 137 36 411 411 411
6 173 36 列和
7 191 18 411 411 411
8 227 36 对角线和
9 263 36 411 411

（三）幻和等于417的3阶素数幻方：
序号素数差幻方
1 7 —— 211 7 199
2 67 60 127 139 151
3 127 60 79 271 67
4 79 -48 行和
5 139 60 417 417 417
6 199 60 列和
7 151 -48 417 417 417
8 211 60 对角线和
9 271 60 417 417

yangchuanju · 发表于 2021-8-19 07:04

yangchuanju 发表于 2021-8-18 13:50
网页A268970给出30万内3阶素数幻方的幻和9552个，折算成中心点素数，就是说10万内有9552个素数可充当3阶素 ...

每一个3阶素数幻方都有一个中心素数p，3p是幻和；该幻方通过中心点的4条直线上有4对和等于2p的素数对。
2p肯定是偶数，不言自明！
10万内有9552个这样的素数p，对应的20万内的10万个偶数中有9552个偶数可拆分成至少4对素数之和！
另外的90448个偶数能拆分成至少1对素数之和吗？
想用这种方法证明哥猜，差远了，门也进不去！

yangchuanju · 发表于 2021-8-19 07:26

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-8-19 09:09 编辑

用同一模板编制的一对3阶素数幻方，对应项之和为偶数，且相等，等于两个幻方的中心素数的和；这样的偶数各有9对两素数之和。
10万内有9552个素数可充当单个的3阶幻方的中心素数；10万内有多少对素数可充当成对的3阶幻方的中心素数呢？有1000对吗？概率估算如此。
若估算正确，20万内的10万个偶数中有1000个偶数可拆分成至少9对素数之和！
另外的99000个偶数能拆分成至少1对素数之和吗？
想用这种方法证明哥猜，仍然不行，同样进不了门！

yangchuanju · 发表于 2021-8-19 13:15

【转载】关于由素数构成幻立方的几个注记
1、 N阶素数幻立方，可以从低阶，通过加框的算法，一步一步得到。先计算某个偶数的哥德巴赫分拆，然后用分拆的素数来加框。因此N阶素数幻立方是存在的。
2、 N阶素数幻立方（不要求是连续素数），肯定是存在的。对N阶素数幻立方，肯定存在幻和最小的。但现在几乎没有什么结果。
3、  N阶连续素数幻立方，是否存在？若存在，构造幻和最小的。
4、由于素数是不连续的，因此从8阶开始，也应该存在完美素数幻立方。但现在没有什么结果。
5、由于陶哲轩证明了存在任意长度的素数等差数列，因此，存在由N^3个素数构成的等差数列。用这N^3个素数，按照大小顺序，代换狭义N阶幻立方中相应的数字，就可以得到具有狭义N阶幻立方性质的N阶素数幻立方。比如，原来的狭义幻立方是完美幻立方，得到的素数幻立方也是完美幻立方。原来的幻立方是中心对称幻立方，得到的素数幻立方也是中心对称幻立方。原来的幻立方是轴对称幻立方，得到的素数幻立方也是轴对称幻立方。原来的幻立方是平方幻立方，得到的素数幻立方也是平方幻立方。因此，各种性质的素数幻立方的存在性是不成问题的。关键是构造合适的素数等差数列。但这个问题极其困难。现在得到的最长的素数等差数列，其长度是23。
6、直接搜索由N^3个素数构成的等差数列极其困难，因此退而求其次，搜索N^2个长度为N的素数等差数列，且这N^2个数列的首项构成一个行列等差数列。由这种素数等差数列的N^3个素数可以构成N阶素数幻立方。选择一个普通幻立方，按照大小顺序，代换普通N阶幻立方中相应的数字，就可以得到具有普通N阶幻立方性质的N阶素数幻立方。这种方法，难度小多了。用这种方法，已经得到了3阶素数幻立方， 4阶、 5阶及以上的还还未见报道。
7、由连续孪生素数构成的N阶幻立方（N只能是偶数阶）。是否存在？若存在，构造幻和最小的。
8、  由连续孪生素数构成的N阶孪生素数幻立方对。是否存在？若存在，构造幻和最小的。
9、由连续阴性素数构成的N阶素数幻立方。是否存在？若存在，构造幻和最小的。阴性素数是形如6K-1的素数。
10、由连续阳性素数构成的N阶素数幻立方。是否存在？若存在，构造幻和最小的。阳性素数是形如6K+1的素数。
11、由孪生素数（不要求连续）构成的N阶幻立方（N只能是偶数阶），是否存在？若存在，构造幻和最小的。
12、由孪生素数（不要求连续）构成的N阶素数幻立方对，是否存在？若存在，构造幻和最小的。
13、由阴性素数（不要求连续）构成的N阶素数幻立方，是否存在？若存在，构造幻和最小的。
14、由阳性素数（不要求连续）构成的N阶素数幻立方，是否存在？若存在，构造幻和最小的。
15、如果某个偶数恰好有N^3/2对（N是偶数）不同素数的哥德巴赫分拆，那么可能可以用这N^3/2对素数来构造N阶素数幻立方。甚至可以构造轴对称的素数幻立方。这种素数幻立方，称为偶数阶哥德巴赫幻立方。这种素数幻立方，现在还未见有报道。哥德巴赫分拆是将一个偶数分拆成两个奇素数的和。
16、如果某个偶数恰好有（N^3-1）/2对（N是奇数）不同素数的哥德巴赫分拆，且有一对相同素数的哥德巴赫分拆（比如10=5+5），那么可能可以用这些素数来构造N阶素数幻立方。甚至可以构造中心对称的素数幻立方，此时，那个相同素数必须放在中心。这种素数幻立方，称为奇数阶哥德巴赫幻立方。这种素数幻立方，现在还未见有报道。
17、四生素数是形如P，P+2，P+6，P+8的四个素数。用四生素数构造4K阶素数幻立方；进而用连续四生素数构造4K阶素数幻立方。更高要求的4K阶素数幻立方也可能构成。

2012年2月10日
【附注】作者  牛学良  转自新浪微博《牛黄的博客》

yangchuanju · 发表于 2021-8-19 13:18

【转载】说说三阶素数幻立方
幻方协会基础理论部长钟明，对三阶素数幻立方很有研究，给我一些图例。我略有理悟。现举一例子如下：幻方：上  2957  863  839 中 1439 1487  1733  下  263  2309 2087
               683 2999 977       1847  1553 1259    2129  107  2423
            1019 797  2843       1373  1619 1667    2267  2243  149
   分  析：上 683  863  2843 中 1259 1439  1619 下 107  2087  2267
               797  977  2957       1373  1553 1733    149 2129 2309
               839 1019 2999       1487  1667  1847 263  2243 2423
说  明：中心数是1553 放中层中心，倍之为3106，先找出3106的哥德巴赫解，有四十六组。这是组成幻方的元。其他全不要试。从中选出十四组。1553算一组，再找十三组。先解决中层。如1373 1553 1733间距为180，则上行和下列差距都是180。如果无解，再换加30的数试之。如210，240，270等。行差都是114，一定要统一。一定要个尾4。上下层互补。保留和中层相同的差距如本例子180和114。另加两个不同的1980和42。这差距数互反出现。如果找到全是素数，就解决了。我找了几个总有三，五个非素数。只能用钟部长的了。我这次也被分配为普及教育部长，我水平低，只能尽力而为，不明白的问钟老师。对今天我发的文章。也只是知一点，还请钟老师纠正，补充。幻友也可补充。为了普及，我只好先说一点。低水平，很不全面。初学者可以再看看，多少有助学习。也算我为普及走了第一步。
【附注】作者：林镜清  转自《林镜清幻海浮的博客》

yangchuanju · 发表于 2021-8-19 17:05

前面各篇帖子已经指出，3阶幻方共有1种，但可变成4种不同的形态（限左右反转、上下反转变体；不包括旋转体）。
素数幻方有5种类型：
1、由9生等差的连续素数可构成一个3阶素数幻方，现仅知9生等差连续素数组数是个位数；
2、由9生等差的非连续素数可构成一个3阶素数幻方，现已知9生等差非连续素数47组；
3、由9生非等差的连续素数可构成一个3阶素数幻方，现已知9生非等差连续素数759组；
4、由9生非等差的非连续素数可构成一个3阶素数幻方，现已知该类幻和9552组；
5、由包含整数1的9生非等差的非连续素数可构成一个3阶素数幻方，网页A073502给出包含1的3阶素数幻方的幻和35个。

素数幻立方也有以下各种类型：
1、由27生等差的连续素数可构成一组4个3阶素数幻立方，至今尚未有人找到27级CPAP型素数级数（现已知的最长CPAP型级数是10级）；
2、由27生等差的非连续素数可构成一组4个3阶素数幻立方，至今仅在2019年被找到27级AP型素数级数1组；
3、由3*9生非等差的连续素数可构成3阶素数幻立方，现在无人关注这样的素数级数；
4、由3*9生非等差的非连续素数可构成3阶素数幻立方，现已知该类幻立方仅十几组，网页A239671给出了该类3阶素数幻立方的幻和20个；
5、由包含整数1的3*9生非等差的非连续素数可构成3阶素数幻立方，现未见统计资料。
由27个等差整数可编制4个3阶幻立方，不包括转置、镜像等变形体；
但由27个非连续素数或整数编制的3阶幻立方，无法（或不可能）转换成另外的形体。

yangchuanju · 发表于 2021-8-20 09:03

有趣的3阶素数幻方

（一）最大的3阶素数幻方（由9个93位的间距210的9个连续素数构成）
p + 1680 p + 210 p + 1260
p + 630 p + 1050 p + 1470
p + 840 p + 1890 p + 420
表中p等于（93位）
100 99697 24697 14247 63778 66555 87969 84032 95093 24689 19004 18036 03417 75890 43417 03348 88215 90672 29719.

（二）稍小一点的3阶素数幻方（由9个92位的间距210的9个连续素数构成）
P1=99 67943 20667 01086 48449 06536 95853 56163 89823 64080 99161 83957 74048 58552 90714 75461 11479 96776 94651.
注意：前一个p1=p+210，后一个大素数是p1。

（三）最小的3阶素数幻方（由9个10位非等差的9个连续素数构成）
1480028201 1480028129 1480028183
1480028153 1480028171 1480028189
1480028159 1480028213 1480028141

1850590129 1850590057 1850590111
1850590081 1850590099 1850590117
1850590087 1850590141 1850590069

幻方1素数差幻方2素数差
1480028129 — 1850590057 —
1480028141 12 1850590069 12
1480028153 12 1850590081 12
1480028159 6 1850590087 6
1480028171 12 1850590099 12
1480028183 12 1850590111 12
1480028189 6 1850590117 6
1480028201 12 1850590129 12
1480028213 12 1850590141 12

（四）最小的3阶素数幻方（由9个3-4位非等差非连续的9个素数构成）
1669 199 1249
619 1039 1459
829 1879 409

（五）具有最小幻和的3阶素数幻方
包含数字1的：
43 1 67
61 37 13
7 73 31

不含数字1的：
101 5 71
29 59 89
47 113 17

yangchuanju · 发表于 2021-8-20 09:04

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-8-20 20:04 编辑

（接上楼）
（六）两个帕尔姆幻方（palprime magic squares）
10797779701 14336063341 12568586521
14338283341 12567476521 10796669701
12566366521 10798889701 14337173341

10915551901 12133533121 11527872511
12137973121 11525652511 10913331901
11523432511 10917771901 12135753121

第一个公差分别等于1110000和1769696820；第二个公差分别等于2220000和605660610。

幻方1素数 —差— 幻方2素数 —差—
10796669701 ———— 10913331901 ————
10797779701 1110000 10915551901 2220000
10798889701 1110000 10917771901 2220000
12566366521 1767476820 11523432511 605660610
12567476521 1110000 11525652511 2220000
12568586521 1110000 11527872511 2220000
14336063341 1767476820 12133533121 605660610
14337173341 1110000 12135753121 2220000
14338283341 1110000 12137973121 2220000

（七）第二类型3阶素数幻方
两类型模板
类型1 类型2
p8 p1 p7 p8 p1 P6
p4 p5 p6 P3 p5 P7
p3 p9 p2 P4 p9 p2

The 1st Type 2 consecutive prime number magic square
23813359751 23813359613 23813359727
23813359673 23813359697 23813359721
23813359667 23813359781 23813359643

The 2nd Type 2 consecutive prime number magic square
49285771793 49285771679 49285771781
49285771739 49285771751 49285771763
49285771721 49285771823 49285771709

幻方1素数差幻方2素数差
23813359613 — 49285771679 —
23813359643 30 49285771709 30
23813359667 24 49285771721 12
23813359673 6 49285771739 18
23813359697 24 49285771751 12
23813359721 24 49285771763 12
23813359727 6 49285771781 18
23813359751 24 49285771793 12
23813359781 30 49285771823 30
第1,2；第8,9素数间距独特！30=24+6,30=18+12。

最小的第二类型3阶幻方是：
9 1 8
5 6 7
4 11 3

数字差
1 —
3 2
4 1
5 1
6 1
7 1
8 1
9 1
11 2
差2=1+1

（八）第一类型3阶幻方模板的另一形式：
a + 5b + 2c a a + 4b + c
a + 2b a + 3b + c a + 4b + 2c
a + 2b + c a + 6b +2c a + b

该型3阶素数幻方中尚未找到连续素数的，幻和最小的是：
101 29 83
53 71 89
59 113 41

数字差
29 —
41 12
53 12
59 6
71 12
83 12
89 6
101 12
113 12

（九）3阶素数平方幻方
11^2 23^2 71^2
61^2 41^2 17^2
43^2 59^2 19^2

【附注】文中涉及的幻方数据均来自网略，出处从略。

yangchuanju · 发表于 2021-8-20 20:03

lusishun点评：
九，素数平方幻方，为什么都是偶数啊？没有看明白？发表于 2021-8-20 19:26

嗷，乘方号全丢失了！谢谢老师给找错。已经过编辑重新加上了乘方号！

费尔马1 · 发表于 2021-8-20 20:28

最先进的素数幻方，浙江黄剑潮老师制作的28阶连续素数平方幻方！！！

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