简单的构造，有问题的复杂结论

天山草

噢，前面把 RQ 错写成 PQ 了。改正后的证明如下。



程序代码如下。复制后即可在 mathematica 下运行。

1. Clear["Global`*"];
   
2. XB = 0; YB = 0; XR = 1; YR = 0; XC = x; YC = 0;
   
3. XA = u; YA = v;    XP = \[Lambda] u;  YP = \[Lambda] v;
   
4. XQ = (x (\[Lambda] + \[Lambda] u - 1) - \[Lambda] u)/(\[Lambda] x -
   
5.   1); YQ = (\[Lambda] v (x - 1))/(\[Lambda] x - 1);
   
6. QA = Sqrt[(XA - XQ)^2 + (YA - YQ)^2];   QC = Sqrt[(XQ - XC)^2 + (YQ -
   
7.     YC)^2];  RQ = Sqrt[(XQ - XR)^2 + (YQ - YR)^2];
   
8. RC = Sqrt[(XR - XC)^2 + (YR - YC)^2];   RB = Sqrt[(XR - XB)^2 + (YR -
   
9.     YB)^2];  PQ = Sqrt[(XP - XQ)^2 + (YP - YQ)^2];
   
10. PR = Sqrt[(XP - XR)^2 + (YP - YR)^2];  PA = Sqrt[(XP - XA)^2 + (YP -
    
11.     YA)^2];  PB = Sqrt[(XP - XB)^2 + (YP - YB)^2];
    
12. BA = Sqrt[(XB - XA)^2 + (YB - YA)^2];  CA = Sqrt[(XC - XA)^2 + (YC -
    
13.     YA)^2]; BC = Sqrt[(XB - XC)^2 + (YB - YC)^2];
    
14. QR = RQ; QP = PQ; RP = PR; AP = PA; AB = BA; AQ = QA; AC = CA; CR = \
    
15. RC; CB = BC; CQ = QC;
    
16. w1 = FullSimplify[(QA QC)/(QR QP) + (RC RB)/(RQ RP) - (PA PB)/(PQ PR),
    
17.     x > 0 && 0 < x \[Lambda] < 1];
    
18. w2 = FullSimplify[(QR QP)/(QA QC) + (AP AB)/(AQ AC) - (CR CB)/(CQ CA),
    
19.     x > 0 && 0 < x \[Lambda] < 1];
    
20. Print["\!\(\*FractionBox[\(QA\\\ QC\), \(QR\\\ \
    
21. QP\)]\)+\!\(\*FractionBox[\(RC\\\ RB\), \(RQ\\\ \
    
22. RP\)]\)-\!\(\*FractionBox[\(PA\\\ PB\), \(PQ\\\ PR\)]\) = ", w1]
    
23. Print["\!\(\*FractionBox[\(QR\\\ QP\), \(QA\\\ \
    
24. QC\)]\)+\!\(\*FractionBox[\(AP\\\ AB\), \(AQ\\\ \
    
25. AC\)]\)-\!\(\*FractionBox[\(CR\\\ CB\), \(CQ\\\ CA\)]\) = ", w2]

复制代码

天山草

要找到这个问题的规律，需要把图旋转画一下，使图形左右对称。

公式如下，估计没有“统一的向量公式”。



对下面那个图，换一个证明方法如下：



程序代码如下。复制后可在 mathematica 下运行。

1. Clear["Global`*"];
   
2. XC = 0; YC = 0; XP = 1; YP = 0; XB = u; YB = v; XQ = (\[Lambda]1 (\
   
3. \[Lambda]2 (u - 1) +
   
4.     1))/(-\[Lambda]1 \[Lambda]2 + \[Lambda]1 + \[Lambda]2); YQ = (\
   
5. \[Lambda]1 \[Lambda]2 v)/(-\[Lambda]1 \[Lambda]2 + \[Lambda]1 + \
   
6. \[Lambda]2);
   
7. XR = \[Lambda]1 u; YR = \[Lambda]1 v;    XA =
   
8. 1 + \[Lambda]2 (u - 1);  YA = \[Lambda]2 v;
   
9. QA = Sqrt[(XA - XQ)^2 + (YA - YQ)^2];   QC = Sqrt[(XQ - XC)^2 + (YQ -
   
10.     YC)^2];  RQ = Sqrt[(XQ - XR)^2 + (YQ - YR)^2];
    
11. RC = Sqrt[(XR - XC)^2 + (YR - YC)^2];   RB = Sqrt[(XR - XB)^2 + (YR -
    
12.     YB)^2];  PQ = Sqrt[(XP - XQ)^2 + (YP - YQ)^2];
    
13. PR = Sqrt[(XP - XR)^2 + (YP - YR)^2];  PA = Sqrt[(XP - XA)^2 + (YP -
    
14.     YA)^2];  PB = Sqrt[(XP - XB)^2 + (YP - YB)^2];
    
15. BA = Sqrt[(XB - XA)^2 + (YB - YA)^2];  CA = Sqrt[(XC - XA)^2 + (YC -
    
16.     YA)^2]; BC = Sqrt[(XB - XC)^2 + (YB - YC)^2];
    
17. QR = RQ; QP = PQ; RP = PR; AP = PA; AB = BA; AQ = QA; AC = CA; CR = \
    
18. RC; CB = BC; CQ = QC;
    
19. w1 = FullSimplify[(QP  QR)/(QA  QC) + (CB  CR)/(CQ  CA) - (AP  AB)/(
    
20.     AC AQ), 1 > \[Lambda]1 > 0 && 1 > \[Lambda]2 > 0];
    
21. w2 = FullSimplify[(QA  QC)/(QR  QP) + (PA  PB)/(PQ  PR) - (RC  RB)/(
    
22.     RP  RQ ), 1 > \[Lambda]1 > 0 && 1 > \[Lambda]2 > 0];
    
23. Print["\!\(\*FractionBox[\(QP\\\ \\\ QR\), \
    
24. \(QA\\\ \\\ QC\)]\)+\!\(\*FractionBox[\(CB\\\ \\\ CR\), \
    
25. \(CQ\\\ \\\ CA\)]\)-\!\(\*FractionBox[\(AP\\\ \\\ AB\), \(AC\\\ AQ\)]\
    
26. \) = ", w1]; Print["\!\(\*FractionBox[\(QA\\\ \\\ QC\), \
    
27. \(QR\\\ \\\ QP\)]\)+\!\(\*FractionBox[\(PA\\\ \\\ PB\), \
    
28. \(PQ\\\ \\\ PR\)]\)-\!\(\*FractionBox[\(RC\\\ \\\ RB\), \(\(RP\)\(\
    
29. \\\ \\\ \)\(RQ\)\(\\\ \)\)]\) = ", w2]
    

复制代码

天山草

期待网友给出简单的纯几何方法证明。

kanyikan

用三角法很容易证明，这对陆教授来说，一点也不难。

denglongshan

百度数学吧原作者依旧在雨中等你的证明。
数学研发论坛mathe提示：过C做PQR垂线，垂足为S,可以证明结论。
https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=18005&page=1#pid90127

denglongshan

天山草 发表于 2021-9-3 19:28
要找到这个问题的规律，需要把图旋转画一下，使图形左右对称。

公式如下，估计没有“统一的向量公式”。 ...

谢谢老朋友关注，这图O在三角形内，如果在外面有不同的结论，但是可以用向量商统一。

kanyikan

纯几何吧的题太精彩了，好久没去了，没翻到这个题。

kanyikan

denglongshan 发表于 2021-9-4 15:16
谢谢老朋友关注，这图O在三角形内，如果在外面有不同的结论，但是可以用向量商统一。

用面积法秒杀

kanyikan

  OD/DA+OE/EB+OF/FC
=S△OBC/S△ABC+S△OCA/S△ABC+S△OAB/S△ABC
=S△ABC//S△ABC
=1
这就叫秒杀！

天山草

下图中，ARCP 是圆内接四边形。用纯几何方法证明：