求证:k^2+2必定是素数

yangchuanju

太阳素数题
（一）已知：整数a>0，奇数k>0，素数p>0，[2^(k^2+2)-2]/(k^2+2)=a，求证：k^2+2=p
解：令k^2+2=q，原式可表示为：
(2^q-2)/q=a，
2*[2^(q-1)-1]/q=a，
2^(q-1)-1=aq/2，
2^(q-1)=1+aq/2，
q肯定不能整除2，也不能整除2^(q-1)，两端对q取模得：
2^(q-1) ≡1(mod q)，
此乃费马小定理6.3的标准形式，
故q=k^2+2=p是素数。

（二）已知：整数a>0，奇数k>0，素数p>0，[2^(k^2-2)-2]/(k^2+2)=a，求证：k^2-2=p
解：令k^2-2=q，原式可表示为：
(2^q-2)/q=a，
2*[2^(q-1)-1]/q=a，
2^(q-1)-1=aq/2，
2^(q-1)=1+aq/2，
q肯定不能整除2，也不能整除2^(q-1)，两端对q取模得：
2^(q-1) ≡1(mod q)，
此乃费马小定理6.3的标准形式，
故q=k^2-2=p是素数。

（四）已知：整数a>0，偶数k>0，素数p>0，[2^(k^2-1)-1]/(k^2-1)=a，求证：k^2-1=p
原解有误，已删除！
经带入部分素数指数检验，2^p-1不能被p整除；2^p+1和2^p+2都不能被p整除；只有2^p-2可以被p整除。
题目三、题目四不正确。

太阳

已知：整数a>0，奇数k>0，素数p>0，[2^(k^2+22)-2]/(k^2+22)=a，求证：k^2+22=p
已知：整数a>0，奇数k>0，素数p>0，[2^(k^2+2340)-2]/(k^2+2340)=a，求证：k^2+2340=p
已知：整数a>0，奇数k>0，素数p>0，[2^(k^2+17240)-2]/(k^2+17240)=a，求证：k^2+17240=p
这三个命题是否正确？

yangchuanju

太阳 发表于 2021-9-25 18:33
已知：整数a>0，奇数k>0，素数p>0，[2^(k^2+22)-2]/(k^2+22)=a，求证：k^2+22=p
已知：整数a>0，奇数k>0， ...

先生自己都不知道题目是否正确，让别人“求证”，耍猴呀！
先生即有大数据软件，试一试就是了！

太阳

yangchuanju 发表于 2021-9-25 19:00
先生自己都不知道题目是否正确，让别人“求证”，耍猴呀！
先生即有大数据软件，试一试就是了！

希望先生推导一下，看一下三个命题是否正确？软件验证数据不一定是可靠的

yangchuanju

11楼答案已更正！

太阳

先生:检验一下三个命题是否正确？

yangchuanju

太阳 发表于 2021-9-25 20:29
先生:检验一下三个命题是否正确？

请太阳先生系统地学一学伪素数的知识，再出题，免得出笑话！

请太阳先生出题时，自己先验证一下，不要一上来就让别人“求证”，你出了那么多无解之题，谁能给您证明？

yangchuanju

本帖删除！

yangchuanju

当k=825时，k^2+2=680627是一个以2为基的伪素数，使得题目1成立，是一个反例。

yangchuanju

10的12次方以内题目1只有k=825，k^2+2=680627一个反例；
10的12次方以内题目2无反例。
题目3，题目4无解。