已知有理数 a,b 满足等式 a^5+b^5=2a^2b^2 ，求证：1-ab 是一个有理数的平方

波斯猫猫

题：已知有理数 a,b 满足等式 a^5+b^5=2(ab)^2 ，求证：1-ab 是有理数的平方 。

证：当ab=0时，显然1-ab 是有理数1的平方 。当ab≠0时，把a^5+b^5=2(ab)^2

两边平方得，a^10+2(ab)^5+b^10=(2ab)^4，即(a^5-b^5)^2=(2ab)^4(1-ab)，

或1-ab=(a^5-b^5)^2/(2ab)^4。此即有理数的平方 。毕。

波斯猫猫

波斯猫猫 发表于 2022-5-15 11:45
题：已知有理数 a,b 满足等式 a^5+b^5=2(ab)^2 ，求证：1-ab 是有理数的平方 。

证：当ab=0时，显然1-ab ...

前面给的6个解法中，最后一个解法自然而简捷。

波斯猫猫

对一个数学题目，根据其几何特点或数量关系等，从不同视角去研读，采取不同的切入点
做一题多解的探索和研究，如果发现的方法或途径越多，那么对这个题目理解就越深刻。
其中也必有一种解法最优，最优的解法也许是对那些较“笨”解法的经验或教训的总结。不
过它有一个显著的特点：其解法和谐优美，自然而简捷。如果回头再去审视题目，往往会恍
然大悟，认为此题也不过小菜一碟。所以，解题的过程就是：雾里看花---潜心探索---柳暗
花明。

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波斯猫猫 发表于 2022-5-14 18:42
题：已知有理数 a,b 满足等式 a^5+b^5=2a^2b^2 ，求证：1-ab 是一个有理数的平方 。

再给一思路：由a^5+ ...

多谢大佬！！

BlankDiary

llshs好石 发表于 2022-5-14 12:46
请各位老师多多指教 ，谢谢

您好！1-M>=0这里可以请教下如何得出吗，上面两根直接相乘用平方差理解吗？

BlankDiary

波斯猫猫 发表于 2022-5-15 00:26
题：已知有理数 a,b 满足等式 a^5+b^5=2a^2b^2 ，求证：1-ab 是一个有理数的平方 。

证：当ab=0时，显然 ...

这个思路很好理解，谢谢！

BlankDiary

波斯猫猫 发表于 2022-5-15 11:52
前面给的6个解法中，最后一个解法自然而简捷。

多谢大佬的解答