【答】设 α=π／7 ，证明：cosα 是 8x^3-4x^2-4x+1=0 的根

天山草

可否直接求出给定三次方程的公式解，并证明其中一个解是 \(cos(\pi/7)\) ?



运行上面程序得到三个公式解是：



如何证明上面的第二个根化简后就是 \(cos(\pi/7)\) ? 或者能不能把 mathemayica 程序改进一下，使之求出的三个公式解都有最简形式？

ysr

输入1:  a=8,  b=-4,  c=-4,  d=1;  输出结果1:    x1=-0.62348980185873353061884997175620924,  x2=0.22252093395631440449977056258454595,  x3=0.90096886790241912611907940917166329 m=-3.50000000000000000000000000000000000 n=18.18653347947321158203818658581165985i

由于m为有理数，此方程应该能得到根式解，我的软件只能给出数值解，也许用手工计算可以得到根式解（可能有负数开偶次方的情况）

dodonaomikiki

时空伴随者 发表于 2022-10-7 16:48
\(设\alpha=\frac\pi7，则sin4\alpha=sin3\alpha，\)
\(由倍角和三倍角公式展开得 4sin\alpha cos\alpha(2 ...

二倍角，三倍角用上去，
很是简捷！



感谢时空老师

dodonaomikiki

ysr 发表于 2022-10-8 07:03
输入1:  a=8,  b=-4,  c=-4,  d=1;  输出结果1:    x1=-0.62348980185873353061884997175620924,  x2=0.222 ...

Y老师很是执着！
谢谢你的执着，非常值得数学爱好者学习~~~~





我运用网路上的计算器，
运算到小数点后面8位，
和你的运算结果一对照，
非常之契合！
很是 \(       \boldsymbol{  \boxed{    喲茜}}  \)




可能因为我特别爱玩耍，
奇巧，特别的法子有时候非常吸引人让我感觉！

王守恩

Solve[{8 Cos[x]^3 - 4 Cos[x]^2 - 4 Cos[x] + 1 == 0, 1 > x > 0}, {x}] // FullSimplify

{{x -> \[Pi]/7}}

说得更好的还有：大胆地假设 小心地求证 [复制链接]

说得太好了！谢谢 时空伴随者！大胆地假设 小心地求证 ！

ysr

天山草 发表于 2022-10-7 11:17
可否直接求出给定三次方程的公式解，并证明其中一个解是 \(cos(\pi/7)\) ?

手工计算结果出来了，形式上是根式解实际不是，由于根号内有虚数，虚数开立方需要用到三角函数，所以无法手工计算出来数值，要把弧度制（实数制）的角度换算成角度制的，用计算器计算也不方便，计算器是可以计算的很麻烦的

dodonaomikiki

\(  YSL  \)     老师实在太执着，
已经被你的执着精神感动



做人确实应该这样，
首先把一件事做好！

第二件事？那.......到时候再说一件一件的，把事情做好，实际上，把人生延长啦

ysr

设x=cos(π／7),由于cosπ=-1,由7倍角公式得到一个7次方程：
64x^7-112x^5+56x^3-7x+1=0.

若用x-cos(π／7)试除，若能分解方程左边的多项式则x=cos(π／7)即为该方程的一个解，实际不好弄。

不知道x=cos（π／7）的值无法弄。

如果用x-0.90096886790241912623610231950745(这是个近似值可能余数不为0，会有个小余数的)或x-cos(π／7),试除8x^3-4x^2-4x+1=0，64x^7-112x^5+56x^3-7x+1=0能分解方程左边的多项式，则x=cos(π／7)是该俩方程的解。

时空伴随者

ysr 发表于 2022-10-10 07:14
设x=cos(π／7),由于cosπ=-1,由7倍角公式得到一个7次方程：
64x^7-112x^5+56x^3-7x+1=0.

分解因式，7次多项式没有本质的变化。
\(64x^7-112x^5+56x^3-7x+1=(x+1)(8x^3-4x^2-4x+1)^2\)

dodonaomikiki

可以，相当可以！
因为7倍角公示哦，几乎不曾耳闻，更木有实际运用过很有创意，值得点赞