求所有满足 xy^2=x^2+2x-3 的有理数组 (x,y)

dodonaomikiki

如果请社会上的辅导老师，
一些问题未必能够辅导！不是辅导老师不够聪明，而是她木有学过！金钱也失去作用



比如1939年的数学高考题，
解高次方程，已经从如今的高中教材里删除啦！
读完大学的工科生未必学过！


一些外国高考题，竞赛题，
一些辅导老师也未必辅导得了！
因为其“套路”在我们国内没有见过或者很少见

liangchuxu

谢谢各位指教。将原先错误之处加以修改。望各位继续给予指教。

luyuanhong

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波斯猫猫

题：求所有满足 xy^2=x^2+2x-3 的整数组 (x,y)。

思路：由xy^2=x^2+2x-3有，x^2+(2-y^2)x-3=0。显然关于x的一元二次方程的判别式

必为完全平方式，即(2-y^2)^2+12=a^2，或(a+y^2-2)(a-y^2+2)=12(a为整数)。

1，当a+y^2-2=1，a-y^2+2=12或a+y^2-2=-1，a-y^2+2=-12时，有2y^2=-7或2y^2=15。

2，当a+y^2-2=2，a-y^2+2=6或a+y^2-2=-2，a-y^2+2=-6时，有2y^2=0或2y^2=8。

3，当a+y^2-2=3，a-y^2+2=4或a+y^2-2=-3，a-y^2+2=-4时，有2y^2=3或2y^2=5。

4，当a+y^2-2=4，a-y^2+2=3或a+y^2-2=-4，a-y^2+2=-3时，有2y^2=5或2y^2=3。

5，当a+y^2-2=6，a-y^2+2=2或a+y^2-2=-6，a-y^2+2=-2时，有2y^2=8或2y^2=0。

6，当a+y^2-2=12，a-y^2+2=1或a+y^2-2=-12，a-y^2+2=-1时，有2y^2=15或2y^2=-7。

故，y=0(x=-3,x=1)，或y=±2(x=-1,x=3)。

故所有整数解为（-3，0），（1，0），（-1，2），（3，2），（-1，-2），（3，-2）。

luyuanhong

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liangchuxu

波斯猫猫 发表于 2023-2-5 21:06
题：求所有满足 xy^2=x^2+2x-3 的整数组 (x,y)。

思路：由xy^2=x^2+2x-3有，x^2+(2-y^2)x-3=0。显然关于 ...

谢谢波斯猫猫提醒，我把x=3,y=\(\pm2\)这组边缘解给漏了。