互素数对个数

yangchuanju · 发表于 2023-12-27 11:43

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-12-31 21:13 编辑

进一步再计算出（7）素数35+不含235素数、（8）素数35+素数35、（9）奇素数+奇素数之和后，
对（3）、（7）、（8）、（9）进行统计分析，得到(9)=(3)+(7)*2+(8)，
即给定偶数的哥猜素数对数（两奇素数和的个数）等于两不含235的素数和的个数+（素数35+不含235素数）和的个数*2+两35素数和的个数；
所得（9）式值经与连续偶数2-210的真实哥德巴赫猜想双计素数对比对，完全相等（不含2+2=4）！

若想证哥猜可以不计及因互素数系统中没有计入的素数2,3,5而少算的（7）和（8）两个正项，只计算两互素数和的个数（3）就可以了！，不过此时的偶数要大于16才行！

式号 (3) (7) (8) (9) 双哥=(9)
偶数对数对数对数对数双哥
2 0 0 0 0 0
4 0 0 0 0 0
6 0 0 1 1 1
8 0 0 2 2 2
10 0 1 1 3 3
12 0 1 0 2 2
14 1 1 0 3 3
16 0 2 0 4 4
18 2 1 0 4 4
20 2 1 0 4 4
22 1 2 0 5 5
24 4 1 0 6 6
26 3 1 0 5 5
28 2 1 0 4 4
30 6 0 0 6 6
32 2 1 0 4 4
34 3 2 0 7 7
36 6 1 0 8 8
38 3 0 0 3 3
40 4 1 0 6 6
42 6 1 0 8 8
44 4 1 0 6 6
46 3 2 0 7 7
48 8 1 0 10 10
50 6 1 0 8 8
52 4 1 0 6 6
54 10 0 0 10 10
56 4 1 0 6 6
58 5 1 0 7 7
60 12 0 0 12 12
62 3 1 0 5 5
64 6 2 0 10 10
66 10 1 0 12 12
68 4 0 0 4 4
70 8 1 0 10 10
72 10 1 0 12 12
74 7 1 0 9 9
76 6 2 0 10 10
78 12 1 0 14 14
80 8 0 0 8 8
82 7 1 0 9 9
84 14 1 0 16 16
86 7 1 0 9 9
88 6 1 0 8 8
90 18 0 0 18 18
92 6 1 0 8 8
94 7 1 0 9 9
96 14 0 0 14 14
98 6 0 0 6 6
100 10 1 0 12 12
102 14 1 0 16 16
104 8 1 0 10 10
106 7 2 0 11 11
108 14 1 0 16 16
110 10 1 0 12 12
112 10 2 0 14 14
114 18 1 0 20 20
116 10 1 0 12 12
118 9 1 0 11 11
120 24 0 0 24 24
122 7 0 0 7 7
124 10 0 0 10 10
126 20 0 0 20 20
128 6 0 0 6 6
130 12 1 0 14 14
132 16 1 0 18 18
134 9 1 0 11 11
136 8 1 0 10 10
138 16 0 0 16 16
140 12 1 0 14 14
142 11 2 0 15 15
144 20 1 0 22 22
146 11 0 0 11 11
148 10 0 0 10 10
150 24 0 0 24 24
152 6 1 0 8 8
154 12 2 0 16 16
156 20 1 0 22 22
158 9 0 0 9 9
160 14 1 0 16 16
162 18 1 0 20 20
164 10 0 0 10 10
166 9 1 0 11 11
168 24 1 0 26 26
170 16 1 0 18 18
172 10 1 0 12 12
174 22 0 0 22 22
176 12 1 0 14 14
178 11 1 0 13 13
180 28 0 0 28 28
182 10 1 0 12 12
184 12 2 0 16 16
186 24 1 0 26 26
188 10 0 0 10 10
190 16 0 0 16 16
192 22 0 0 22 22
194 11 1 0 13 13
196 14 2 0 18 18
198 24 1 0 26 26
200 14 1 0 16 16
202 13 2 0 17 17
204 26 1 0 28 28
206 13 0 0 13 13
208 14 0 0 14 14
210 38 0 0 38 38

yangchuanju · 发表于 2023-12-27 19:26

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-12-31 21:16 编辑

按照前述的算法，（参见10楼和11楼）
在分别计算出（1）互素数+互素数、（2）互素数+不含235的素数、（3）不含235的素数+不含235的素数、（4）互素数+非素互素数、（5）非素互素数+非素互素数之和个数后，
对5个和的个数进行统计分析，得到(3)=(1)-(4)*2+(5)，即两不含235的素数和的个数等于两互素数和的个数-（互素数+非素互素数）和的个数*2+两非素互素数和的个数。其中（2）为无用数据。
进一步再计算出（7）素数35+不含235素数、（8）素数35+素数35、（9）奇素数+奇素数之和后，
对（3）、（7）、（8）、（9）进行统计分析，得到(9)=(3)+(7)*2+(8)，
即给定偶数的哥猜素数对数（两奇素数和的个数）等于两不含235的素数和的个数+（素数35+不含235素数）和的个数*2+两35素数和的个数；
所得（9）式值经与连续偶数2-210的真实哥德巴赫猜想双计素数对比对，完全相等（不含2+2=4）！

若想计算某偶数的哥德巴赫猜想素数对数，需分两大步，计算繁杂；
如若在前述（1-）——（5）式的计算中都加进素数3和5，经计算仍然保持有(3)=(1)-(4)*2+(5)的等式关系，此时的
(1)为互素数+互素数表（都含35）；
(2)为互素数+素数（含35不含2），仍为无效数据；
(3)为素数+素数（都含35不含2）；
(4)为互素数（含35）+非素互素数；
(5)为非素互素数+非素互素数，加进素数3和5对个数计算值无影响。

不过原来的（1）有公式S=a*n+b可计算，加进素数3和5以后，不能再用个数计算个数了！

式号 (1) (2) (3) (4) (5) (3)=双哥
偶数对数对数对数对数对数双哥
2 1 0 0 1 1 0
4 2 1 0 1 0 0
6 3 2 1 1 0 1
8 4 3 2 1 0 2
10 3 3 3 0 0 3
12 4 3 2 1 0 2
14 5 4 3 1 0 3
16 4 4 4 0 0 4
18 6 5 4 1 0 4
20 6 5 4 1 0 4
22 5 5 5 0 0 5
24 8 7 6 1 0 6
26 5 5 5 0 0 5
28 4 4 4 0 0 4
30 8 7 6 1 0 6
32 6 5 4 1 0 4
34 7 7 7 0 0 7
36 8 8 8 0 0 8
38 5 4 3 1 0 3
40 6 6 6 0 0 6
42 10 9 8 1 0 8
44 8 7 6 1 0 6
46 7 7 7 0 0 7
48 12 11 10 1 0 10
50 10 8 8 2 2 8
52 8 7 6 1 0 6
54 14 12 10 2 0 10
56 8 7 6 1 0 6
58 7 7 7 0 0 7
60 16 14 12 2 0 12
62 9 7 5 2 0 5
64 10 10 10 0 0 10
66 14 13 12 1 0 12
68 8 6 4 2 0 4
70 10 10 10 0 0 10
72 16 14 12 2 0 12
74 11 10 9 1 0 9
76 10 10 10 0 0 10
78 18 15 14 3 2 14
80 14 11 8 3 0 8
82 11 10 9 1 0 9
84 20 18 16 2 0 16
86 11 10 9 1 0 9
88 10 9 8 1 0 8
90 24 21 18 3 0 18
92 12 9 8 3 2 8
94 13 11 9 2 0 9
96 20 17 14 3 0 14
98 11 8 6 3 1 6
100 14 13 12 1 0 12
102 22 19 16 3 0 16
104 14 12 10 2 0 10
106 13 12 11 1 0 11
108 24 20 16 4 0 16
110 18 15 12 3 0 12
112 14 14 14 0 0 14
114 26 23 20 3 0 20
116 14 13 12 1 0 12
118 13 12 11 1 0 11
120 32 27 24 5 2 24
122 15 10 7 5 2 7
124 16 13 10 3 0 10
126 26 22 20 4 2 20
128 14 10 6 4 0 6
130 18 16 14 2 0 14
132 28 23 18 5 0 18
134 17 13 11 4 2 11
136 16 13 10 3 0 10
138 30 23 16 7 0 16
140 22 17 14 5 2 14
142 17 16 15 1 0 15
144 32 26 22 6 2 22
146 17 14 11 3 0 11
148 16 13 10 3 0 10
150 40 32 24 8 0 24
152 18 13 8 5 0 8
154 19 17 16 2 1 16
156 32 27 22 5 0 22
158 17 13 9 4 0 9
160 22 19 16 3 0 16
162 34 26 20 8 2 20
164 20 15 10 5 0 10
166 19 15 11 4 0 11
168 36 29 26 7 4 26
170 26 20 18 6 4 18
172 20 16 12 4 0 12
174 38 30 22 8 0 22
176 20 17 14 3 0 14
178 19 16 13 3 0 13
180 48 38 28 10 0 28
182 21 15 12 6 3 12
184 22 19 16 3 0 16
186 38 32 26 6 0 26
188 20 14 10 6 2 10
190 26 21 16 5 0 16
192 40 30 22 10 2 22
194 23 18 13 5 0 13
196 22 19 18 3 2 18
198 42 33 26 9 2 26
200 30 23 16 7 0 16
202 23 20 17 3 0 17
204 44 35 28 9 2 28
206 23 18 13 5 0 13
208 22 18 14 4 0 14
210 56 43 38 13 8 38

yangchuanju · 发表于 2024-1-1 06:58

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-1-1 23:48 编辑

前曾给出（3）=（1）-（4）*2+（5），并把（2）认为是无效数据，实际上这种表达式是不恰当的，（4）的含义不清。
若对其中的各个互素数、奇素数、非素互素数两两相加，共有
(3参变量abc两两相加共有9种加法，a+a,a+b,b+b,a+c,c+c,b+c,b+a=a+b,c+a=a+c,c+b=b+c，后3种不再单独考虑还有6种加法)：
（1）互素数+互素数、（2）互素数+奇素数、（3）奇素数+奇素数、（4）互素数+非素互素数、（5）非素互素数+非素互素数、(6)奇素数+非素互素数；
（分别相当于与2互素的奇数列中的：奇数对、奇数+素数、素数对、奇数+合数、合数对、素合对）
六种加和数，对各组和数的个数进行加减处理，前曾给出（3）=（1）-（4）*2+（5），并把（2）认为是无效数据，计算式最好不用(4)，宜改用（6）。
再经推导，(3)+(5)+(6)*2=(1)，(3)=(1)-(6)*2-(5)；即素数对数=互素数对数-素合数对数*2-合数对数。
还可以导出(4)=(5)+(6)，即（互素数+非素互素数）和的个数=（非素互素数+非素互素数）和的个数+（素数+非素互素数）和的个数。

式号 (1) (3) (5) (6) (3)=双哥
偶数对数对数对数对数双哥
2 1 0 1 0 0
4 2 0 0 1 0
6 3 1 0 1 1
8 4 2 0 1 2
10 3 3 0 0 3
12 4 2 0 1 2
14 5 3 0 1 3
16 4 4 0 0 4
18 6 4 0 1 4
20 6 4 0 1 4
22 5 5 0 0 5
24 8 6 0 1 6
26 5 5 0 0 5
28 4 4 0 0 4
30 8 6 0 1 6
32 6 4 0 1 4
34 7 7 0 0 7
36 8 8 0 0 8
38 5 3 0 1 3
40 6 6 0 0 6
42 10 8 0 1 8
44 8 6 0 1 6
46 7 7 0 0 7
48 12 10 0 1 10
50 10 8 2 0 8
52 8 6 0 1 6
54 14 10 0 2 10
56 8 6 0 1 6
58 7 7 0 0 7
60 16 12 0 2 12
62 9 5 0 2 5
64 10 10 0 0 10
66 14 12 0 1 12
68 8 4 0 2 4
70 10 10 0 0 10
72 16 12 0 2 12
74 11 9 0 1 9
76 10 10 0 0 10
78 18 14 2 1 14
80 14 8 0 3 8
82 11 9 0 1 9
84 20 16 0 2 16
86 11 9 0 1 9
88 10 8 0 1 8
90 24 18 0 3 18
92 12 8 2 1 8
94 13 9 0 2 9
96 20 14 0 3 14
98 11 6 1 2 6
100 14 12 0 1 12
102 22 16 0 3 16
104 14 10 0 2 10
106 13 11 0 1 11
108 24 16 0 4 16
110 18 12 0 3 12
112 14 14 0 0 14
114 26 20 0 3 20
116 14 12 0 1 12
118 13 11 0 1 11
120 32 24 2 3 24
122 15 7 2 3 7
124 16 10 0 3 10
126 26 20 2 2 20
210 56 38 8 5 38

yangchuanju · 发表于 2024-1-1 07:31

7楼《互素数对数验算表》中说“本楼表=4楼表--5楼表--6楼表*2”，实际上就是“素数对=互素数对-非素互素数对-（素数+非素互素数）*2”；
或“素数对=互素数对-（素数+非素互素数）*2-非素互素数对”。
该关系式前几天被忘却了！

退一步退至奇素数系统就是
素数对=奇数对-素合对*2-合数对，奇数对=素数对+素合对*2+合数对，N/2=素数对+素合对*2+合数对；
又因素数个数=素数对数+素合对数，故有N/2=素数个数*2-素数对+合数对，素数对=素数个数*2+合数对-N/2，
此式即为崔坤的素数对等式。

yangchuanju · 发表于 2024-1-1 08:07

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-1-2 01:27 编辑

进一步，把与30互素的互素数改成与210互素、与2310互素、与30030互素，均可以导出
“（不含2 3 5 7 11 13的）奇素数对=互素数对-（奇素数+非素互素数）对*2-非素互素数对”的相等关系。
在给定偶数N以内，当互素数系统很大时，非素互素数个数可能没有或很少了，两个负项都变得很小，该偶数的素数对会接近于互素数对数；
互素数对数是容易求得的，对于a*[N/p#]+b，不计大于等于0的b，且a取最小值(p-2)#时，互素数对数不小于(p-2)#*[N/p#]，
偶数N的素数对数一定是一个很大的正数值！

yangchuanju · 发表于 2024-1-2 09:28

（不含2 3 5 7 11 13的）奇素数对=互素数对-（奇素数+非素互素数）对*2-非素互素数对；
互素数对=奇素数对+（奇素数+非素互素数）对*2+非素互素数对，相当于与2互素的奇数系统中的“奇数对N/2=素数对+素合对*2+合数对”；
奇素数个数=奇素数对数+（奇素数+非素互素数）对数，相当于与2互素的奇数系统中的“素数个数=素数对数+素合对数”；
带入上面关系式就有：
互素数对=奇素数个数*2-奇素数对+非素互素数对，相当于奇数系统中的“奇数对N/2=(奇)素数个数*2-(奇)素数对+(奇)合数对”；
奇素数对=奇素数个数*2+非素互素数对-互素数对，相当于奇数系统中的“(奇)素数对=(奇)素数个数*2+(奇)合数对-奇数对N/2”。
在与2互素的奇数系统中“素数对和（奇）合数对”为一对相互制约量，哪一个量都不易单独求出，同样在与30互素的奇数系统中“素数对和非素互素数对（合数对）”也是一对相互制约量，哪一个量也都不易单独求出！

yangchuanju · 发表于 2024-1-2 09:29

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-1-2 01:30 编辑

偶数N当用与2互素的互素数（奇数）对表达（合成）时，都有N/2个互素数（奇数）对；
偶数N当用与6互素的互素数对表达（合成）时，最多有2*[N/6]个互素数对，最少有1*[N/2]个互素数对；
偶数N当用与30互素的互素数对表达（合成）时，最多有8*[N/30]个互素数对，最少有3*[N/30]个互素数对；
偶数N当用与210互素的互素数对表达（合成）时，最多有48*[N/210]个互素数对，最少有15*[N/210]个互素数对；
偶数N当用与2310互素的互素数对表达（合成）时，最多有480*[N/2310]个互素数对，最少有135*[N/2310]个互素数对；
偶数N当用与30030互素的互素数对表达（合成）时，最多有5760*[N/30030]个互素数对，最少有1485*[N/30030]个互素数对；
……
偶数N当用与p#互素的互素数对表达（合成）时，最多有(p-1)#*[N/p#]个互素数对，最少有(p-2)#*[N/p#]个互素数对。
式中中括号[]表示取整；p#=2*3*5*……*p；（p-1)#=(2-1)*(3-1)*(5-1)*……*(p-1)；（p-2)#=(2-1)*(3-2)*(5-2)*……*(p-2)。

p p# (p-1)# (p-2)#
2 2 1 1
3 6 2 1
5 30 8 3
7 210 48 15
11 2310 480 135
13 30030 5760 1485
17 510510 92160 22275
19 9699690 1658880 378675
23 223092870 36495360 7952175
29 6469693230 1021870080 214708725
31 2.0056E+11 30656102400 6226553025
37 7.42074E+12 1.10362E+12 2.17929E+11
41 3.0425E+14 4.41448E+13 8.49924E+12
43 1.30828E+16 1.85408E+15 3.48469E+14
47 6.1489E+17 8.52877E+16 1.56811E+16

yangchuanju · 发表于 2024-1-2 09:39

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-1-2 01:42 编辑

6以内最大素数是2，与6互素的互素数有2个（1和5），其中素数1个（不含2和3）；

30以内最大素数是5，与30互素的互素数有8个（包括1），其中素数7个（不含235）；
210以内最大素数是13，与30互素的互素数有56个（包括1），其中素数43个（不含235），非素互素数13个；
7的倍数有7,11,13,17,19,23,29倍的49,77,91,119,133,161,203；11的倍数有11,13,17,19倍的121,143,187,209；13的倍数有13倍的169；共12个二合数，加上1共13个非素互素数；

210以内最大素数是13，与210互素的互素数有48个（包括1），其中素数42个（不含2357）；
2310以内最大素数是47，与210互素的互素数有528个（包括1），其中素数339个（不含2357，总343个）；
非素互素数为528-1-339=188个，其中二合数182个，三合数6个。
11^3=1331,13^3=2197,11^2*13=1573,11^2*17=2057,11^2*19=2299,11*13^2=1859

p 2310/p 二合数起止p
11 210.00 42 11-209
13 177.69 35 13-173
17 135.88 26 17-131
19 121.58 23 19-113
23 100.43 17 23-97
29 79.66 13 29-79
31 74.52 11 31-73
37 62.43 7 37-61
41 56.34 4 41,43,47,53
43 53.72 3 43,47,53
47 49.15 1 47
二合数182

yangchuanju · 发表于 2024-1-2 11:22

已知按模30的余数分类，余数与30互素的奇数列有8种——1,7,11,13,17,19,23,29；
15种不同余数的偶数可分成4类，4类偶数分别是30倍数的1种，10的倍数但不是30倍数的2种，6的倍数但不是30的倍数的4种，2的倍数但不是6,10,30倍数的8种；
4类偶数在用二互素数和表示时分别有8,6,4,3种表达式。
倍数 30 6 10 2
波因 2.67 2 1.33 1
种数 1 4 2 8
表达式 8 6 4 3

按模210的余数分类，余数与210互素的有48种——1,11,13,17,19,23,29……209；
105种不同余数的偶数可分成8类，8类偶数分别是210倍数的1种，70的倍数但不是210倍数的2种，42的倍数但不是210倍数的4种，30的倍数但不是210的倍数的6种，14的倍数但不是42,70,210的倍数的8种，10的倍数但不是30,70,210倍数的12种，6的倍数但不是30,42,210倍数的24种，2的倍数但不是6,10,14,30,42,70,210倍数的48种；
8类偶数（210,70,42,30,14,10,6,2），在用二互素数和表示时分别有48,24,36,40,18,20,30,15种表达式；
分别是与30互素的互素数系统中8,6,4,3的7-1=6或7-2=5倍。
倍数 210 30 42 6 70 10 14 2
波因 3.2 2.67 2.4 2 1.6 1.33 1.2 1
种数 1 6 4 24 2 12 8 48
表达式 48 40 36 30 24 20 18 15

yangchuanju · 发表于 2024-1-2 11:38

按模2310的余数分类，余数与2310互素的有480种——1,13,17,19,23,29……2309；
1155种不同余数的偶数可分成16类，16类偶数分别是2310倍数的1种，……，2的倍数但不是6,10,14,30,42,70,210……倍数的480种；
16类偶数，在用二互素数和表示时分别有480-135种表达式；
分别是与210互素的互素数系统中48-15种的11-1=10或11-2=9倍。
表达式
480 432 400 360 300 324 270
240 216 200 180 162 150 135
内360实际是2种：360=36*10=40*9；180也为2种：180=18*10=20*9；16种不同的表达式数变成14种。

按模30030的余数分类，余数与30030互素的有5760种——1,17,19,23,29……20029；
15015种不同余数的偶数可分成32类，32类偶数分别是30030倍数的1种，……，2的倍数但不是6,10,14,30,42,70,210……倍数的5760种；
32类偶数，在用二互素数和表示时分别有5760-1485种表达式；
分别是与2310互素的互素数系统中480-135种的13-1=12或13-2=11倍。
表达式
5760 5184 4800 4320 3600 3888 3240
2880 2592 2400 2160 1944 1800 1620
5280 4752 4400 3960 3300 3564 2970
2640 2376 2200 1980 1782 1650 1485
内4320=360*12,3960=360*11,2160=180*12,1980=180*11都是2种；32种不同的表达式数变成28种。

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