一题 \(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\) 多解

lusishun

设131·137·149k=n，
139m=n+1，
则
X=(a^n-3)^(137·149k）
y=(a^n-3)^(131·149k），
z=（a^n-3)^m,
U=[a(a^n-3)^(131·137k）.
（a为大于1的整数）

k，m是不定方程131·137·149k+1=139m的最小的一组解。

lusishun

lusishun 发表于 2024-2-24 22:11
设131·137·149k=n，
139m=n+1，
则

推导出上述解，应用到将于20240314公布的公式，不好理解。网友见谅。

蔡家雄

把 2025 表为 m 个连续的质数之和，求：最小的 m = ?

蔡家雄

把 a^2 的数字逆写，得到另一个平方数 b^2 , 这样的解是有限？还是无限？

例：121——121，144——441，169——961，441——144，484——484，

676——676，961——169，1089——9801，

王守恩

我是 DeepSeek，很高兴见到你！

我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧~

把 a^2 的数字逆写，得到另一个平方数 b^2 , 这样的解是有限？还是无限？

例：121——121，144——441，169——961，441——144，484——484，676——676，961——169，1089——9801，

1. 理解问题

首先，我们需要明确问题的含义。给定一个平方数 a^2a2，将其数字逆序排列后得到另一个数 b^2b 2 ，即 b^2b 2是 a^2a2的数字逆序。

我们的目标是确定这样的 aa 和 bb 是否存在无限多个解，或者只有有限个解。

2. 分析已知的例子

让我们先看看已知的例子：

11^2 = 12111 2=121 → 逆序后还是 121，即 11^2 = 121112=121

12^2 = 144122=144 → 逆序后是 441，即 21^2 = 441212=441

13^2 = 169132=169 → 逆序后是 961，即 31^2 = 961312=961

21^2 = 441212=441 → 逆序后是 144，即 12^2 = 144122=144

22^2 = 484222=484 → 逆序后还是 484，即 22^2 = 484222=484

26^2 = 67626 2=676 → 逆序后还是 676，即 26^2 = 676262=676

31^2 = 961312=961 → 逆序后是 169，即 13^2 = 169132=169

33^2 = 1089332=1089 → 逆序后是 9801，即 99^2 = 9801992=9801

这些例子表明，确实存在一些平方数，其数字逆序后仍然是平方数。

3. 寻找规律

为了确定是否存在无限多个这样的解，我们需要寻找其中的规律或模式。我们可以从以下几个方面入手：

数字长度：平方数的位数是否影响结果？

回文数：如果平方数本身是回文数（即正读反读都一样），那么逆序后仍然是它本身。

非回文数：对于非回文数的平方数，逆序后是否仍然是平方数？

4. 回文数的平方

首先，考虑回文数的平方。回文数的平方仍然是回文数，例如：

11^2 = 121112=121

22^2 = 484222=484

26^2 = 676262=676

这些例子表明，回文数的平方在逆序后仍然是平方数，因为它们本身就是回文数。

5. 非回文数的平方

接下来，考虑非回文数的平方。例如：

12^2 = 144122=144 → 逆序后是 441，即 21^2 = 441212=441

13^2 = 169132=169 → 逆序后是 961，即 31^2 = 961312=961

21^2 = 441212=441 → 逆序后是 144，即 12^2 = 144122=144

31^2 = 961312=961 → 逆序后是 169，即 13^2 = 169132=169

33^2 = 1089332=1089 → 逆序后是 9801，即 99^2 = 9801992=9801

这些例子表明，非回文数的平方在逆序后也可能是平方数。

6. 探索更大的数

为了确定是否存在无限多个解，我们需要尝试更大的数。让我们尝试一些更大的平方数：

102^2 = 104041022=10404 → 逆序后是 40401，检查 \sqrt{40401}40401​是否为整数。

201^2 = 404012012=40401，所以 102^2 = 104041022=10404 逆序后是 201^2 = 404012012=40401

112^2 = 12544112=12544 → 逆序后是 44521，检查 \sqrt{44521}44521​是否为整数。

211^2 = 445212112=44521，所以 112^2 = 125441122=12544 逆序后是 211^2 = 445212112=44521

122^2 = 148841222=14884 → 逆序后是 48841，检查 \sqrt{48841}48841​是否为整数。

221^2 = 488412212=48841，所以 122^2 = 148841222=14884 逆序后是 221^2 = 488412212=48841

这些例子表明，随着数的增大，仍然存在这样的解。

7. 数学上的分析

为了更深入地理解这个问题，我们可以从数学角度进行分析。假设 a^2a 2是一个 nn-位数，其数字逆序后得到 b^2b2。

我们需要探讨 aa 和 bb 之间的关系。

考虑 aa 和 bb 的关系，可以发现 bb 实际上是 aa 的数字逆序。例如：

a = 12a=12, b = 21b=21

a = 13a=13, b = 31b=31

a = 102a=102, b = 201b=201

这表明 bb 是 aa 的数字逆序。因此，问题转化为：是否存在无限多个 aa 使得 a^2a2的数字逆序仍然是某个数的平方。

8. 数字逆序的性质。

数字逆序操作具有以下性质：

对于回文数，逆序后不变。

对于非回文数，逆序后会得到不同的数。

因此，我们需要探讨在平方数中，回文数和非回文数的分布情况。

9. 回文平方数的无限性

回文平方数是指平方数本身是回文数。已知存在无限多个回文平方数，例如：

1^2 = 112=1

2^2 = 422=4

3^2 = 932=9

11^2 = 121112=121

22^2 = 484222=484

26^2 = 676262=676

101^2 = 102011012=10201

111^2 = 123211112=12321

121^2 = 146411212=14641

...

这些回文平方数的逆序仍然是它们本身，因此它们满足题目的条件。

10. 非回文平方数的无限性

除了回文平方数，我们还需要考虑非回文平方数的逆序是否仍然是平方数。从已知的例子来看，存在一些非回文平方数，其逆序仍然是平方数。例如：

12^2 = 144122=144 → 逆序后是 441，即 21^2 = 441212=441

13^2 = 169132=169 → 逆序后是 961，即 31^2 = 961312=961

102^2 = 104041022=10404 → 逆序后是 40401，即 201^2 = 40401201 2=40401

112^2 = 125441122=12544 → 逆序后是 44521，即 211^2 = 44521211 2=44521

122^2 = 148841222=14884 → 逆序后是 48841，即 221^2 = 488412212=48841

这些例子表明，非回文平方数的逆序也可能是平方数。因此，我们需要探讨是否存在无限多个这样的非回文平方数。

11. 构造更多的解

为了进一步探讨，我们可以尝试构造更多的解。考虑以下步骤：

选择一个数 aa。

计算 a^2a2。

将 a^2a2的数字逆序，得到 b^2b2。

检查 b^2b2是否是一个完全平方数。

让我们尝试一些更大的数：

103^2 = 10609103 2=10609 → 逆序后是 90601，检查 \sqrt{90601} 90601​是否为整数。

301^2 = 906013012=90601，所以 103^2 = 106091032=10609 逆序后是 301^2 = 906013012=90601

113^2 = 127691132=12769 → 逆序后是 96721，检查 \sqrt{96721} 96721​是否为整数。

311^2 = 967213112=96721，所以 113^2 = 127691132=12769 逆序后是 311^2 = 967213112=96721

123^2 = 151291232=15129 → 逆序后是 92151，检查 \sqrt{92151} 92151​是否为整数。

计算 \sqrt{92151} \approx 303.569215​≈303.56，不是整数，因此 123^2 = 151291232=15129 逆序后不是平方数。

从这些例子可以看出，虽然有些数的平方逆序后仍然是平方数，但并非所有数都满足这一条件。

12. 寻找模式

通过以上例子，我们可以尝试寻找一些模式或规律。例如：

当 aa 的个位数为 1、2、3 时，a^2a2的逆序可能是平方数。

当 aa 的个位数为其他数字时，a^2a2的逆序可能不是平方数。

然而，这种观察并不足以确定是否存在无限多个解。我们需要更深入的分析。

13. 数学上的限制

考虑数字逆序操作对平方数的影响。数字逆序操作会改变数的位数和数字的排列顺序，这可能会影响数的平方性质。具体来说：

数字逆序操作可能会改变数的奇偶性、模 3、模 9 等性质。

平方数本身具有特定的性质，例如模 4 只能为 0 或 1。

因此，数字逆序操作可能会破坏平方数的某些性质，导致逆序后的数不再是平方数。

14. 数论中的相关理论

在数论中，关于数字排列和平方数的研究较为有限。然而，有一些相关的研究和猜想，例如：

回文平方数：已知存在无限多个回文平方数。

数字排列与平方数：关于数字排列后是否仍然是平方数的研究较少。

因此，我们需要基于已知的数学理论和例子进行推断。

15. 归纳推理

基于已知的例子和数学理论，我们可以进行归纳推理：

存在无限多个回文平方数，它们的逆序仍然是平方数。

存在一些非回文平方数，其逆序仍然是平方数。

随着数的增大，找到这样的非回文平方数的难度增加。

因此，可以推测，虽然存在无限多个回文平方数满足条件，但非回文平方数满足条件的数量可能是有限的。

16. 结论

综合以上分析，我们可以得出以下结论：

回文平方数：存在无限多个回文平方数，它们的逆序仍然是平方数。

非回文平方数：存在一些非回文平方数，其逆序仍然是平方数，但这些解的数量可能是有限的。

因此，总体而言，满足题目条件的解是无限多个，主要来自于回文平方数。非回文平方数中满足条件的解虽然存在，但数量有限。

17. 最终答案

综上所述，将平方数 a^2a 2的数字逆序后得到另一个平方数 b^2b2的解是无限多个。

这些解主要来自于回文平方数，即平方数本身是回文数的情况。此外，也存在一些非回文平方数满足这一条件，但这些解的数量相对有限。因此，总体来说，满足条件的解是无限多个。

蔡家雄

例：343，1331，1367631， 是回文立方数，

问：回文可逆立方数是有限个？还是无限个？

王守恩

蔡家雄 发表于 2025-2-16 17:06
例：343，1331，1367631， 是回文立方数，

问：回文可逆立方数是有限个？还是无限个？

{1, 2, 7, 11, 101, 111, 1001, 1011, 1101, 10001, 10011, 10101, 11001, 11011, 100001, 100011, 100101, 100111, 101001, 101011, 101101, 110001, 110011, 110101, 111001, 1000001,
1000011, 1000101, 1000111, 1001001,  1001011, 1001101, 1010001, 1010011, 1011001, 1100001, 1100011, 1100101, 1101001, 1110001, 10000001,  10000011, 10000101, 10000111,
10001001, 10001011, 10001101, 10010001, 10010011, 10010101, 10011001, 10100001,10100011, 10100101,10101001, 10110001, 11000001,11000011,11000101,11001001,11010001,
11100001, 100000001, 100000011, 100000101, 100000111, 100001001, 100001011, 100001101, 100010001, 100010011, 100011001, 100100001, 100100011, 100100101,  100101001,
100110001, 101000001, 101000011, 101000101, 101001001, 101100001, 110000001, 110000011, 110000101, 110001001, 110010001, 110100001, 111000001}

1. Select[Range[(10^9 - 1)/9], IntegerReverse[#]^3 == IntegerReverse[#^3] && Mod[#, 10] != 0 &]

复制代码

OEIS——A085315——有这串数可惜只有40项——这里有88项——是因为通项公式没有我们的好。

我的电脑不行(学习版)——你的电脑比我好——再来几项！——谢谢！！

王守恩

1. Solve[{IntegerReverse[x^2] == y^2, y >= x, 9000 > x > 0}, {x, y}, Integers]

复制代码

{x -> 1, y -> 1, x -> 2, y -> 2, x -> 3, y -> 3, x -> 11, y -> 11, x -> 12, y -> 21, x -> 13, y -> 31, x -> 22, y -> 22, x -> 26, y -> 26, x -> 33, y -> 99, x -> 101, y -> 101, x -> 102, y -> 201, x -> 103, y -> 301,
x -> 111, y -> 111, x -> 112, y -> 211, x -> 113, y -> 311, x -> 121, y -> 121, x -> 122, y -> 221, x -> 202, y -> 202, x -> 212, y -> 212, x -> 264, y -> 264, x -> 307, y -> 307, x -> 836, y -> 836, x -> 1001, y -> 1001,
x -> 1002, y -> 2001, x -> 1003, y -> 3001, x -> 1011, y -> 1101, x -> 1012, y -> 2101, x -> 1013, y -> 3101, x -> 1021, y -> 1201, x -> 1022, y -> 2201, x -> 1031, y -> 1301, x -> 1102, y -> 2011, x -> 1103, y -> 3011,

只要 x ——1, 2, 3, 11, 12, 13, 22, 26, 33, 101, 102, 103, 111, 112, 113, 121, 122, 202, 212, 264, 307, 836, 1001, 1002, 1003, 1011, 1012, 1013, 1021, 1022, 1031, 1102, 1103,

我们太超前了——OEIS连这串数也没有。

蔡家雄

设 \(a , b\) 都是 \(n\) 位数，

若 \(a^2\) 的最后\(n\)位数字是\(a , b^2\) 的最后\(n\)位数字是\(b\) ,

则 \(a+b = 10^n+1\) .

蔡家雄

存在两个自守平方数，

是否存在自守立方数？如果存在，有几个自守立方数？