|
|
楼主 |
发表于 2010-12-7 12:36
|
显示全部楼层
[讨论]论哥猜成立的必要条件
继续探讨：
3，当A=（2n+1）（2a+1），且2n+1，2a+1均为素数时，分类讨论如下；
当n=a时，（2n+1）^2=4n^2+4n+1,则(2n+1)^2+1=4n^2+4n+2,所以(A+1)/2=2n^2+2n+1,(2n^2+2n+1)/(2n+1)=n(取整数部分),故随着n值增大，奇合数对增多，但不一定能使素数和合数比例反转，此时若A不能被3整除，则与3对应的必为A除以3的一次同余系，其中有素数但最多只有一个可能与3对应，若与3对应的是合数，则至少还有一个合数与3的倍数（如9）对应，且是A除以3的一次同余系，与57……对应的亦如此，故下排一个素数至少抵消上排2个合数，设Pi为下一排最大素数，则2Pi<2A,1<A/Pi<2,设L=i+1,则2PL>2A,0< L<1,所以当试到Pi时，上排早已没有合数，不会再有奇合数，下排至少还剩Pi一个素数，故此时素数对至少一对成立。
当a=n+2,4,6,8……时，则A/（2n+1）>n,A/(2a+1)<n,二者之和远大于n,则同理会有多对奇合数被消耗,最后实现素数和奇合数的比例反转，故此时素数对至少一对成立。
如：2*49=98
49 51……61……67……79……
49 47……37……31……19……共3对素数对。
综上所述，只要证明A=(2n+1)^2，其中2n+1为素数，此时哥猜成立，则其他情况均成立。
证：设上一排（大数）的质数和合数分别为a和b，下一排（小数）分别为c和d，则有a+b=c+d，b和d设为上下两排同时抵消n个2n+1的倍数的合数后剩下的合数，由于一般的下一排的素数稠密度高于上一排，则有a>c，则a-c=b-d>0，下一排上下两排是成对抵消的，若下一排的素数抵消一部分，剩下a1个，合数剩下b1个，上一排的合数剩下d1个，上下两排总个数仍相等，则有a1+b1=c+d1，只要c>b1>d1,则哥猜成立，此不等式恒成立的证明如下；由于上下两排是同时即成对抵消的，若a1=1，b1=b-a+1=b-2a+1=b-3a+1=……，则有d1=d-2a+1=d-3a+1=d-4a+1=……，则只要不等式c>b-a+1>d-2a+1,或c>b-2a+1>d-3a+1,或……恒成立，则哥猜成立，当d减去2a，3a，4a，或……刚好 小于或等于0时，即d1刚好小于或等于0时（此时可能有质对子被减掉，但由于上下成对抵消，下排始终有一素数，不会影响结果），a1必不为0且大于0，则不等式c>a1>d1恒成立，故哥猜成立，举例验证如下：
2*17^2=2*289=578,则有
289 291 293 ……577
289 287 285……1
上一排有45个素数，下一排有60个素数，抵消了8个17的奇数倍的和数，则a=60，c=45，b=145-60-8=77，d=145-45-8=92，a1=b-a+1=77-60+1=18，d1=d-2a+1=92-2*60+1=-27<0，c=45>18=a1，c-18=45-18=27，故至少有一对素数对是成立的，哥猜恒成立，证毕。
|
|
IP卡
狗仔卡
显身卡
发表于 2010-12-7 12:59