这样的“实数”如何能连续

elimqiu

这是55页上的内容。E书版本不详。

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2010/10/30 06:34am 第 1 次编辑]

[color=#8B008B]
《数学分析》主要用的概念是“连续”。
可在给出了“对任意实数a，即不存在小于a的最大实数，也不存在大于a的最小实数”
因此也感到这个“连续”出了问题，因此改称什么“自密”呀等。
而《拓朴》主要论述的是“列紧”，而对于“连续”“完备”的概念就很少出现。
为什么？就是因为在这种性质下说“连续”或“完备”也觉得底气不足。

elimqiu

说连续出了问题就把问题指出来。搞文字游戏有意思吗？
R 的连续性有很多等价说法。你只要按其中一个说法找出矛盾就可以推翻实数的连续性了。不要把概念曲解了。那样做没有底气。

elimqiu

直观地说，直线的连续就是不间断，而间断就是点的缺失。
换句话说，如果在某‘直线’上找到了一个位置，该‘直线’的相对于这个位置左边的部分（非空）与相对于这个位置的右边的部分（非空）构成了该‘直线’，那么这个位置上该‘直线’就有缺失。可以添加一个点到该‘直线’上去。所谓直线是连续的意思就是说不存在这种位置。
把上面的思想搬到实数集R的情况就是说， 不存在R的分划，即非空的子集 A和B， 使得 R = A∪B， 而A的元素恒小于B的元素，并且A没有最大元，B没有最小元。
所谓戴德金的实数构造，就是从有理数集出发，把所有的‘缺失’都补上了，如此得到实数集R。
首先有了R的连续性，然后函数的连续性定义才比较靠近我们对连续的普通用法。

zhaolu48

下面引用由elimqiu在 2010/10/28 05:00am 发表的内容：

这是55页上的内容。E书版本不详。
[/quote]

elimqiu

【在“在对任何实数a都不存在大于a的最小实数，也不存在小于a的最大实数”的性质下，那么任意一个实数都是“孤立点”】
这不但是歪曲，还是颠倒。

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2010/11/01 10:07pm 第 2 次编辑]

下面引用由elimqiu在 2010/11/01 01:55pm 发表的内容：
【在“在对任何实数a都不存在大于a的最小实数，也不存在小于a的最大实数”的性质下，那么任意一个实数都是“孤立点”】
这不但是歪曲，还是颠倒。

说一说是歪曲与颠倒的根据。
实数理论说，对于小于b的任意实数a，a,b间都可以插入无数个实数，能“插入”，就说明有空隙，即在b的左边总是存在着“空隙”，同理在b的右边也总是存在着“空隙”。
因此说b是一个“孤立点”。
事实上每一个实数都不应该是孤立点，要想每一个实数在实数集中都不是孤立点，必须废除“对任何实数a都不存在大于a的最小实数，也不存在小于a的最大实数”这一性质。
也就是说即存在小于a的最大实数，也存在大于a的最小实数。
从绝对意义上说，小于a的最大实数“既是a同时又小于a的一个矛盾数，既是a同时又小于a的实数有可数个以至达到某个连续统无穷个，同理既是a同时又大于a的矛盾实数也可达到某个连续统无穷个。
这也就是说与每个实数，都可有一个连续统无穷个两两相邻的点与其对应。把这样的连续统无穷个点或矛盾实数构成的线段，称为一个“完备元”，这就说一个完备元与一个实数对应，而不是一个点与一个实数对应，而完备元集是“可数集”，这就是说在性质“对任何实数a都不存在大于a的最小实数，也不存在小于a的最大实数”下的实数集是可数集，
只有把所有的矛盾数都并到现在的“实数集”中才能成为真正的“实数集”。
这里只是简单的提出一个“完备元”的概念。再由完备元定义“完备集”才能真正成为完备集。

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2010/11/01 03:34pm 第 1 次编辑]

下面引用由zhaolu48在 2010/11/01 10:02pm 发表的内容：
说一说是歪曲与颠倒的根据。
实数理论说，对于小于b的任意实数a，a,b间都可以插入无数个实数，能“插入”，就说明有空隙，即在b的左边总是存在着“空隙”，同理在b的右边也总是存在着“空隙”。
因此说b是一个“孤立点”。

说 x 是点集 A 的孤立点， 如果 x 属于 A 而且 A ∩ (x-ε,x+ε) = {x]
对某 ε > 0 成立。说你语文，逻辑不好你不理会。实际情况是你处处表现思想混乱么。
一个点是不是孤立是相对于某个点集而言的。例如 1 不是 [0,1] 的孤立点，却是
[0,1/2]∪{1}∪(2,5) 的孤立点。
怎么什么概念到你这里非得走样不可？
端正你的学风，从第一个你可以接受并且一贯地使用的概念开始吧。

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2010/11/02 11:25am 第 2 次编辑]

下面引用由elimqiu在 2010/11/01 03:31pm 发表的内容：
说 x 是点集 A 的孤立点， 如果 x 属于 A 而且 A ∩ (x-ε,x+ε) = {x]
对某 ε > 0 成立。说你语文，逻辑不好你不理会。实际情况是你处处表现思想混乱么。
一个点是不是孤立是相对于某个点集而言的。例如 1  ...

[color=#0000FF]
你的辨认能力是比较“强”，但是你的强是建立在诡辩基础上的。
我的逻辑推理是，在“对任意实数a，不存在小于a的最大实数，也不存在大于a的最小实数”的条件下，每一个实数都是孤立点。
也就是说，现在实数理论下认为是非孤立点的点在实质上都是孤立点。
也就是说现有实数理论对非孤立点的定义就不准确。
即满足这个非孤立点的条件下，可能这个点仍是孤立点。
当然你用当前的实数观点为依据，我的观点当然不成立。
比如我在15楼用现在的完全集的定义证明出有理数集是“完全集”。
而完全集是没有孤立点，而在康托理论看来(事实上也是)有理数都是孤立点。
请看我的证明哪里错了。
如果你找不到我的证明错误之处，就说明现在的实数理论关于非孤立点的定义是错误的。
也就是说，现在的实数理论关于孤立点的定义只是一个充分条件，不是必要条件。也就是说满足定义条件的点一定是孤立点，但是的孤立点并不一定要满足这个孤立点的定义。
反之关于非孤立点的定义，只是必要条件，而非充分条件。
因此你用现在的“孤立点”定义说明 x 是孤立点当然是对的，但它说明不了什么，与我的观点是否错误没有任何关系。
这样的逻辑你是发现不了的。
[color=#0000FF]文字

elimqiu

下面引用由zhaolu48在 2010/11/02 11:13am 发表的内容：
你的辨认能力是比较“强”，但是你的强是建立在诡辩基础上的。
我的逻辑推理是，在“对任意实数a，不存在小于a的最大实数，也不存在大于a的最小实数”的条件下，每一个实数都是孤立点。

你歪曲概念不是要搞诡辩，别人指出你的颠倒反叫作诡辩。
如果你继续颠倒概念，你怎么与人沟通？

[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
按照孤立点的定义，能够得出实数系的每个点皆孤立的结论的逻辑显然不是正常人可以发现的。 姑且叫作赵氏逻辑好了。呵呵