[讨论]三角方程的解？

luyuanhong

下面引用由qingjiao在 2011/05/02 11:56am 发表的内容：
令cosx+cos(x/2)+cos(x/3)+cos(x/4)+...+cos(x/n)=n，
则x=?

此题解答如下：

qingjiao

呵呵，陆教授也会避重就轻呀？ 这个问题看似平凡，其实不平凡。 在数论中有个重要函数ψ(x)=∑∧(n)，∧(n)=lnP，若n=P^k；∧(n)=0，其他。 由ψ(x)的定义可知，exp(ψ(x))就是1,2,3,4,...,x的最小公倍数。 ψ(x)可用下式计算： ψ(x)=[lnx/ln2]*ln2+[lnx/ln3]*ln3+[lnx/ln5]*ln5+...[lnx/lnp]*lnp，p<=x。 但要理论分析这个式子是很困难的。目前数学界只能确定ψ(x)~x，其误差项依然很大，这就限制了π(x)的精确度难以提高。 主贴就是给出了一条新的途径去求ψ(x)。一旦能将最小公倍数T用n的函数比较精确地表达出来，很多问题都解决了。 虽然陆教授总是说自己对数论没有研究，但我觉得您值得试一试。其他网友也可以试一试。这可能是我想过的许多种方法中最有希望的一种了。

qingjiao

[这个贴子最后由qingjiao在 2011/05/06 00:30am 第 1 次编辑]


除了4楼，6楼提到的解法外，还可以考虑将cos(x/m)各项进行拉氏变换，看看和函数能否提出(1-e^-sT)的因子。按照拉氏变换的理论，周期函数是肯定有这个因子的，而且这个因子的T只能是1,2,3,4,...n的最小公倍数*2π。
当然可能还有很多其他解法。但我的数学能力有限，所以还得请陆教授为数学发展多作贡献，为祖国争光了。

qingjiao

无论如何，按4楼的方法，用n倍角公式可以得到一个不含三角函数的关于最小公倍数T的有限项有限次方程。这恐怕已是前人未有的。理论上说，解这个方程就能求出绝对精确的T，只是解这个方程仍然太难。
因为cos(2π*T/m)可以用cos2π的函数表示，而cos2π=1，故最后的方程不含三角函数。

drc2000

设1,2,...,n间素数为a1,a2,...,ak,
则最小公倍数为:
T=Π(ai^[lnn/lnai])
(其中i是下标,从1到k;中括号为取整函数)

qingjiao

[这个贴子最后由qingjiao在 2011/05/06 00:49am 第 1 次编辑]

下面引用由drc2000在 2011/05/06 00:42am 发表的内容：
设1,2,...,n间素数为a1,a2,...,ak,
则最小公倍数为:
T=Π(ai^)
(其中i是下标,从1到k;中括号为取整函数)

这和我12楼的式子意义是一样的，理论分析它很困难。
必须将T用只含n的函数表示出来，哪怕只是近似，只要比现有的精度大幅提高就行。
现有的精度大约是T≈exp(n)。

drc2000

下面引用由qingjiao在 2011/05/06 00:47am 发表的内容：
...
理论分析它很困难。
...

关于你的那道三角方程解的问题,我只能说出这么多了....
再进行下去,恐怕就是关于素数研究的问题了,离原三角方程求解相去甚远.
而我对素数的了解,几乎为零....
对不起.