s = 1 时的欧拉乘积公式

qingjiao · 发表于 2011-6-14 23:54

[这个贴子最后由qingjiao在 2011/06/14 11:56pm 第 1 次编辑]

2.∏(1-1/p)=e^(-γ)/lnx+O(1/(lnx)^2)，p≤x x→∞。
3.∏(1-1/p)=1/lnx ， p≤√x ，x→∞。
===========================
大傻先生，这两个式子p的取值都是有限项，因此是不相容的。
如果2式成立，那么p≤√x ，x→∞时，∏(1-1/p)-->2e^(-γ)/lnx。
我只能认为是陆教授搞错了，或者搞得不仔细。

大傻8888888 · 发表于 2011-6-15 20:53

我认为qingjiao先生的“如果2式成立，那么p≤√x ，x→∞时，∏(1-1/p)-->2e^(-γ)/lnx。”是不成立的。如果成立就会得出如√x＜p≤x ，x→∞时，∏(1-1/p)-->2这样错误的结果。
qingjiao先生认为是陆教授搞错了，或者搞得不仔细。可是从陆教授的结果可以直接推导出素数定理，而素数定理的成立是不言而喻的。陆教授的证明如下，希望qingjiao先生指教：
由于陆教授的证明文件大小超过200 KB无法上传。在我发的帖子“再谈连乘积里素数p的取值范围不同而产生的问题”里面有陆教授的证明。

天山草 · 发表于 2011-6-15 21:48

今天把软件和素数表重装进这台新电脑中去了，很顺利。编程算了一下，结果如下。
表中第一列是自然数的范围（从 1 算到 n），计算时当然是连续算的，下表只打印了其中某些行。表中第二列 s 是这些自然数的倒数和，第三列 H 是主帖公式【2】右边的连乘积（不包括前面的系数e^-γ），各因子中的素数值不超过 n；第四列是 K=s/H。本人认为当 n 趋于无穷大时，K 值就会趋于公式【2】右边的e^γ；为了证实这个想法，表中第五列算了一下 K 与e^γ的比值，确实是趋于 1 的。
   n          s          H       K=s/H    K:e^γ
-----------------------------------------------------------
10000000 16.6953    28.7077 .5815607 1.035801
20000000 17.3884    29.9424 .5807289 1.034320
30000000 17.7939    30.6645 .5802767 1.033514
40000000 18.0816    31.1769 .5799678 1.032964
50000000 18.3047    31.5742 .5797357 1.032551
60000000 18.4870    31.8989 .5795512 1.032222
70000000 18.6412    32.1735 .5793964 1.031946
80000000 18.7747    32.4112 .5792661 1.031714
90000000 18.8925    32.6210 .5791524 1.031512
100000000 18.9978    32.8086 .5790505 1.031331
110000000 19.0932    32.9785 .5789578 1.031165
120000000 19.1802    33.1334 .5788782 1.031024
130000000 19.2602    33.2760 .5788028 1.030889
140000000 19.3343    33.4079 .5787350 1.030769
150000000 19.4033    33.5308 .5786715 1.030655
160000000 19.4679    33.6457 .5786134 1.030552
170000000 19.5285    33.7537 .5785581 1.030453
180000000 19.5856    33.8556 .5785053 1.030359
190000000 19.6397    33.9519 .5784577 1.030275
200000000 19.6910    34.0432 .5784133 1.030196
210000000 19.7398    34.1301 .5783696 1.030118
220000000 19.7863    34.2129 .5783295 1.030046
230000000 19.8308    34.2921 .5782904 1.029977
240000000 19.8733    34.3679 .5782528 1.029910
250000000 19.9141    34.4406 .5782172 1.029846
260000000 19.9534    34.5105 .5781834 1.029786
270000000 19.9911    34.5777 .5781510 1.029728
280000000 20.0275    34.6425 .5781197 1.029673
290000000 20.0626    34.7049 .5780898 1.029619
300000000 20.0965    34.7653 .5780611 1.029568
310000000 20.1292    34.8238 .5780327 1.029518
320000000 20.1610    34.8803 .5780065 1.029471
330000000 20.1918    34.9351 .5779804 1.029425
340000000 20.2216    34.9882 .5779558 1.029381
350000000 20.2506    35.0399 .5779311 1.029337
360000000 20.2788    35.0900 .5779078 1.029295
370000000 20.3062    35.1388 .5778852 1.029255
380000000 20.3328    35.1864 .5778623 1.029214
390000000 20.3588    35.2326 .5778408 1.029176
400000000 20.3841    35.2777 .5778200 1.029139
410000000 20.4088    35.3217 .5777998 1.029103
420000000 20.4329    35.3646 .5777802 1.029068
430000000 20.4565    35.4065 .5777606 1.029033
440000000 20.4795    35.4474 .5777421 1.029000
450000000 20.5019    35.4875 .5777233 1.028967
460000000 20.5239    35.5266 .5777055 1.028935
470000000 20.5454    35.5649 .5776879 1.028904
480000000 20.5665    35.6024 .5776706 1.028873
490000000 20.5871    35.6392 .5776539 1.028843
500000000 20.6073    35.6751 .5776376 1.028814
510000000 20.6271    35.7104 .5776223 1.028787
520000000 20.6465    35.7449 .5776068 1.028759
530000000 20.6656    35.7789 .5775915 1.028732
540000000 20.6842    35.8122 .5775764 1.028705
550000000 20.7026    35.8448 .5775618 1.028679
560000000 20.7206    35.8769 .5775473 1.028653
570000000 20.7383    35.9085 .5775332 1.028628
580000000 20.7557    35.9394 .5775193 1.028603
590000000 20.7728    35.9699 .5775057 1.028579
600000000 20.7896    35.9998 .5774921 1.028555
610000000 20.8061    36.0293 .5774788 1.028531
620000000 20.8224    36.0582 .5774662 1.028509
630000000 20.8384    36.0867 .5774534 1.028486
640000000 20.8541    36.1148 .5774411 1.028464
650000000 20.8696    36.1424 .5774290 1.028442
660000000 20.8849    36.1696 .5774168 1.028421
670000000 20.9000    36.1964 .5774051 1.028400
680000000 20.9148    36.2228 .5773935 1.028379
690000000 20.9294    36.2488 .5773820 1.028359
700000000 20.9438    36.2744 .5773707 1.028339
710000000 20.9579    36.2997 .5773596 1.028319
720000000 20.9719    36.3246 .5773489 1.028300
730000000 20.9857    36.3491 .5773382 1.028281
740000000 20.9993    36.3734 .5773276 1.028262
750000000 21.0127    36.3973 .5773175 1.028244
760000000 21.0260    36.4208 .5773073 1.028226
770000000 21.0391    36.4441 .5772973 1.028208
780000000 21.0520    36.4671 .5772873 1.028190
790000000 21.0647    36.4898 .5772771 1.028172
800000000 21.0773    36.5122 .5772674 1.028155
810000000 21.0897    36.5343 .5772576 1.028137
820000000 21.1020    36.5562 .5772482 1.028120
830000000 21.1141    36.5778 .5772390 1.028104
840000000 21.1261    36.5991 .5772296 1.028087
850000000 21.1379    36.6202 .5772205 1.028071
860000000 21.1496    36.6410 .5772118 1.028056
870000000 21.1612    36.6616 .5772029 1.028040
880000000 21.1726    36.6820 .5771943 1.028024
890000000 21.1839    36.7021 .5771859 1.028009
900000000 21.1951    36.7220 .5771776 1.027995
910000000 21.2061    36.7417 .5771689 1.027979
920000000 21.2170    36.7611 .5771603 1.027964
930000000 21.2279    36.7804 .5771524 1.027950
940000000 21.2386    36.7994 .5771443 1.027935
950000000 21.2491    36.8183 .5771362 1.027921
960000000 21.2596    36.8369 .5771281 1.027907
970000000 21.2700    36.8554 .5771202 1.027893
980000000 21.2802    36.8736 .5771127 1.027879
990000000 21.2904    36.8917 .5771049 1.027865
  1000000000 21.3004    36.9096 .5770972 1.027851
  1010000000 21.3104    36.9274 .5770897 1.027838
  1020000000 21.3202    36.9449 .5770822 1.027825
  1030000000 21.3300    36.9623 .5770748 1.027812
  1040000000 21.3397    36.9795 .5770675 1.027799
  1050000000 21.3492    36.9965 .5770605 1.027786
  1060000000 21.3587    37.0134 .5770534 1.027774
  1070000000 21.3681    37.0302 .5770462 1.027761
  1080000000 21.3774    37.0467 .5770394 1.027748
  1090000000 21.3866    37.0631 .5770322 1.027736
  1100000000 21.3957    37.0794 .5770252 1.027723
  1110000000 21.4048    37.0955 .5770184 1.027711
  1120000000 21.4138    37.1115 .5770118 1.027699
  1130000000 21.4226    37.1273 .5770053 1.027688
  1140000000 21.4315    37.1430 .5769990 1.027677
  1150000000 21.4402    37.1585 .5769927 1.027665
  1160000000 21.4489    37.1740 .5769862 1.027654
  1170000000 21.4574    37.1893 .5769796 1.027642
  1180000000 21.4659    37.2044 .5769732 1.027631
  1190000000 21.4744    37.2195 .5769672 1.027620
  1200000000 21.4828    37.2344 .5769610 1.027609
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 天山草 在时添加 -=-=-=-=-
从上面的计算结果，说明主帖中的公式【2】是对的，至于“有限”和“无限”的问题，大家继续谈吧。

qingjiao · 发表于 2011-6-15 22:13

下面引用由大傻8888888在 2011/06/15 08:53pm 发表的内容：
我认为qingjiao先生的“如果2式成立，那么p≤√x ，x→∞时，∏(1-1/p)-->2e^(-γ)/lnx。”是不成立的。如果成立就会得出如√x＜p≤x ，x→∞时，∏(1-1/p)-->2这样错误的结果。
qingjiao先生认为是陆教授 ...

1.我不知道大傻先生怎样推出√x＜p≤x ，x→∞时，∏(1-1/p)-->2？反正我是推不出来的，请大傻先生示范一下。
2.我不认为陆教授的结论或梅腾斯定理可以推出素数定理，否则素数定理的证明就不是在1896年，而是早在梅腾斯三个定理证明的1870年。显然，世界上的数学家也不这样认为，但大傻先生认为可以，请你也示范一下。

qingjiao · 发表于 2011-6-15 22:16

下面引用由天山草在 2011/06/15 09:48pm 发表的内容：
-=-=-=-=- 以下内容由天山草在时添加 -=-=-=-=-
从上面的计算结果，说明主帖中的公式【2】是对的，至于“有限”和“无限”的问题，大家继续谈吧。

这个结果正如我的意料，你可以验算出梅腾斯定理是正确的，但却无法验算出欧拉乘积式是正确的。

qingjiao · 发表于 2011-6-15 22:27

梅腾斯在实分析范围内将欧拉乘积式由无限项转为有限项，这是解决欧拉公式应用的一个方法。但是，实分析或实变函数的方法要将误差项弄得更小却非常困难，为什么会如此？这个问题已经超出许多人的知识和理解力，这里从略。
黎曼的方法是另一种，他在欧拉乘积式中引入复数，并对其进行解析开拓，于是，一个原本定义域较小而且在某些区间发散的实函数变成另一个定义域很大，而且仅在某孤立奇点(s=1)发散的复函数。简言之，就是用一个“好”函数代替一个“坏”函数。这是另一种方法。

天山草 · 发表于 2011-6-16 07:35

关于“有限”与“无限”，先看看欧拉乘积公式能否按下面第 2 种和第 3 种方法来写（或是来理解）？

我认为“无限”的东西并非“不可验证”。上面仅算到 46000，若此数再增加亿倍，结果肯定极接近 1 了。
说梅腾斯定理是“可验证的”，那也不能真正验证到 n 等于无穷大。

大傻8888888 · 发表于 2011-6-16 09:00

1.根据梅腾斯定理和qingjiao先生的“如果2式成立，那么p≤√x ，x→∞时，∏(1-1/p)-->2e^(-γ)/lnx。”很容易推出√x＜p≤x ，x→∞时，∏(1-1/p)-->2。另外我也没有在其他地方见过p≤√x ，x→∞时，∏(1-1/p)-->2e^(-γ)/lnx这个式子，不知qingjiao先生是怎么推导出来的。
2.根据梅腾斯定理推导不出素数定理，陆教授的证明可能也推导不出素数定理，但是起码陆教授的证明和素数定理吻合。

LLZ2008 · 发表于 2011-6-16 09:54

下面引用由大傻8888888在 2011/06/14 10:32pm 发表的内容：
我在“谈谈连乘积里素数p的取值范围不同而产生的问题”和这个问题有关，复制如下：<BR>连乘积问题是很多网友的共识，可是也受到了部分网友的质疑，其中qingjiao先生认为梅滕斯定理当x→∞时，∏﹙1-1/p﹚=1/e^r　...

大傻8888888 先生，您好！
您说“同样LLZ2008先生把欧拉证明里的条件p≤√x认为是p≤x，得出了当x→∞时，∏﹙1-1/p﹚=2*lnx,（其中p≤√x）的错误结论。”
欧拉结论，若p≤x，等号右边求和符号里对应的就是x，若p≤√x，等号右边求和符号里对应的就是√x，这样才算用对了欧拉结论。
我利用欧拉结论得出的是当x→∞时，∏﹙1-1/p﹚=2/lnx,（其中p≤√x），请不要写错了。我又把我的“几个近似表达式”一文点在了前面，请大家分享和指点。

天山草 · 发表于 2011-6-16 11:05

今天找到了陆教授的一篇文章，摘录与此有关的一段，大家看看：

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s = 1 时的欧拉乘积公式