计算极限 lim(n→∞)√(4+√(4^2+√(4^3+√(…+√（4^n)…))))

王守恩

王守恩 发表于 2021-1-30 07:51
证明不是我的强项，我先试试(略去盈亏部分)。欢迎批评！

我们有：\((\sqrt{x^n}+\sqrt{x/4})^2=x^n+ ...

谢谢 elim的鼓励！谢谢 xfhaoym！谢谢 15 楼，还是搞个通项(x>3)，请大家审阅。
\(特别地，\sqrt{2x+\sqrt{x/4}-1/8}与正确答案(x>483)误差很小。\)

\(\sqrt{2x+\sqrt{x/4}-1}<\sqrt{2x+\sqrt{x/4}-1/8}<\sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^3+\sqrt{\cdots+x^n}}}}<\sqrt{2x+\sqrt{x/4}-1/9}<\sqrt{2x+\sqrt{x/4}}<\sqrt{2x+\sqrt{x/4}+1}\)

王守恩

王守恩 发表于 2021-1-30 08:08
谢谢 elim的鼓励！谢谢 xfhaoym！谢谢 15 楼，还是搞个通项(x>3)，请大家审阅。
\(特别地，\sqrt{2x+\ ...

佐证一下。\(\sqrt{\sqrt{x/4}+1/9}<\sqrt{x-\sqrt{x^2-\sqrt{x^3-\sqrt{\cdots-x^n}}}}<\sqrt{\sqrt{x/4}+1/8}\)

我们有：\((\sqrt{x^n}+\sqrt{x/4})^2=x^n+\sqrt{x^{n+1}}+x/4\)


\(\sqrt{\sqrt{x/4}}\)
\(=\sqrt{x-x-\sqrt{x/4}}\)
\(=\sqrt{x-(\sqrt{x^2}+\sqrt{x/4})}\)
\(=\sqrt{x-\sqrt{x^2-(\sqrt{x^{3}}+x/4)}}\)
\(=\sqrt{x-\sqrt{x^2-\sqrt{x^3-(\sqrt{x^{4}}+x/4)}}}\)
\(=\sqrt{x-\sqrt{x^2-\sqrt{x^3-\sqrt{x^4-(\sqrt{x^{5}}+x/4)}}}}\)
\(=\sqrt{x-\sqrt{x^2-\sqrt{x^3-\sqrt{x^4-\sqrt{x^5-(\sqrt{x^{6}}+x/4)}}}}}\)
\(=\sqrt{x-\sqrt{x^2-\sqrt{x^3-\sqrt{x^4-\sqrt{x^5-\sqrt{x^6-(\sqrt{x^{7}}+x/4)}}}}}}\)

王守恩

王守恩 发表于 2021-1-30 09:15
佐证一下。\(\sqrt{\sqrt{x/4}+1/9}

也就是说，我们可以用这种方法来解方程链！！！
\(a_{0}^2=x^1+a_{1}\)
\(a_{1}^2=x^2+a_{2}\)
\(a_{2}^2=x^3+a_{3}\)
\(a_{3}^2=x^4+a_{4}\)
\(a_{4}^2=x^5+a_{5}\)
\(a_{5}^2=x^6+a_{6}\)
\(a_{6}^2=x^7+a_{7}\)
\(a_{7}^2=x^8+a_{8}\)
\(\cdots\cdots\)

fungarwai

#20應該啱架喇，用番#15可以做到
\(\sqrt{2x+\sqrt{x/4}}=\sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^3+(\sqrt{x^4}+x/4)}}}
>\sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^3+\sqrt{x^4}}}}\)
\(\sqrt{2x+\sqrt{x/4}}=\sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^3+(\sqrt{x^4}+x/4)}}}\)
\(<\sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^3+\sqrt{x^4}}+\frac{x/4}{2\sqrt{x^3+\sqrt{x^4}}}}}\)
\(<\sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^3+\sqrt{x^4}}}
+\frac{x/4}{2^2\sqrt{x^3+\sqrt{x^4}}\sqrt{x^2+\sqrt{x^3+\sqrt{x^4}}}}}\)
\(<\sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^3+\sqrt{x^4}}}}
+\frac{x/4}{2^3\sqrt{x^3+\sqrt{x^4}}
\sqrt{x^2+\sqrt{x^3+\sqrt{x^4}}}
\sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^3+\sqrt{x^4}}}}}\)

王守恩

fungarwai 发表于 2021-1-30 12:57
#20應該啱架喇，用番#15可以做到
\(\sqrt{2x+\sqrt{x/4}}=\sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^3+(\sqrt{x^4}+x/4)} ...

倒回去，我们也可以！

我们有：\((x+\frac{\sqrt{4x+1}-2x+1}{2})^2=x+x+\frac{\sqrt{4x+1}-2x+1}{2}\)

\(\sqrt{2x+\frac{\sqrt{4x+1}-2x+1}{2}}\)
\(=\sqrt{x+(x+\frac{\sqrt{4x+1}-2x+1}{2})}\)
\(=\sqrt{x+\sqrt{x+(x+\frac{\sqrt{4x+1}-2x+1}{2})}}\)
\(=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+(x+\frac{\sqrt{4x+1}-2x+1}{2})}}}\)
\(=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+(x+\frac{\sqrt{4x+1}-2x+1}{2})}}}}\)
\(=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+(x+\frac{\sqrt{4x+1}-2x+1}{2})}}}}}\)
\(=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+(x+\frac{\sqrt{4x+1}-2x+1}{2})}}}}}}\)
\(=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+(x+\frac{\sqrt{4x+1}-2x+1}{2})}}}}}}}\)

王守恩

王守恩 发表于 2021-1-30 13:25
倒回去，我们也可以！

我们有：\((x+\frac{\sqrt{4x+1}-2x+1}{2})^2=x+x+\frac{\sqrt{4x+1}-2x+1}{2 ...

说就说个痛快！！！

我们有：\((x^2+\frac{\sqrt{4x^2+1}-2x^2+1}{2})^2=x^2+x^2+\frac{\sqrt{4x^2+1}-2x^2+1}{2}\)

\(\sqrt{2x^2+\frac{\sqrt{4x^2+1}-2x^2+1}{2}}\)
\(=\sqrt{x^2+(x^2+\frac{\sqrt{4x^2+1}-2x^2+1}{2})}\)
\(=\sqrt{x^2+\sqrt{x^2+(x^2+\frac{\sqrt{4x^2+1}-2x^2+1}{2})}}\)
\(=\sqrt{x^2+\sqrt{x^2+\sqrt{x^2+(x^2+\frac{\sqrt{4x^2+1}-2x^2+1}{2})}}}\)
\(=\sqrt{x^2+\sqrt{x^2+\sqrt{x^2+\sqrt{x^2+(x^2+\frac{\sqrt{4x^2+1}-2x^2+1}{2})}}}}\)
\(=\sqrt{x^2+\sqrt{x^2+\sqrt{x^2+\sqrt{x^2+\sqrt{x^2+(x^2+\frac{\sqrt{4x^2+1}-2x^2+1}{2})}}}}}\)
\(=\sqrt{x^2+\sqrt{x^2+\sqrt{x^2+\sqrt{x^2+\sqrt{x^2+\sqrt{x^2+(x^2+\frac{\sqrt{4x^2+1}-2x^2+1}{2})}}}}}}\)
\(=\sqrt{x^2+\sqrt{x^2+\sqrt{x^2+\sqrt{x^2+\sqrt{x^2+\sqrt{x^2+\sqrt{x^2+(x^2+\frac{\sqrt{4x^2+1}-2x^2+1}{2})}}}}}}}\)

王守恩

王守恩 发表于 2021-1-30 13:52
说就说个痛快！！！

我们有：\((x^2+\frac{\sqrt{4x^2+1}-2x^2+1}{2})^2=x^2+x^2+\frac{\sqrt{4x^2+1} ...

回头再来收拾 Ramanujan(拉玛努金)。

我们有：\(n^2=4+(n-2)(n+2)\)

\(5=\sqrt{4+3×(7)}\)
\(=\sqrt{4+3\sqrt{4+5×(9)}}\)
\(=\sqrt{4+3\sqrt{4+5\sqrt{4+7×(11)}}}\)
\(=\sqrt{4+3\sqrt{4+5\sqrt{4+7\sqrt{4+9×(13)}}}}\)
\(=\sqrt{4+3\sqrt{4+5\sqrt{4+7\sqrt{4+9\sqrt{4+11×(15)}}}}}\)
\(=\sqrt{4+3\sqrt{4+5\sqrt{4+7\sqrt{4+9\sqrt{4+11\sqrt{4+13×(17)}}}}}}\)

王守恩

fungarwai 发表于 2021-1-30 12:57
#20應該啱架喇，用番#15可以做到
\(\sqrt{2x+\sqrt{x/4}}=\sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^3+(\sqrt{x^4}+x/4)} ...

挑战一下？

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{x+\sqrt{x^3+\sqrt{x^5+\sqrt{x^7+\sqrt{\cdots+\sqrt{x^{2n+1}}}}}}}=\)？

fungarwai

王守恩 发表于 2021-1-30 07:51
证明不是我的强项，我先试试(略去盈亏部分)。欢迎批评！

我们有：\((\sqrt{x^n}+\sqrt{x/4})^2=x^n+ ...

咦？唔係喎，有問題
\((\sqrt{x^n}+\sqrt{x/4})^2=x^n+(\sqrt{x^{n+1}}+x/4)\)
你個遞推式前面果個x/4有根號但係後面果個冇根號喎
\(\sqrt{x+\sqrt{x^2+(\sqrt{x^{3}}+x/4)}}\)
\(=\sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^3+(\sqrt{x^{4}}+x/4)}}}\)
於是你第二次用果陣就有問題

fungarwai

sulley.cc/2020/09/infinite-radicals/

\(x(2^n+x)=x\sqrt{2^{2n}+x(2^{n+1}+x)}\)
\(x(2+x)=x\sqrt{2^2+x(2^2+x)}
=x\sqrt{2^2+x\sqrt{2^4+x(2^4+x)}}=\cdots=\\ x\sqrt{2^2+x\sqrt{2^4+\cdots+x\sqrt{2^{2n}+x(2^{n+1}+x)}}}\\ =x\sqrt{2^2+x\sqrt{2^4+x\sqrt{\cdots}}}\)