[原创] 笛卡尔数学学术研究

shuxuestar

笛卡尔曲线极坐标式：
r1+kr2=C （焦距D）据曲线定义可知：C,D>0
极坐标式：
(r*cos(a) + D)^2 + r^2*sin(a)^2 = (-k*r + C)^2  （原点在右焦点）
(k^2 - 1)*r^2 - r*(2*D*cos(a) + 2*C*k) + C^2 - D^2 = 0
两个解：
r=(C*k + D*cos(a)  +  sqrt(2*D*cos(a)*C*k + D^2*cos(a)^2 + D^2*k^2 + C^2 - D^2))/(k^2 - 1)，a  （k>0,图像为笛卡尔蛤形）
r=(C*k + D*cos(a)  -  sqrt(2*D*cos(a)*C*k + D^2*cos(a)^2 + D^2*k^2 + C^2 - D^2))/(k^2 - 1)，a  （k>0图像为笛卡尔卵形）

前面推导的极坐标方程为笛卡尔方程的唯一图形公式 （因k不限定，包含和差两个公式）
但方程解存在：k不等于+-1；方程解可补充一下：k^2=1（即笛卡尔方程包含圆锥曲线）
r = （C^2 - D^2）/(2*D*cos(a) + 2*C*k)  为圆锥曲线方程。

极坐标曲率半径公式：
1/R=(r^2+2r'^2-r*r")/（r^2+r'^2)^3/2

现利用这个曲率公式来求曲线的曲率..............

shuxuestar

右端：
r=(C*k + D*cos(a) - sqrt(2*D*cos(a)*C*k + D^2*cos(a)^2 + D^2*k^2 + C^2 - D^2))/(k^2 - 1)
r’=(-D*sin(a) - (-2*D*sin(a)*C*k - 2*D^2*cos(a)*sin(a))/(2*sqrt(2*D*cos(a)*C*k + D^2*cos(a)^2 + D^2*k^2 + C^2 - D^2)))/(k^2 - 1);
a=0,  r’=0.
r”=(-D*cos(a) + (-2*D*sin(a)*C*k - 2*D^2*cos(a)*sin(a))^2/(4*(2*D*cos(a)*C*k + D^2*cos(a)^2 + D^2*k^2 + C^2 - D^2)^(3/2)) - (-2*D*cos(a)*C*k + 2*D^2*sin(a)^2 - 2*D^2*cos(a)^2)/(2*sqrt(2*D*cos(a)*C*k + D^2*cos(a)^2 + D^2*k^2 + C^2 - D^2)))/(k^2 - 1);
a=0,  r”=(-D - (-2*C*D*k - 2*D^2)/(2*sqrt(D^2*k^2 + 2*C*D*k + C^2)))/(k^2 - 1).
r=(C*k + D*cos(a) - sqrt(2*D*cos(a)*C*k + D^2*cos(a)^2 + D^2*k^2 + C^2 - D^2))/(k^2 - 1);
a=0,r=(C*k + D - sqrt(D^2*k^2 + 2*C*D*k + C^2))/(k^2 - 1).
1/R=(r^2+2r'^2-r*r")/（r^2+r'^2)^3/2;  
r’=0,1/R=(r^2-r*r")/r^3,1/R=(r-r")/r^2
R=r^2/(r-r");
r^2=(C*k + D - sqrt((D*k + C)^2))^2/(k^2 - 1)^2;
(r-r")=-(C*k + D - sqrt((D*k + C)^2))*(-sqrt((D*k + C)^2) + D)/(sqrt((D*k + C)^2)*(k^2 - 1));
r^2/(r-r")=-(C*k + D - sqrt((D*k + C)^2))*sqrt((D*k + C)^2)/((k^2 - 1)*(-sqrt((D*k + C)^2) + D))
R右=-(C*k + D - sqrt((D*k + C)^2))*sqrt((D*k + C)^2)/
((k^2 - 1)*(-sqrt((D*k + C)^2) + D)).

简化：
R右=(D*k + C)*(C - D)/((D*k + C - D)*(k + 1)) （右端点曲率公式）

shuxuestar

左端：
r=(C*k + D*cos(a) - sqrt(2*D*cos(a)*C*k + D^2*cos(a)^2 + D^2*k^2 + C^2 - D^2))/(k^2 - 1);
a=pi,r=(-sqrt(D^2*k^2 + C^2 - 2*CDk) + Ck - D)/(k^2 - 1).
r”=(-D*cos(a) + (-2*D*sin(a)*C*k - 2*D^2*cos(a)*sin(a))^2/(4*(2*D*cos(a)*C*k + D^2*cos(a)^2 + D^2*k^2 + C^2 - D^2)^(3/2)) - (-2*D*cos(a)*C*k + 2*D^2*sin(a)^2 - 2*D^2*cos(a)^2)/(2*sqrt(2*D*cos(a)*C*k + D^2*cos(a)^2 + D^2*k^2 + C^2 - D^2)))/(k^2 - 1);
a=pi, r”=((D^2 - CDk)/sqrt(D^2*k^2 + C^2 - 2*CDk) + D)/(k^2 - 1)
r^2=(-sqrt(D^2*k^2 + C^2 - 2*CDk) + Ck - D)^2/(k^2 - 1)^2
(r-r")=-(D^2*k^2 + C^2 - sqrt(D^2*k^2 + C^2 - 2*CDk)*Ck + D^2 + 2*D*sqrt(D^2*k^2 + C^2 - 2*CDk) - 3*CDk)/(sqrt(D^2*k^2 + C^2 - 2*CDk)*(k^2 - 1))
r^2/(r-r")=-(-sqrt((-D*k + C)^2) + C*k - D)^2*sqrt((-D*k + C)^2)/((k - 1)*(k + 1)*(D^2*k^2 + C^2 - sqrt((-D*k + C)^2)*C*k + D^2 + 2*D*sqrt((-D*k + C)^2) - 3*C*D*k))

R左=-(-sqrt((-D*k + C)^2) + C*k - D)^2*sqrt((-D*k + C)^2)/((k - 1)*(k + 1)*(D^2*k^2 + C^2 - sqrt((-D*k + C)^2)*C*k + D^2 + 2*D*sqrt((-D*k + C)^2) - 3*C*D*k))

简化：
R左=(C + D)*(-D*k + C)/((-D*k + C + D)*(k + 1)) （左端点曲率公式）

shuxuestar

总结：
迪卡尔卵形线极坐标公式及横端曲率公式：

r=(C*k + D*cos(a) - sqrt(2*D*cos(a)*C*k + D^2*cos(a)^2 + D^2*k^2 + C^2 - D^2))/(k^2 - 1);  a；
R右=(D*k + C)*(C - D)/((D*k + C - D)*(k + 1))；
R左=(-D*k + C)*(C + D)/((-D*k + C + D)*(k + 1))；
（以上公式均以简化）


这些公式都是前人无人触及算过的。有心的数学家可以演算将前面结论录入数学教科书中.......
以完成三百年前笛卡尔先生对数学曲线的未尽心愿。因那时还不具备现在的计算和图像能力，
导致没有解也没有参数方程。另一方面也导致现代人不了解笛卡尔出色的数学创造和贡献......

shuxuestar

下面是一个应用前面推导公式，已知两端曲率求曲线形状的例子：
r=(C*k + D*cos(a) - sqrt(2*D*cos(a)*C*k + D^2*cos(a)^2 + D^2*k^2 + C^2 - D^2))/(k^2 - 1);  a；
a=0,r右=(C*k + D - sqrt(D^2*k^2 + 2*C*D*k + C^2))/(k^2 - 1).
a=pi,r左=(-sqrt(D^2*k^2 + C^2 - 2*CDk) + Ck - D)/(k^2 - 1).
r左+r右=(C - D)/(k + 1)+(D + C)/(k + 1)
曲线通径 =2*C/(k + 1).

R右=(D*k + C)*(C - D)/((D*k + C - D)*(k + 1))
R左=(-D*k + C)*(C + D)/((-D*k + C + D)*(k + 1))
列方程，令：
2a=2;
R1=2/5;
R2=16/24=2/3;
2*C/(1 + k)=2; C=1 + k;
联合 C=1+k；
2/3=(D*k + C)*(C - D)/((D*k + C - D)*(k + 1))；
2/5=(-D*k + C)*(C + D)/((-D*k + C + D)*(k + 1))；

解：
C = 0,D = 0,k = -1;
C = (2*sqrt(22)+44)/21,D = (2*sqrt(22))/7,k = (2*sqrt(22)+23)/21;
C = -(2*sqrt(22)-44)/21,D = -(2*sqrt(22))/7,k = -(2*sqrt(22)-23)/21

数值：
C = 0,D = 0,k = -1;
C = 2.541944358078422,D = 1.34011878852098,k = 1.541944358078422;
C = 1.648531832397768,D = -1.34011878852098,k = 0.6485318323977686;
（三组解：D<0, k<0不合适，舍去。）

方程：
r=(C*k + D*cos(a) - sqrt(2*D*cos(a)*C*k + D^2*cos(a)^2 + D^2*k^2 + C^2 - D^2))/(k^2 - 1);  a；
取参数C = 2.541944358078422,D = 1.34011878852098,k = 1.541944358078422;
方程图像为：

shuxuestar

    我发现的一类数流鸡蛋与迪卡尔先生的鸡蛋在鸡蛋实验数据中差别不大 对比如下



从图像可知：
等宽，两端曲率相同的情况。 一类数流鸡蛋比笛卡尔鸡蛋曲率过渡自然一些，二者差值不到1%.

shuxuestar

  为得到这一结论 我已计算笛卡尔方程花时间接近一周........

笛卡尔方程计算起来的确相当繁难,  无论前人还是今天人们都对其望而生畏...........

也许是好奇心使我没有放弃，完成了这一艰难的工作。

这个工作还是有价值的......... 让笛卡尔曲线重现于现代数学园地。

shuxuestar

另外要说明：焦距的两端点（焦点）与曲率半径的圆心并不一致，也无必然关联。

焦距在笛卡尔方程中只有参数作用，并无实际的物理性作用。

后面再慢慢探索研究此曲线的相关其他特性.............

白新岭

shuxuestar 发表于 2022-6-4 17:20
另外要说明：焦距的两端点（焦点）与曲率半径的圆心并不一致，也无必然关联。

焦距在笛卡尔方程中只有参 ...

你这一口气就把笛卡尔搞了一遍。

shuxuestar

  
    笛卡尔先生是伟大的 三百年前就能做出那么多数学成就  试问：在座各位可以吗？




焦距并无类似椭圆的两焦点汇集光线的作用，只是作为参数值。

前面算出固定两端曲率的笛卡尔鸡蛋的所有数据在图像里  大家仔细看吧.............