永远互质的三个数

费尔马1

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lusishun

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费尔马1

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elim

求证，n，kn+1，（k+1）n+1这三个数两两互质？其中，n、k为正整数。

引理：若 u,v,a,b 为整数且 ua+vb = 1, 则 gcd(a,b)=1 (即 a, b 互质).
证：若不然，存在整数 s, t 及整数 c > 1 使得 a=sc, b = tc, 于是
      1=ua+vb=(us+vt)c， 整数 us+vt = 1/c, 这与 c > 1 矛盾.

下面证明主贴命题：据上述引理及
   (kn+1)+(-k)n=1,  ((k+1)n+1)+(-k-1)n = 1,  (k+1)(kn+1)+(-k)((k+1)n+1)=1
即知 g(n,kn+1)=gcd(n,(k+)n+1)=gcd(kn+1,(k+1)n+1) = 1.
所以 n, kn+1,(k+1)n+1 两两互质。

费尔马1

elim 发表于 2023-8-1 13:55
引理：若 u,v,a,b 为整数且 ua+vb = 1, 则 gcd(a,b)=1 (即 a, b 互质).
证：若不然，存在整数 s, t 及 ...

老师的证明太复杂了！