s = 1 时的欧拉乘积公式

qingjiao

回17楼，第二第三种写法是不正确的，如果你限定p<=n，p就是有限项，不是全体素数。另外，表示全体自然数时应写为1+1/2+1/3+1/4+...+1/n+...，不能只写到1/n截止。
你用s=2去验算是没有什么意思的。s=2时数列收敛很快，误差被掩盖了。如果s=1，那就必然出现系数e^(-γ)。建议你用s=0.5和s=1.5算算看。
有意思的是，如果s-->0，1+1/2^s+1/3^s+1/4^s+...+1/n^s-->n，
而(1-1/2^s)(1-1/3^s)(1-1/5^s)...-->0，系数变成n/0-->∞

qingjiao

再请注意一点：所谓s<=1时发散，是指无限项的情况。但任何有限项的有限次幂的值是确定的，是不发散的。任何验算只能验算有限项的情况。

qingjiao

我估计0<s<1时，两边的比值是一个逐渐增长的函数，不能收敛到某个常数。
s<0时更好玩，天山草先生不妨一试。

天山草

请问qingjiao先生：
主帖中的公式【2】肯定是不正确的了，那下面的公式【2A】正确否？
二个公式的区别是，在公式【2A】中，限定了素数的取值范围不大于 n，而公式【2】是指全体素数。
另外，公式【2A】当然也不能叫做 s=1 时的欧拉公式。

qingjiao

公式2A基本正确，但建议不要用等号，而用趋向于-->或等价于~，否则会引起一些人的误解和误用。
如用等号，需注明误差项O(f(x))。按潘承洞的著作，这里f(x)=(1/lnx)^2。

qingjiao

[这个贴子最后由qingjiao在 2011/06/16 05:59pm 第 1 次编辑]


更正：不好意思，公式2A的误差项不是O((1/lnx)^2)，而是O(1/lnx)。
因为∏(1-1/p)-->e^(-γ)/logn
∑1/n-->logn+γ
logn-->∑1/n-γ
∏(1-1/p)-->e^(-γ)/(∑1/n-γ)
(∑1/n-γ)*∏(1-1/p)-->e^(-γ)
∑1/n*∏(1-1/p)-->e^(-γ)+γ*∏(1-1/p)-->e^(-γ)+γ*e^(-γ)/logn=e^(-γ)*(1+γ/logn)

天山草

非常感谢qingjiao 的指导！

白新岭

天山草 发表于 2011-6-16 07:35
关于“有限”与“无限”，先看看欧拉乘积公式能否按下面第 2 种和第 3 种方法来写（或是来理解）？

我认为 ...

这个帖子的内容，知识点是我重点关注的。

白新岭

qingjiao 发表于 2011-6-16 17:57
[这个贴子最后由qingjiao在 2011/06/16 05:59pm 第 1 次编辑]

qingjiao先生有时间可以进一步讨论这方面的问题，不知先生对对数积分是否感兴趣。感兴趣的话，能不能把\(∫_2^N\)\({dx}\over{{ln}^k x}\)给出结果.