如何求出 1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+……的和

195912

jzkyllcjl 先生：
        你认为
        "我的意见是：1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+……的前n项和序列的极限才是圆周率 pi, 但这个无穷项相加的表达式本身不等于pi ".
         先生的意见没有理论依据.课本对
         π/4=1-1/3+1/5-1/7+⋯
有严格论证.且注明"这个展式可用来近似计算  π ,达到任意的精确度."
         

jzkyllcjl

195912 发表于 2017-9-8 05:18
jzkyllcjl 先生：
        你认为
        "我的意见是：1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+……的前n项和序列的极 ...

课本的证明是从根据 是从数学分析中的arctanx的泰勒多项式取极限得到的马克劳林级数表达式得到的，这个证明用到了极限方法，而极限具有不可达到的性质，所以这个等式有问题。为此，我1楼要求：从左端出发推出它等于右端，希望你能做出这个计算 。我已经发表几个 需要 极限方法的叙述，既需要在右端级数表达是之前加上取 极限的过程。
达到任意的精确度的话可以说，但达到任意的精确度 不等于绝对准。例如： 数列{1/n}可以在任意的精确度下表示0，但它始终不等于0 。无穷级数 1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+……的前n项和序列的极限是 圆周率，但是它始终不等于圆周率，这是事实，不信的话，请你拿出绝对准相等的证明来。  ..

simpley

你这辈子惟一做的事就是诬蔑真理

195912

jzkyllcjl 先生：
       先生可查阅相关著作。我在本论坛也有“二项式幂的展式与实数”专帖讨论。
二项式幂的展式
      (1+x)^m=1+mx+m(m-1)/2! x^2+&#8943;+(m(m-1)&#8943;(m-n+1))/n! x^n+&#8943;,  -1<x<1    (1)
当m=-1,由(1)式得
            1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+&#8943;+(-1)^n x^n+&#8943;,-1<x<1                  (2)
以 x^2代入(2)式,得
           1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-x^6+&#8943;+(-1)^n x^2n+&#8943;,-1<x<1                  (3)
根据积分公式,由(3)两边对-1<x<1逐项积分,得
         arctg x=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+&#8943;+(-1)^(n-1) x^(2n-1)/(2n-1)+&#8943;,        (4)
可以证明(4)式在-1<x≤1上成立。
又
          tgπ/4=1
所以
           π/4=arctg 1        
由(4)令x=1 得
         π/4=arctg 1=1-1/3+1/5-1/7+&#8943;+(-1)^(n-1) x^(2n-1)/(2n-1)+&#8943;,
即
           π=4(1-1/3+1/5-1/7+&#8943;)
这个展式可用来近似计算  π ,达到任意的精确度。
        

jzkyllcjl

195912 发表于 2017-9-9 08:26
jzkyllcjl 先生：
       先生可查阅相关著作。我在本论坛也有“二项式幂的展式与实数”专帖讨论。
二项 ...

我的意思已经说了： 你的涉及非自然数幂二项式定理 的证明需要使用极限方法，你从arctg x 的级数展开式 可以得到 等式  π=4(1-1/3+1/5-1/7+&#8943;)，但用的级数展开式都是使用了取极限过程的方法，极限是数列不能达到的。所以对 这个等式  π=4(1-1/3+1/5-1/7+&#8943;)，需要研究其右端的级数的收敛性，需要给出从右端推出左端。
对你说的“这个展式可用来近似计算  π ,达到任意的精确度” ，我一进说过，从理论上讲可以达到任意精确度，但是 第一，任意精确不等于绝对准相等，所以，这个等式应当该写为 全能近似等式，而不是 绝对准相等；第二，从实践上看，精确度 较高的近似值 是难以算出的，圆周率较高的近似值 有很多研究计算方法，这个表达式不一定是最好的。

195912

jzkyllcjl 先生：
      你认为
       "你的涉及非自然数幂二项式定理 的证明需要使用极限方法"没有理论依据.
       二项式幂的展式的证明可查阅武汉大学编辑的数学分析.

elim

老差生 jzkyllcjl 达到了他人达不到的愚蠢，以他的这种愚蠢，他达不到级数和等于其部分和的极限的认识。

jzkyllcjl 不懂的东西不是各位费心后就能懂的。他最近也一直再说他不行了。这些事实必须尊重。

jzkyllcjl

195912 发表于 2017-9-9 10:41
jzkyllcjl 先生：
      你认为
       "你的涉及非自然数幂二项式定理 的证明需要使用极限方法"没有理论 ...

你说的武汉大学编辑的数学分析我不查阅，我老了走不到图书馆。我有 菲赫金哥尔茨微积分学教程，其中第二卷第二分册365——367 页 394节讲了这个问题，我又看了，其中谈到 柯西余项，并用极限方法证明它当n→∞时趋于0. 这个问题我是记得的，所以我至少给你说过三次 需要用极限方法。 但是你始终反对，现在你拿出武汉大学的数学分析， 我认为你没有把根据追到底。

elim

老差生 jzkyllcjl 达到了他人达不到的愚蠢，以他的这种愚蠢，他达不到级数和等于其部分和的极限的认识。

jzkyllcjl 不懂的东西不是各位费心后就能懂的。他最近也一直再说他不行了。这些事实必须尊重。

jzkyllcjl

elim 发表于 2017-9-10 04:07
老差生 jzkyllcjl 达到了他人达不到的愚蠢，以他的这种愚蠢，他达不到级数和等于其部分和的极限的认识。

...

无穷数列的极限值是数列不能到到的，例如数列不{1/n}的极限是0，但它始终达不到0.这是极限理论的重要概念，你歪曲 这个应有的概念。