|
jzkyllcjl 先生:
先生可查阅相关著作。我在本论坛也有“二项式幂的展式与实数”专帖讨论。
二项式幂的展式
(1+x)^m=1+mx+m(m-1)/2! x^2+⋯+(m(m-1)⋯(m-n+1))/n! x^n+⋯, -1<x<1 (1)
当m=-1,由(1)式得
1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+⋯+(-1)^n x^n+⋯,-1<x<1 (2)
以 x^2代入(2)式,得
1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-x^6+⋯+(-1)^n x^2n+⋯,-1<x<1 (3)
根据积分公式,由(3)两边对-1<x<1逐项积分,得
arctg x=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+⋯+(-1)^(n-1) x^(2n-1)/(2n-1)+⋯, (4)
可以证明(4)式在-1<x≤1上成立。
又
tgπ/4=1
所以
π/4=arctg 1
由(4)令x=1 得
π/4=arctg 1=1-1/3+1/5-1/7+⋯+(-1)^(n-1) x^(2n-1)/(2n-1)+⋯,
即
π=4(1-1/3+1/5-1/7+⋯)
这个展式可用来近似计算 π ,达到任意的精确度。
|
|