勾股数新公式

Treenewbee

a为平方数时，x^2 - d*y^2=a^(2n+1)一定有正整数解

Treenewbee

设 \[a=b^2\]
显然方程等价于 \[(\frac{x}{b^{2n+1}})^2-d(\frac{y}{b^{2n+1}})^2=1\]，故有解

蔡家雄

设 d 为正整数，

求解 x^2 - d*y^2=a^(2n+1) .

例 d=1, a^(2n+1)=2^3, 得 x=3, y=1 .

给定 a^(2n+1)=3^5, d=1, 求 x=?  y=?  Treenewbee 已解答，

给定 a^(2n+1)=3^5, d=3^3, 求 x=?  y=?  待解，

给定 a^(2n+1)=3^5, d=3^5, 求 x=?  y=?  待解，

Treenewbee

设 p=10d+1是素数或p=10d+9是素数，

且 10 是素数 16+p^2 的原根，

p<300:   {29, 31, 41, 79, 89, 109, 151, 179, 191, 211, 229, 281}

则 10 是素数 16^k+p^2 的原根。
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k<100的例外项：

p=151,k={2,52}
p=179,k={12}
p=191,k={17}

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-3-18 18:07
设 d 为正整数，

求解 x^2 - d*y^2=a^(2n+1) .

给定 a^(2n+1)=3^5, d=3^3, 求 x=?  y=?  待解，

给定 a^(2n+1)=3^5, d=3^5, 求 x=?  y=?  待解，

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应该是无解。

Treenewbee

\[x^2-243y^2=243-->x^2=243(1+y^2)-->z^2=3(1+y^2)->3w^2=1+y^2\]显然无解

Treenewbee

\[x^2-27y^2=243-->x^2=27(9+y^2)-->3w^2=9+y^2\]
显然无解

Treenewbee

\[x^2-27y^2=243-->x^2=27(9+y^2)-->3w^2=9+y^2\]
显然无解

蔡家雄

设 d=r^2 , 或 d=2 ,

则 x^2 - d*y^2=a^(2n+1) 有正整数解。

蔡家雄

设 d=r^2 ,或 d=2 ,

则 x^2 - d*y^2=a^(2n+1) 有正整数解。

点评 Treenewbee

错误结论。比如：x^2 - 2 y^2 = 3  发表于 2023-3-18 19:13

问 x^2 - 2*y^2=a^(2n+1)=3 吗？