数学理论的本质与阐述方法

elim

数学的基础确实不断进步，这种进步从来没有否定过任何数学定理．直觉主义，芝诺的诡辩主义，潜无穷论一路末落，没有例外．jzkyllcjl 吃狗屎后的言论是不确切的．此人必须被抛弃，此人果然久已被抛弃．

春风晚霞

第一，jzkyllcjl先生，谁也不否认“几千年来的数学理论存在着许多争论与改革，近代的ZFC 形式公理体系过去就没有，十九世纪七十年代的无穷集合、实数理论 也只150年的历史，实无穷观点早就被亚里士多德否定了。”但数学人都知道，数学在争论中发展。数学史上每一次改革，都使原有的数学概念得以扩展，数学的实用范围得以扩张。如从自然数到完备的有理数环的改革，就在自然数的基础上增添了分数、负数；从而使有理数集对加、减、乘法运算封闭。希帕索斯发现正方形对角线不可公度，引发了第一次数学危机。于是人们在实践的基础上增添了无理数概意，数学的适用范围也扩张到了实数域（即使数的适用范围对加，减、乘、除（除数不为0）、乘方、开方封闭）。现行的实数理论，是对十九世纪七十年代以前的数学理论的继承和发展，概念上增添了集合相关的许多概念。适用范围也在代数运算（即加、减、乘、除、乘方、开方）基础上增添了分折运算（即微积分运算）。微积分产生初期，由于还没有建立起巩固的理论基础，出现了这样那样的问题。唯心主义大主教Berkeley借机发难，诱发了数学史上的第二次危机。为解决数学史上的第二次危机，建立巩固的理论基础，康托尔、戴德金、威尔斯特拉斯建立了极限理论为基础的现行的实数理论。由数学发展史知，每一次数学理论的改革都是以数学概念扩展，数学适用范围扩张为前提的。jzkyllcjl先生所谓的“改革”，不能算是创新，只能算是复古。无尽小数是数的十进制展开的必然结果，π＝3.14159……；√5＝2.236……；1∕3＝0.333……；√3＝1.732……等无尽小数已有数百年历史，除jzkyllcjl先生外，还有谁认为π＝3.14159……；√5＝2.236……；1∕3＝0.333……；√3＝1.732……这些等式不成立？有谁会用（2.236……）^2-(1.732……)^2去计算（√5）^2-(√3)^2呢？所以，jzkyllcjl先生以“无尽小数写不到底，算不到底”、“无尽小娄不是实数，不是定数”为由“改革”现行实数理论，注定是不会成功的。“实无穷观点早就被亚里士多德否定了”这是事实，每个实无穷论者都不否认，但实无穷观点也得到与亚里士多德同时代的柏拉图先生的肯定。上世纪70年代有个叫Monk的学者发表文章说，“数学界中有65%的柏拉图主义者，30%的形式主义者和5%的直觉主义者（即构造主义者）。”所以，jzkyllcjl先生，亚里士多德否定无穷观点可不是你“改革”成功的必要条件啊！“近代的理论存在着三分律反例、连续统假设的大难题。存在着选择公理的争论。”是的，一些对CDW数学指责、栽赃、诬陷不断，借题发挥的情况也层出不穷。但这些不协调的声音并不能影响现行数学在生产实践中的应用。从教育部教学大纲“初中参透集合概念，高中掌握集合基础知识”的规定看，康托尔的实无穷理论还有向下普及的可能。Jzkyllcjl先生，你再不承认也是没有办法的啊！jzkyllcjl先生，莫绍揆先生的《数理逻辑教程》和[美]M.克莱因《数学：确定性的丧失》我都拜读过，我并不排斥他们关于“从古到今存在着许多不同的数学概念，存在着以公理为基础的形式逻辑主义与直觉主意、实无穷与潜无穷等许多争论”的论述。然而对照他们的观点，我确实没有发现他们对你把现有的实数理论，“改革”成系统不连续、运算不封闭的C氏数学的赞赏和支持，这可不能怪我“睁眼瞎”哟！
第二、jzkyllcjl先生，“对于徐利治，我已经说过： 瞬时速度的问题我给他寄过，他说他老了，没有提出意见。”哎呀，jzkyllcjl先生，徐利治先生说“他老了，没有提出意见”那是对你的婉拒哟。其实，徐利治先生并不赞成你的观点。他在他的《论无限》一书中，对你提出的“下落物体按照2g 下落的时段长是不是0”的问题”以及“1∕３＝0.333……”都有论述。但徐老先生比我辈学识高、涵养好，不愿与你这样的、坚定的“唯吾”主义者纠缠。故以此婉言相拒，以乐得享清福。“我发表过论文，王学敏也发表过论文，你有意见可以具体提出来。你说的十余次给出了严格的数学证明，均被我的以‘无尽循环小数0.333…… 来自于1被3除的运算过程中得到的针对误差界序列{1/10^n}以十进小数为项不足近似值的康托儿基本数列0.3，0.33，0.333，……，它可以简写为0.333……，并称它为无尽循环小数，它的极限是1/3, 但它本身不等于1/3。等式1/3=0.333…… 是不确切的、无根据的张冠李戴性的错误等式’于以否定。”是的，像你这样的、坚定的“唯吾”主义者，即使有意见，谁还能具体给你提出来？因为谁给你的１∕３是Ｃ托尔基本序列{0.3，0.33，0.333，……}的“趋向性极限”提意见，你就跟谁急。Jzkyllcjl先生，请你不要忘了“１∕3＝0.333……”既是人类数百年实践的结果，也是严谨的形式逻辑证明的结果，你急又有什么用？
第三， jzkyllcjl先生，我当然知道“华东师大《数学分析》下册你提出的无穷次加号的无穷级数不一定有和，有级数和的必要条件是其前n项和序列的极限存在。”不过，先生有意把级数敛散性的判定和级数的定义混为一起。我也知道“有级数和的必要条件是其前n项和序列的极限存在。”然而，谁说使用无穷级数的定义Ｓ＝u1+u2+……+un……或Ｓ＝∑Un就忽略了定义式就“忽略有级数和的必要条件”呢？按实无穷的观点，Ｓ＝u1+u2+……+un……或Ｓ＝∑Un收敛可是Sn的极限存在的充分必要条件嘛。（参见华东师大《数学分析》定理12.5、定理12.6）同时，常用的比式判别法、根式判别法、阿贝尔判别法中用的可是相邻两项有比值（比式判别法、阿贝尔差别法）和通项的算术根为据。根据“有级数和的必要条件是其前n项和序列的极限存在”这个必要条件去判定的几乎没有。所以，现行教科书“提出的（1）是错误的，不恰当的”是jzkyllcjl先生不当的批评。

jzkyllcjl

春风晚霞：第一， 你第一说到每一次数学理论的改革都是以数学概念扩展，数学适用范围扩张为前提的。那么亚里士多德、欧几里得的《 几何原本》 抛弃实无穷的做法也是数学概念的扩展吗？你第一中说到： 没有人用（2.236……）^2-(1.732……)^2去计算（√5）^2-(√3)^2 的意思，你的。那么1.732…… 就不能等于√3。所以你坚持的现行实数理论 需要改革。
第二，你坚持 不使用数列极限方法,.而使用 无穷次加法得到１∕3＝0.333……，那么 你为什么不使用无穷次加法 计算你的S=1—1/2+(1/2)^2 +……=2/3 呢?
第三，参看华东师大《数学分析》下册1981年版，达朗贝尔判别法的证明，用了几何级数，因此 就用了其前n项和序列的极限存在”这个必要条件。比式判别法、也是如此。

elim

亚力斯多德等一切抛弃实无穷的做法事实上都被抛弃了．因为在他们的东西出于对无穷带来的挑战的回避而不是出于对数学真理的探求．

春风晚霞

第一、jzkyllcjl先生，“每一次数学理论的改革都是以数学概念扩展，数学适用范围扩张为前提的”这是对的。欧几得以前的数学缺乏系统性，如毕达哥拉斯的比例论只适用于可公度量，而欧几里得的比例论适用范围比毕达哥拉斯的比例论要宽得多。有数学史家研究表明欧几里得将有理数分为两类，与戴德金分割异曲同工（参见《数学史辞典`》P262），当然欧几里得《几何原本》对数学的贡献较多，与它以前的数学代表作《莱因德纸章书》比，除概念的扩展，适用范围的扩张（从它以前的有理数环扩张到域的雏形，概念上也增添了有理数，无理数即可公度的量和不可公度量……），还首次建立严谨的数学理逻辑论证体系…（参见《数学史辞典》P261_P264）。“欧几里得的《 几何原本》 抛弃实无穷的做法”的说法是没有依据的。事实上，我们从“亚里士多德倾向潜无穷，但在阿基里斯与乌龟的问题上含糊其辞，这时大家对无穷都很头疼，以后的数学家从欧几里德开始，都尽量回避无穷的问题，专注于谈得清的有限问题”（参见应行仁《阿基里斯与乌龟悖论解决了吗？》）和“由于在古希腊时代芝诺悖论长久不能获得圆满的解决，无穷逐渐淡出了人们的视线，自欧几里德以后，古希腊人对于无穷基本上采取一种笼统的排斥态度。”（参见杜国平《潜无穷、实无穷探析》）以及《数学史辞典》欧几里得词条的论述中可以看岀，欧几里得回避无穷；笼统排斥无穷就是对亚里士多德潜无穷观的背叛与抗争。“没有人用（2.236……）^2-(1.732……)^2去计算（√5）^2-(√3)^2 ”的意思是，在己知√3=1.732…；√5=2.236…的前题下，正常人是不会用（2.236……）^2-(1.732……)^2去计算（√5）^2-(√3)^2 ”的，因为用（√5）^2-(√3)^2=5-3=2要便捷多，准确得多。所以，除了jzkyllcjl先生外，是没有人去考虑把“无尽小数写到底、算到底”的。
第二、jzkyllcjl先生，对于简单的无限循环小数0.aaa…（a∈｛x|1≤x≤8，x∈N｝确实可以不用数列极限方法（当然更不用你的“趋向性极限”）求0.aaa…的值。具体操作如下，（1）用反证法证得0.999…=1；（2）用9除0.999…=1的两端得0.111…=1/9（把该等式作为公式）；（3）把公式两端同乘以a得：0.aaa…=a/9。对于交错级数S=1—1/2+(1/2)^2 +……，我们亦可根据无穷递缩等比数列所有项和S=a1/(1-q)，q∈（-1，1）（也不用你的“趋何性极限”）算得：S=1—1/2+(1/2)^2 +……=2/3。
第三、《数学分析》中级数敛散性的判别方法（比值法、根值法、阿贝尔判别法）都是根据几何级数的敛散性为依据的。我们说“根据’有级数和的必要条件是其前n项和序列的极限存在’这个必要条件去判定的几乎没有”。并没有排除间接利用无穷递缩等比数列所有项和的公式。更何况现行教科书认为无穷级数表达式①和表达式②是等价的。所以，jzkyllcjl先生对现行教科书“提出的（1）是错误的，不恰当的”的批评才是“错误的，不恰当的”，jzkyllcjl先生，你说呢？

jzkyllcjl

春风晚霞：第一  对你引用的话“从欧几里德开始，都尽量回避无穷的问题”，我已经给你说过 “”不符合事实，事实是，欧几里德的 公设吧2 每条直线 都可以无限延长”。使用了无限两个字。你引用的“亚里士多德倾向潜无穷，但在阿基里斯与乌龟的问题上含糊其辞，也不对。事实上《非标准分析》10.7说到：亚里士多德 讨论了 芝诺悖论问题，他抛弃了实无限 而接受了潜在的 增长着的无限概念“”。最根本的问题，是尊重无尽小数 算不到底写不到底的事实。你的等式 √3=1.732…；√5=2.236… 不成立，你始终没有把1.732… 算到底，算不到底就不是定数。

elim

无限延长就是说时时有限, 就是回避无穷. 不过有限的线段上没有大小的点已经是实无穷, 这种回避最后还是自欺欺人. 康托及其现代追随者, 也就是数学社会最终还是回到了实事求是, 接受既存的无穷集合, 即无穷公理. 实践表明, 没有无穷公理, 就没有数学基础. 只能回到吃狗屎状态.

春风晚霞

第一、jzkyllcjl先生，你仅从 欧几里德的公设2 每条直线都可以无限延长”。使用了无限两个字，就断定欧几里只是回避的实无穷，而坚持潜无穷。这与你根据“x趋向于x0”，就弄出个“趋向性极限”有什么两样？亚里士多德是你们潜无穷学派的鼻祖，这一点谁都知道。我引用杜国平、应向仁先生的话应忠实于原文，这一点是我和你的根本区别。“最根本的问题，是尊重无尽小数算不到底写不到底的事实。你的等式 √3=1.732…；√5=2.236… 不成立，你始终没有把1.732… 算到底，算不到底就不是定数。”你凭什么说等式 √3=1.732…；√5=2.236… 不成立? 你知无尽小数始于何时？你的“无尽小数算不到底写不到底”是反人类数学的狂吠，我凭什么要尊重？我的数学观是坚持数学定义，坚持数学研究方法。数学问题必须在数学领域内解决，必须依靠严格的逻辑演译论正。而不是靠“实践”、“事实”这些学科外的东西来证明。
第二、jzkyllcjl先生，你凭什么说无限循环小数“0.999… 不是定数，你（春风晚霞）把它看作定数的做法是错误的，你证明结果0.999…=1 是错误的。”jzkyllcjl，你连续说了这么多个错误的，但你除了你那个反人类的“无尽小数算不到底写不到底”外，还有其它理由吗？你找出了0.999…<C<1中的那个C了吗？如果找出来了，你倒说说那个C等于多少？如果你没有找岀来，你的那么多个“错误的”不是打胡乱说吗？“你用的等比级数和公式的证明用到了极限，而且这个极限是趋向性质的。q^n  只是趋向于0，但始终不等于0。”jzkyllcjl，你知道级数理论早于极限理论多少年？你知道在CDW极限理论尚未建立之前，人类是怎样处理无穷递缩等比数列的？
第三、jzkyllcjl，“间接用，也是用了。”用了什么，就是用了表达式②中的极限吗？你凭什么说表达式“①和表达式②是不等价的”？你反对现行教科书，也要我反对现行教科书？“因为你无法进行无穷次加法运算，无穷次加法运算不等于有穷次加法序列的极限。”jzkyllcjl，你知道无穷递缩前n项和的公式推导过程吗？你以为推导这个公式就是逐项相加吗 ？你的“趋向性极限”毕竟还没得到人类认可？有计算规律可循，我为什么要使用无穷次加法计算1—1/2+(1/2)^2 +…… 呢？  其实你的“趋向性极限”并不是你的发明，你在剽窃CDW数学的基础上，反对CDW数学，这是学者所为吗？

jzkyllcjl

春风晚霞正教授：  第一，你坚持的 称无尽小数为实数 的定义，违背了“无尽小数算不到底写不到底”的事实，造成了 三分律反例，也违背了 无尽小数的底是实数 的论述，应当改革。
第二，无限循环小数“0.999… 不是定数，而是以1为极限的无穷数列，是个无穷数列性质的变数，当然找不到满足0.999…<C<1中的定数你C，但不能因此就说“0.999… 等于定数1， 必须尊重 变数不是定数的概念。
第三， 用了 等比级数和的表达式，就是间接用了 前n项和 数列的极限方法。

春风晚霞

第一、jzkyllcjl先生，我“坚持的 称无尽小数为实数 的定义”，是符合实数的连续性的。虽然这种观点与你的“无尽小数算到底写不到底”的认识相违，但它与CDW实数理论一致。我只相信数理逻辑，不相信什么“实践”、“事实”。
第二、jzkyllcjl先生，“无限循环小数’0.999… 不是定数，而是以1为极限的无穷数列’，是个无穷数列性质的变数”。这只是你个人的认识，目前尚未得到数学界的认可，故不足以采信。即然先生“找不到满足0.999…<C<1中的定数你C”，根据实数的连续性，就应该承认“0.999… =1”。我可以尊重每个人，但绝不盲从违背数理逻辑的奇谈怪论。
第三，jzkyllcjl先生，级数S=u1+u2+…+un+…敛散性的判别方法，虽然“用了 等比级数和”的公式，但这个公式与级数S=u1+u2+…+un+…的前n项和Sn的极限无直接关系。其实，就是直接用了Sn的极限，也不能说，级数S=u1+u2+…+un+…的定义犯了“张冠李戴”的逻辑错误。