质数公式

太阳

6666666666^16807*18-1，不含有7^5因子

太阳

6666666666^n*18-1，含有7^5，指数n是多少？

yangchuanju

太阳 发表于 2021-5-15 12:00
6666666666^n*18-1，含有7^5，指数n是多少？

30楼点评中给出的数据不对！       
对于6666666666^s*18-1,可以证明（证明从略）；       
当s=1，4，7，10，13，…，3t+1时都含素因子7；       
当s=7，28，49，70,，91，…，21t+7时都含素因子7的平方=49；       
当s=49，196，343，490，637，…，147t+49时都含素因子7的立方=343；       
当s=931，1960，2989，4018，5407，…，2058t+931时都含素因子7的四次方=2401；……       
请试一试下列指数中哪一个指数含因子7^5，前7个、中7个和后7个之中必然各有一个；       
只要找到第一个，下两个就好找了，后移7行、14行即可：       
指数        含7^4
931        2401
1960        2401
2989        2401
4018        2401
5047        2401
6076        2401
7105        2401
8134        2401
9163        2401
10192        2401
11221        2401
12250        2401
13279        2401
14308        2401
15337        2401
16366        2401
17395        2401
18424        2401
19453        2401
20482        2401
21511        2401

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2021-5-15 12:18
30楼点评中给出的数据不对！       
对于6666666666^s*18-1,可以证明（证明从略）；       
当s=1，4，7，10，13 ...

不要再试指数是偶数的啦！它们都不含素因子19，只试前14行中的7个奇指数就行，其中应该有一个含因子7^5=16807的，同时含因子19.

yangchuanju

太阳 发表于 2021-5-15 12:00
6666666666^n*18-1，含有7^5，指数n是多少？

用我的《大素数计算器》勉强计算出指数是2989时，位数29363位，6666666666^2989*18-1含因子2401*19，但不含16807和361；再计算下一级时《大素数计算器》罢工不干了！下一级指数5047，6666666666^5047*18-1位数高达49579位！
太阳先生的验证结果如何？

yangchuanju

太阳 发表于 2021-5-15 12:00
6666666666^n*18-1，含有7^5，指数n是多少？

经用其它方法计算，当指数等于7105和14308时，
6666666666^s*18-1都含复合因子7^5=16807，
但当指数等于7105时同时含素因子19，而指数等于14308时不含素因子19；
这两个指数都不含因子361。

太阳先生的验证结果如何？

太阳

6666666666^7105*18-1，含有因子7^5

太阳

6666666666^28714*18-1，含有因子7^6

太阳

太阳 发表于 2021-5-15 18:22
6666666666^7105*18-1，含有因子7^5

6666666666^7105*18-1，含有因子7^5，指数7105，7^5不一定是第一次出现

太阳

6666666666^n*18-1，找到公式含有因子7^4，试除7^5，找到公式含有7^5，试除7^6