互素数对个数

yangchuanju

给定偶数N，在用与2互素的互素系统（奇数系统）中，只有1种余数0，故只有1个常数b=0，1个系数a=1；互素数对数S=1*[N/2]+0=N/2。

给定偶数N，在用与6互素的互素系统中，有3种余数0,2,4，故有3个常数b=0,1,0，3个系数a=2,1,1。

给定偶数N，在用与30互素的互素系统中，有15种余数（分4类），有15个常数b，15个系数a（分4类，余数类相同的a相等）。

给定偶数N，在用与210互素的互素系统中，有105种余数（分8类），有105个常数b，105个系数a（分8类，余数类相同的a相等）。

给定偶数N，在用与2310互素的互素系统中，有1155种余数（分16类），有1155个常数b，1155个系数a（分16类，余数类相同的a相等）。表格略

给定偶数N，在用与30030互素的互素系统中，有15015种余数（分32类），有15015个常数b，15015个系数a（分32类，余数类相同的a相等）。表格略

给定偶数N，在用与510510互素的互素系统中，有255255种余数（分64类），有255255个常数b，255255个系数a（分64类，余数类相同的a相等）。具体a和b数字笔者没有求出。

给定偶数N，在用与19#互素的互素系统中，有19#/2种余数（分128类），有19#/2个常数b，19#/2个系数a（分128类，余数类相同的a相等）。具体a和b数字笔者没有求出。

给定偶数N，在用与23#互素的互素系统中，有23#/2种余数（分256类），有23#/2个常数b，23#/2个系数a（分256类，余数类相同的a相等）。具体a和b数字笔者没有求出。
……

yangchuanju

给定一个特定偶数9699692，它模2,6,30,210,2310,30030,510510,9699690都余2，可以算知其常数b都是1；
给定的偶数除以更大的23#、29#、31#……时，余数不再是2，对应b值不易求出；

系数a分别等于1,2,15,135,1485,22275,378675；
[9699692/2,6,30,210,2310,30030,510510,9699690]分别等于4849845,1616615,323323,46189,4199,323,19,1；
在不同互素数系统中的互素数对数分别为4849845,1616615,969969,692835,566865,479655,423225,378675；
随着互素数模数的增加，互素数都是由与2互素的奇数对数N/2逐渐减少；
若继续增大互素数系统的模数，其互素数对数还要减少；
又算得偶数9699692的单计哥猜数是28588个，双计哥猜数是57176个，它仅为上述最小互素数对数378675的15.1%；

又知偶数9699692以内共有646029个素数，最大的素数是9699667，
尚若能够算至9699667#，方可在计算所得的互素数对数之中不再有素合对和合数对，
故此想通过求互素数对数之法求其素数对数是不现实的。

在与19#=9699690互素系统中的378675个互素数对中，存在有大量的非素数对，其中最小的非素数大于19，最大的不大于9699667。
只有在与9699667#互素系统中的互素数对中，才不会再有小于9699667的非素数对了。

此两段叙述不正确，暂且保留不做修改！

互素数        [N/p#]        a        b        互素数对S
2        4849845        1        0        4849845
6        1616615        1        0        1616615
30        323323        3        0        969969
210        46189        15        0        692835
2310        4199        135        0        566865
30030        323        1485        0        479655
510510        19        22275        0        423225
9699690        1        378675        0        378675
3109#        0        ？        ？        57176
9699667#        0        ？        ？        57176

yangchuanju

我的积分9300贴，7863个帖子

9699692的平方根是3114.432，其内有443个素数，最大的是3109，
9699692的素数对中有27个小素数对，这些小素数对在互素数对数中均被忽略未计！

n(is a even number)=9699692
1,n= 43 + 9699649
2,n= 61 + 9699631
3,n= 181 + 9699511
4,n= 241 + 9699451
5,n= 283 + 9699409
6,n= 619 + 9699073
7,n= 853 + 9698839
8,n= 883 + 9698809
9,n= 1033 + 9698659
10,n= 1279 + 9698413
11,n= 1321 + 9698371
12,n= 1453 + 9698239
13,n= 1459 + 9698233
14,n= 1543 + 9698149
15,n= 1609 + 9698083
16,n= 1669 + 9698023
17,n= 2089 + 9697603
18,n= 2113 + 9697579
19,n= 2143 + 9697549
20,n= 2281 + 9697411
21,n= 2293 + 9697399
22,n= 2383 + 9697309
23,n= 2689 + 9697003
24,n= 2713 + 9696979
25,n= 2791 + 9696901
26,n= 2803 + 9696889
27,n= 3001 + 9696691
28,n= 3121 + 9696571
29,n= 3163 + 9696529
30,n= 3253 + 9696439
……
28580,n= 4848199 + 4851493
28581,n= 4848229 + 4851463
28582,n= 4848499 + 4851193
28583,n= 4848523 + 4851169
28584,n= 4848541 + 4851151
28585,n= 4848583 + 4851109
28586,n= 4849279 + 4850413
28587,n= 4849531 + 4850161
28588,n= 4849591 + 4850101
That is all!!!

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2024-1-4 23:15
给定一个特定偶数9699692，它模2,6,30,210,2310,30030,510510,9699690都余2，可以算知其常数b都是0；
给定 ...

仍以9699692为例，求互素数对和素数对，
9699692的平方根等于3114.433，其内最大素数是3109；
在用连乘积法求哥猜素数对，需计算至素数3109，
9699692=2*2*109*22247，只考虑平方根内的奇素数因子即可。
R2=9699692/2*1/3*3/5*5/7*9/11*11/13*…*107/109*…*3107/3109*108/107
=9699692/3109#*(3109-2)#*108/107=……

9699692除以6,30,210,2310,30030,510510,9699690都余2，但除以23#,29#,…109#,…3109#的余数是多少不知道；
在计算9699692的互素数对数时可用互素数对数计算公式S=a*[9699692/3111#]*(3111-2)#+b，
与素数对连乘积计算公式相比，素数对连乘积计算公式中有一项波动因子108/107，但没有常数项b，其主项9699692/3109#*(3109-2)#是相同的；
两计算公式都没有考虑根内素数的影响问题，没有考虑1+9699691的问题。
互素数对数计算公式的系数a数值极大，但如果逐个分配到各个素数p之上变成一个一个的分数相乘，则变成类似于哥猜素数对的连乘积计算公式；

如果能够求出9699692除以23#，29#，…3109#的各个余数，求出在与3109#互素的合数系统中的常数b，则计算所得为9699692的真实互素数对数；
该数值稍加修正（减含1互素数对，加小互素数对中的素数对）也就应该是9699692的真实哥猜素数对数了；
然而按哥猜素数对的连乘积计算式得到的哥猜素数对数值即使进行两项修正后仍不是其真实哥猜素数对数值！
最初的互素数对数计算值中含有大量的素合对和合数对，在逐级扩大互素数模数后，才能逐步逼近它的哥猜素数对真实值！

需要说明的是，前曾说想通过互素数对求素数对，需计算至9699667#，实际是没有必要的，计算至3109#足矣！

yangchuanju

设想，我们能够做一张极大的二维表，第一纵列为1至正无穷大之间的所有奇数，第一横行为1至正无穷大之间的所有奇数，
我们将表中的每一个奇数两两相加即可得到2至正无穷大之间的全部偶数，统计每个偶数的加法个数，即得2至正无穷大之间各个偶读的奇数对数。

在做那个无穷大的二维表前，我们先做一张小一些的255255*255255二维表，第一纵列为1-510509之间的所有奇数，第一横行为1-510509之间的所有奇数，
我们将表中的每一个奇数两两相加即可得到2-510510之间的全部偶数，统计每个偶数的加法个数，即得510510以内各个偶读的奇数对数。
当然我们也可以做一张更小一些的二维表，如1-30029或1-2309或1-209的二维表（分别是15015*15015，15015*15015，105*105表）、

统计中我们只统计二维表左上角（包括付对角线）中的数字个数即可，右下角数字不全就不必统计了；
容易发现，在上述二维表中相同偶数都位于与副对角线平行的一条条斜线上。
现在我们改变纵横坐标的排列方法，都变成1、素数、3倍数、5倍数、7倍数、……709倍数，
如此一改就不能只统计二维表左上角的数字了，必须在整个二维表中统计2-510510之间的各个偶数的合成方法数，
对于特定偶数来说，它们不再在一条斜线上了。
我们改变二维表纵横坐标的排列方式只是为了在删除3,5,7……及3,5,7……倍数时方便操作而已，因为它们已经集中在一起了。

改在与6互素的互素系统中，去掉3及3的倍数数，即得与6互素的互素数对数；
改在与30互素的互素系统中，再去掉5及5的倍数数，即得与30互素的互素数对数；
改在与210互素的互素系统中，再去掉7及7的倍数数，即得与210互素的互素数对数；……

210互素系统中还含有11-13倍数数，
2310互素系统中还含有13-47倍数数，
30030互素系统中还含有17-173倍数数，
510510互素系统中还含有19-709倍数数，
9699690互素系统中还含有23-3109倍数数，……

yangchuanju

若要计算2-30之间各个偶数的素数对数，可在与30互素的互素系统中进行，首先去掉纵列和横行中的1，再去掉纵列和横行中3和5的倍数，但要保留3和5列和行；
若要计算32-210之间各个偶数的素数对数，可在与210互素的互素系统中进行，首先去掉纵列和横行中的1，再去掉纵列和横行中3,5,7的倍数，但要保留3,5,7列和行；接着还要去掉纵列和横行中11-13的倍数；
或在与30互素的互素系统中进行，首先去掉纵列和横行中的1，再去掉纵列和横行中3,5的倍数，但要保留3,5列和行；接着还要去掉纵列和横行中7-13的倍数。

若要计算212-2310之间各个偶数的素数对数，可在与2310互素的互素系统中进行，首先去掉纵列和横行中的1，再去掉纵列和横行中3,5,7,11的倍数，但要保留3,5,7,11列和行；接着还要去掉纵列和横行中13-47的倍数；
或在与210互素的互素系统中进行，首先去掉纵列和横行中的1，再去掉纵列和横行中3,5,7的倍数，但要保留3,5,7列和行；接着还要去掉纵列和横行中11-47的倍数。

若要计算2312-30030之间各个偶数的素数对数，可在与30030互素的互素系统中进行，首先去掉纵列和横行中的1，再去掉纵列和横行中3,5,7,11,13的倍数，但要保留3,5,7,11,13列和行；接着还要去掉纵列和横行中17-173的倍数；
或在与2310互素的互素系统中进行，首先去掉纵列和横行中的1，再去掉纵列和横行中3,5,7,11的倍数，但要保留3,5,7,11列和行；接着还要去掉纵列和横行中13-173的倍数。

若要计算30032-510510之间各个偶数的素数对数，可在与510510互素的互素系统中进行，首先去掉纵列和横行中的1，再去掉纵列和横行中3,5,7,11,13,17的倍数，但要保留3,5,7,11,13,17列和行；接着还要去掉纵列和横行中19-709的倍数；
或在与30030互素的互素系统中进行，首先去掉纵列和横行中的1，再去掉纵列和横行中3,5,7,11,13的倍数，但要保留3,5,7,11,13列和行；接着还要去掉纵列和横行中17-709的倍数。

若要计算510512-9699690之间各个偶数的素数对数，可在与9699690互素的互素系统中进行，首先去掉纵列和横行中的1，再去掉纵列和横行中3,5,7,11,13,17,19的倍数，但要保留3,5,7,11,13,17,19列和行；接着还要去掉纵列和横行中23-3109的倍数；
或在与510510互素的互素系统中进行，首先去掉纵列和横行中的1，再去掉纵列和横行中3,5,7,11,13,17的倍数，但要保留3,5,7,11,13,17列和行；接着还要去掉纵列和横行中19-3109的倍数。

yangchuanju

如何由上一级互素数系统中给定偶数N的互素数对数S1求下一级互素数系统中的互素数对数S2？
前楼（35楼）在大二维表中已用删除一些与p1#互素但与p2#不互素的行列后，重新统计行列两互素数和等于给定偶数的个数，得到与p2#互素的互素数对数！
下面另用一张小表给出与p2#=210互素的互素数对数：
以与30互素系统和与210互素系统为例，要计算与210互素系统中的互素数对数S2，只要从与30互素系统中的S1中减去涉及7的互素数对即可。
偶数N        a1        b1        S1        a2        b2        S2        S1-S2        减少的表达式
2        3        1        1        15        1        1        0       
4        3        0        0        15        0        0        0       
6        6        0        0        30        0        0        0       
8        3        2        2        15        0        0        2        1+7
10        4        0        0        20        0        0        0       
12        6        2        2        30        2        2        0       
14        3        3        3        18        2        2        1        7+7
16        3        0        0        15        0        0        0       
18        6        4        4        30        2        2        2        7+11
20        4        4        4        20        2        2        2        7+13
22        3        1        1        15        1        1        0       
24        6        6        6        30        4        4        2        7+17
26        3        3        3        15        1        1        2        7+19
28        3        2        2        18        2        2        0       
30        8        0        8        40        6        6        2        7+23
32        3        1        4        15        4        4        0       
34        3        0        3        15        3        3        0       
36        6        0        6        30        4        4        2        7+29
38        3        2        5        15        3        3        2        7+31
40        4        0        4        20        4        4        0       
42        6        2        8        36        8        8        0       
44        3        3        6        15        4        4        2        7+37
46        3        0        3        15        3        3        0       
48        6        4        10        30        8        8        2        7+41
50        4        4        8        20        4        4        4        7+43,49+1
52        3        1        4        15        4        4        0       
54        6        6        12        30        10        10        2        7+47
56        3        3        6        18        4        4        2        7+49
58        3        2        5        15        5        5        0       
60        8        0        16        40        12        12        4        7+53,49+11
……
200        4        4        28        20        20        20        8
202        3        1        19        15        15        15        4
204        6        6        42        30        30        30        12
206        3        3        21        15        15        15        6
208        3        2        20        15        14        14        6
210        8        0        56        48        0        48        8

yangchuanju

如何由上一级互素数系统中给定偶数N的互素数对数S1求下一级互素数系统中的互素数对数S2？
上两楼（35楼  37楼）都能给出准确的互素数对数，但都异常繁杂，下面在给出一种粗略估算方法。
S1=a1*[N/p1#]+b1=a1*[N/30]+b1；
S2=a2*[N/p2#]+b2=a2*[N/210]+b2；
a2与a1有关联，p2#与p1#有关联。
已知在30以内S1有8个，210以内S1有56个；210以内S2有48个，S2=S1*6/7；
当偶数不是210的整倍数时就没有简单的比例（或倍数）关系了。
a2=if(mod(N,7)=0,a1*6,a1*5)
一般地，int(N/30)≠int(N/210)*7，只有在N=210k时才相等。
当N=210时有a1=8,b1=0,S1=56;a2=48,b2=0,S2=48。
若不计b1,b2，不取整；a1取最小值3，a2取最小值15，则
S1=3*N/30=N/10
S2=15*N/210=N/14
14*S2=10*S1,  S2=S1*10/14=S1*5/7

S1=(p1-2)#*N/p1#
S2=(p2-2)#*N/p2#=(p2-2)#*N/p1#/p2
S1*p1#/(p1-2)#=N=S2*p1#*p2/(p2-2)
S1/(p1-2)#=S2*p2/(p2-2)#
S2=S1*(p2-2)#/(p1-2)#/p2
S2=S1*15/3/7=S1*15/21=S1*5/7
S2=S1*(p2-2)/p2

yangchuanju

在35楼中笔者编制了一张255255*255255的二维大表，它实际上就是一张用于统计奇素数对个数的表，
在表中两奇素数和等于偶数N（≤510510）都位于一条与正方形大表副对角线平行的斜线上，
斜线上数值等于N的点的个数就是偶数N的奇数对数（=N/2）。

尚若删除与6不互素的3和3的倍数，就变成一张与6互素的互素数对数计算表；
如果保留被删除的空行和空列，则偶数N的与6互素的互素数对仍在一条斜线上；
如果不保留被删除的空行和空列，则偶数N的与6互素的互素数对不在一条斜线上了，它位于原斜线上下的一条狭长区域之中；
删除空行和空列之和的表格减小很多，变成170170*170170二维表，长宽为原表的2/3，面积为原表的4/9。

继续筛除与30不互素的5和5的倍数，就变成一张与30互素的互素数对数计算表，即吴代业（重生）的WDY数表；
如果保留2次被删除的空行和空列，则偶数N的与30互素的互素数对仍在一条斜线上；
如果不保留2次被删除的空行和空列，则偶数N的与30互素的互素数对不在一条斜线上了，它位于原斜线上下的一条宽度稍宽的狭长区域之中；
删除空行和空列之和的表格继续减小，变成136136*136136二维表，长宽为原表的8/15≈1/2，面积为原表的64/225≈1/4。

继续筛除与210不互素的7和7的倍数，将它变成一张与210互素的互素数对数计算表；
不保留被删除空行和空列，表格变小为116688*116688二维表。

再筛除与2310不互素的11和11的倍数，将它变成一张与2310互素的互素数对数计算表；
不保留被删除空行和空列，表格变小为106080*106080二维表。

再筛除与30030不互素的13和13的倍数，将它变成一张与30030互素的互素数对数计算表；
不保留被删除空行和空列，表格变小为97920*97920二维表。

再筛除与510510不互素的17和17的倍数，将它变成一张与510510互素的互素数对数计算表；
不保留被删除空行和空列，表格变小为92160*92160二维表；
92160这个数字您该熟识吧——它等于(17-1)#=(3-1)*(5-1)*(7-1)*(11-1)*(13-1)*(17-1)。

至此，这张二维表不能再继续删除缩小了！
若想计算下一级与19#互素的互素数对数，可在与510510=17#互素的互素数对数计算表的基础上，将92160*92160二维表纵横都扩大19倍后，
再删除与19#不互素的19和19的倍数行和列，变成1658880*1658880二维表才行。
（与255255*255255对应的二维奇数对表是4849845*4849845大表）

yangchuanju

6以内有2个奇素数（3和5）；
30以内有9个奇素数；
210以内有45个奇素数；
2310以内有342个奇素数；
30030以内有3247个奇素数；
510510以内有42330个奇素数；……

30平方根内最大素数是5；
210平方根内最大素数是13；
2310平方根内最大素数是47；
30030平方根内最大素数是173；
510510平方根内最大素数是709；……

在15*15奇数二维表中3的倍数数4个（9,15,21,27），5的倍数数1个（25，不包括5和15）；

在105*105奇数二维表中3的倍数数34个（不包括3）；
（非3的倍数的）5的倍数数13个（25,35,55,65,85,95,115,125,145,155,175,185,205）；
（非3,5的倍数的）7的倍数数7个（47,77,91,119,133,161,203）；
（非3,5,7的倍数的）11的倍数数4个（121,143,187,209）；
（非3,5,7,11的倍数的）13的倍数数1个（169）。

在1155*1155奇数二维表中3的倍数数384个（不包括3）；
5的倍数数153个，7的倍数数87个，11的倍数数47个，
13—36，17—26，19—23，23—17，29—13，31—11，37—7，41—4，43—3，47—1（即47^22209）。

在15015*15015和255255*255255二维奇数数表,3,5,7……的倍数数见下表：
倍数   255255    150150
3        85084        5004
5        34033        2001
7        19447        1143
11        10607        623
13        8159        479
17        5759        339
19        4851        283
23        3796        221
29        2883        168
31        2601        154
37        2097        130
41        1835        117
43        1696        112
47        1510        101
53        1308        88
59        1145        80
61        1090        77
67        982        68
71        915        63
73        886        60
79        818        54
83        779        50
89        730        45
97        674        39
101        651        37
103        636        35
107        614        32
109        605        30
113        584        27
127        525        21
131        508        19
137        487        15
139        479        14
149        446        12
151        441        10
157        422        7
163        408        5
167        399        3
173        385        1
179        374        0
……
701        4        0
709        2        0