连乘积哥猜公式误差分析

愚工688 · 发表于 2021-10-28 21:26

连乘式计算偶数的素对数量的相对误差的统计计算:

偶数20002-30000的分法数量的概率计算的相对误差分布情况：
δ(m):             <-.2 , [-.2~-.1) , [-.1~0) , [0~.1] , (0.1~.2] , (.2~.3] , >.3
-----------------------------------------------------------------------------------
[ 20002 , 21000 ]    0       0       173       325       2       0       0
[ 21002 , 22000 ]    0       0       110       389       1       0       0
[ 22002 , 23000 ]    0       0       157       342       1       0       0
[ 23002 , 24000 ]    0       0       200       298       2       0       0
[ 24002 , 25000 ]    0       0       190       305       5       0       0
[ 25002 , 26000 ]    0       0       143       357       0       0       0
[ 26002 , 27000 ]    0       0       126       372       2       0       0
[ 27002 , 28000 ]    0       0       144       353       3       0       0
[ 28002 , 29000 ]    0       0       164       335       1       0       0
[ 29002 , 30000 ]    0       0       131       369       0       0       0
-----------------------------------------------------------------------------------
[ 20002 , 30000 ]    0       0       1538    3445    17    0       0

对各区间相对误差的统计计算如下：（μ：平均相对误差，标准偏差σx=√(∑δ^2/n).）
M=[ 20002 , 21000 ] , R= 139 , n= 500 , μ= .01 , σx= .03 , δ(min)=-.073 , δ(max)= .117
M=[ 21002 , 22000 ] , R= 139 , n= 500 , μ= .02 , σx= .03 , δ(min)=-.081 , δ(max)= .118
M=[ 22002 , 23000 ] , R= 151 , n= 500 , μ= .01 , σx= .03 , δ(min)=-.075 , δ(max)= .129
M=[ 23002 , 24000 ] , R= 151 , n= 500 , μ= .01 , σx= .03 , δ(min)=-.088 , δ(max)= .138
M=[ 24002 , 25000 ] , R= 157 , n= 500 , μ= .01 , σx= .03 , δ(min)=-.079 , δ(max)= .133
M=[ 25002 , 26000 ] , R= 157 , n= 500 , μ= .02 , σx= .03 , δ(min)=-.067 , δ(max)= .1
M=[ 26002 , 27000 ] , R= 163 , n= 500 , μ= .02 , σx= .03 , δ(min)=-.081 , δ(max)= .151
M=[ 27002 , 28000 ] , R= 167 , n= 500 , μ= .02 , σx= .03 , δ(min)=-.084 , δ(max)= .125
M=[ 28002 , 29000 ] , R= 167 , n= 500 , μ= .01 , σx= .03 , δ(min)=-.063 , δ(max)= .103
M=[ 29002 , 30000 ] , R= 173 , n= 500 , μ= .02 , σx= .03 , δ(min)=-.074 , δ(max)= .099
-----------------------------------------------------------------------------------
M=[ 20002 , 30000 ] , R= 173 , n= 5000, μ= .01 , σx= .03 , δ(min)=-.088 , δ(max)= .151

大家可以看到：相对误差δ(m)在[-.1,.1]中的占99.66%。，而标准偏差已经稳定在0.03附近，这个事实说明统计区域的偶数的分成两个素数的分法数量与它们的概率计算值相当接近。

yangchuanju · 发表于 2021-10-29 09:45

愚工688 发表于 2021-10-28 21:26
连乘式计算偶数的素对数量的相对误差的统计计算:

偶数20002-30000的分法数量的概率计算的相对误差分布情 ...

10万内各素控区间偶数校正系数K及μ估算表
最小偶数偶数个数控制素数 ∏(p-2)/p 单哥猜平均数平均误差
10 8 3 0.3333 2.125 -0.146
26 12 5 0.2000 3.250 -0.611
50 36 7 0.1429 5.639 -1.149
122 24 11 0.1169 7.333 -1.081
170 60 13 0.0989 10.317 -1.900
290 36 17 0.0873 12.750 -2.047
362 84 19 0.0781 15.881 -2.890
530 156 23 0.0713 21.250 -2.832
842 60 29 0.0664 25.567 -3.179
962 204 31 0.0621 30.819 -3.614
1370 156 37 0.0587 37.353 -3.498
1682 84 41 0.0559 41.155 -4.110
1850 180 43 0.0533 45.322 -4.633
2210 300 47 0.0510 53.083 -4.786
2810 336 53 0.0491 62.429 -4.128
3482 120 59 0.0474 69.300 -4.799
3722 384 61 0.0459 76.448 -5.397
4490 276 67 0.0445 84.942 -4.762
5042 144 71 0.0432 90.069 -5.685
5330 456 73 0.0432 98.311 -6.288
6242 324 79 0.0410 108.321 -6.704
6890 516 83 0.0400 118.486 -6.483
7922 744 89 0.0391 132.944 -4.899
9410 396 97 0.0383 147.523 -5.549
10202 204 101 0.0375 154.289 -6.734
10610 420 103 0.0368 160.033 -6.549
11450 216 107 0.0361 166.060 -6.474
11882 444 109 0.0355 174.198 -8.986
12770 1680 113 0.0348 197.467 -7.137
16130 516 127 0.0343 220.316 -4.379
17162 804 131 0.0338 233.867 -4.587
18770 276 137 0.0333 243.011 -2.851
19322 1440 139 0.0328 260.846 -3.403
22202 300 149 0.0323 279.037 -3.547
22802 924 151 0.0319 291.287 -4.909
24650 960 157 0.0315 307.603 -2.335
26570 660 163 0.0311 323.223 -2.495
27890 1020 167 0.0308 338.768 -2.443
29930 1056 173 0.0304 356.435 0.039
32042 360 179 0.0301 369.892 -1.056
32762 1860 181 0.0297 391.065 -1.712
36482 384 191 0.0294 410.641 -0.621
37250 780 193 0.0291 420.896 -1.888
38810 396 197 0.0288 430.934 -3.368
39602 2460 199 0.0285 456.076 -2.018
44522 2604 211 0.0283 497.876 5.944
49730 900 223 0.0280 527.492 8.957
51530 456 227 0.0278 540.515 5.819
52442 924 229 0.0275 549.955 5.506
54290 1416 233 0.0273 570.200 5.036
57122 480 239 0.0270 587.767 1.562
58082 2460 241 0.0268 610.878 3.766
63002 1524 251 0.0266 640.738 8.891
66050 1560 257 0.0264 665.030 10.597
69170 1596 263 0.0262 689.331 12.566
72362 540 269 0.0260 707.604 10.003
73442 1644 271 0.0258 724.005 9.504
76730 1116 277 0.0256 745.832 9.651
78962 564 281 0.0254 756.926 8.377
80090 2880 283 0.0253 785.667 7.806
85850 4200 293 0.0251 838.345 17.015
94250 1236 307 0.0249 881.655 19.500
96722 624 311 0.0248 893.990 18.283
97970 1260 313 0.0246 907.743 16.600
最小 —— —— —— —— -8.986
最大 —— —— —— —— 19.500

最小偶数控制素数校正系数K 校后平均误差 μ=1/K-1
10 3 1.0686 -0.010 -0.0642
26 5 1.1880 -0.115 -0.1583
50 7 1.2037 -0.234 -0.1692
122 11 1.1475 -0.159 -0.1285
170 13 1.1842 -0.350 -0.1555
290 17 1.1605 -0.329 -0.1383
362 19 1.1820 -0.526 -0.1540
530 23 1.1333 -0.378 -0.1176
842 29 1.1244 -0.395 -0.1106
962 31 1.1173 -0.424 -0.1050
1370 37 1.0936 -0.328 -0.0856
1682 41 1.0999 -0.411 -0.0908
1850 43 1.1022 -0.474 -0.0928
2210 47 1.0902 -0.432 -0.0827
2810 53 1.0661 -0.273 -0.0620
3482 59 1.0693 -0.332 -0.0648
3722 61 1.0706 -0.381 -0.0659
4490 67 1.0561 -0.267 -0.0531
5042 71 1.0631 -0.359 -0.0594
5330 73 1.0640 -0.402 -0.0601
6242 79 1.0619 -0.415 -0.0583
6890 83 1.0547 -0.355 -0.0519
7922 89 1.0369 -0.181 -0.0355
9410 97 1.0376 -0.209 -0.0363
10202 101 1.0436 -0.294 -0.0418
10610 103 1.0409 -0.268 -0.0393
11450 107 1.0390 -0.252 -0.0375
11882 109 1.0516 -0.463 -0.0491
12770 113 1.0361 -0.258 -0.0349
16130 127 1.0199 -0.087 -0.0195
17162 131 1.0196 -0.090 -0.0192
18770 137 1.0117 -0.033 -0.0116
19322 139 1.0130 -0.044 -0.0129
22202 149 1.0127 -0.045 -0.0126
22802 151 1.0169 -0.083 -0.0166
24650 157 1.0076 -0.018 -0.0075
26570 163 1.0077 -0.019 -0.0077
27890 167 1.0072 -0.018 -0.0072
29930 173 0.9999 0.000 0.0001
32042 179 1.0029 -0.003 -0.0028
32762 181 1.0044 -0.007 -0.0044
36482 191 1.0015 -0.001 -0.0015
37250 193 1.0045 -0.008 -0.0045
38810 197 1.0078 -0.026 -0.0078
39602 199 1.0044 -0.009 -0.0044
44522 211 0.9881 -0.071 0.0121
49730 223 0.9830 -0.152 0.0173
51530 227 0.9892 -0.063 0.0109
52442 229 0.9900 -0.055 0.0101
54290 233 0.9912 -0.044 0.0089
57122 239 0.9973 -0.004 0.0027
58082 241 0.9938 -0.023 0.0062
63002 251 0.9861 -0.123 0.0141
66050 257 0.9841 -0.169 0.0162
69170 263 0.9818 -0.229 0.0186
72362 269 0.9859 -0.141 0.0143
73442 271 0.9869 -0.125 0.0133
76730 277 0.9871 -0.125 0.0131
78962 281 0.9889 -0.093 0.0112
80090 283 0.9901 -0.078 0.0100
85850 293 0.9797 -0.345 0.0207
94250 307 0.9779 -0.431 0.0226
96722 311 0.9795 -0.374 0.0209
97970 313 0.9817 -0.304 0.0186
最小 —— 0.9779 -0.526 -0.1692
最大 —— 1.2037 0.000 0.0226

yangchuanju · 发表于 2021-10-29 09:46

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-10-29 09:50 编辑

校正前个区间哥猜数平均误差-9至20个，校正后平均误差-0.5至0个；
校正系数K在45000以前大于1，45000以后变得小于1了；对应的校正系数μ=1/K-1在45000以前为负值，45000以后变成正值。
本分析偶数取值范围为10万，随着偶数的增大，校正系数K会越来越小（相应的μ逐渐变大）；
在这方面，愚工688先生对大偶数做了精确计算和分析，认为当偶数达到10的11-12次方时，校正系数μ将变大到0.21左右，届时对应的校正系数K=1/（1+μ）约等于0.826。

尚若进行大偶数N哥猜数的估算，使用R1=N/4*∏(p-2)/p*∏(p-1)/(p-2)*0.826或者R2=N/2*∏(p-2)/p*∏(p-1)/(p-2)*0.826均可；
尚若进行哥猜证明，由于校正后仍有负偏差存在，在估算哥猜下限值时可使用r1=N/4*∏(p-2)/p*0.561或者R2=N/2*∏(p-2)/p*0.561；
估算式中的系数为梅滕斯系数0.56145948…，且不再出现波动因子∏(p-1)/(p-2)。

yangchuanju · 发表于 2021-10-30 07:13

yangchuanju 发表于 2021-10-29 09:45
10万内各素控区间偶数校正系数K及μ估算表
最小偶数偶数个数控制素数 ∏(p-2)/p 单哥猜平均数平均误 ...

10-16万间各素控区间偶数校正系数K及μ估算表
最小偶数偶数个数控制素数 ∏(p-2)/p 单哥猜平均数平均误差
100490 4536 317 0.0245 950.159 22.206
109562 2004 331 0.0243 996.884 29.602
113570 3420 337 0.0242 1035.139 34.877
120410 696 347 0.0240 1066.533 35.638
121802 1404 349 0.0239 1081.552 32.043
124610 2136 353 0.0238 1106.699 33.025
128882 2904 359 0.0236 1142.665 35.583
134690 2220 367 0.0235 1179.758 37.737
139130 2256 373 0.0234 1211.605 39.172
143642 1524 379 0.0232 1235.013 41.608
146690 2316 383 0.0231 1263.340 40.931
151322 3144 389 0.0230 1302.884 41.970
157610 1196 397 0.0229 1330.716 44.727

最小偶数控制素数校正系数K 校后平均误差 μ=1/K-1
100490 317 0.9766 -0.519 0.0239
109562 331 0.9703 -0.879 0.0306
113570 337 0.9663 -1.175 0.0349
120410 347 0.9666 -1.191 0.0346
121802 349 0.9704 -0.949 0.0305
124610 353 0.9702 -0.986 0.0308
128882 359 0.9689 -1.108 0.0321
134690 367 0.9680 -1.207 0.0330
139130 373 0.9677 -1.266 0.0334
143642 379 0.9663 -1.402 0.0349
146690 383 0.9676 -1.326 0.0335
151322 389 0.9678 -1.352 0.0333
157610 397 0.9664 -1.503 0.0348

愚工688 · 发表于 2021-10-30 16:46

yangchuanju 发表于 2021-10-29 01:46
校正前个区间哥猜数平均误差-9至20个，校正后平均误差-0.5至0个；
校正系数K在45000以前大于1，45000以后 ...

我从来没有说过“愚工688先生对大偶数做了精确计算和分析，认为当偶数达到10的11-12次方时，校正系数μ将变大到0.21左右”
我在前面的22楼、23楼的相对误差统计计算的帖子中谈到：
偶数在10万亿时的区域，相对误差的平均值μ大约在0.176附近；也就是10^13的偶数的相对误差统计的平均偏差值μ=0.176；
估计10^14的偶数的相对误差统计的平均偏差值μ会接近0.18附近，当然这么大的偶数的连乘式的计算目前是很困难的，这需要家用计算机的性能得到大幅的提高才行。
并且随着偶数的增大，平均偏差值μ相应也会增大，但是增大的速率会越来越缓慢；
在偶数M趋于无穷时，平均偏差值μ估计趋于0.20附近。这是依据变化趋势的经验估算值，因为人们是不可能计算到无穷大的偶数的。
当然连乘式与实际值的相对误差值也是不可能一直增大趋于1的，它必然是收敛的。

因此我在运用连乘式计算偶数素对的下界值时使用了相对误差的修正系数因子*（1/（1+μ））时取μ=0.21，则可以保证任意大于5的偶数的素对计算值不大于实际真值。

当然在一定范围内的偶数，计算它们的连乘式的相对误差时可以适当选择不同的修正系数因子（1/（1+μ））的μ值，以便使得计算值的计算精度更高一些。
比如：我使用μ=0.156989,计算450亿-550亿区间偶数的素对数量.计算值精度是不错的：
G(45000000000) = 143491160 ,Sp( 45000000000 *)≈ 143419976.1 ,Δ≈-0.00049609 ;
G(45000000002) = 55800008  ,Sp( 45000000002 *)≈  55782342.9 ,Δ≈-0.00031658 ;
G(45000000004) = 55209344  ,Sp( 45000000004 *)≈  55191427.1 ,Δ≈-0.00032453 ;
G(45000000006) = 117931247 ,Sp( 45000000006 *)≈ 117874583.4 ,Δ≈-0.00048048 ;
G(54900000000) = 175023755 ,Sp( 54900000000 *)≈ 175108272.9 ,Δ≈ 0.00048289 ;
G(54900000002) = 66773893  ,Sp( 54900000002 *)≈  66802270.3 ,Δ≈ 0.00042498 ;
G(54900000004) = 65129826  ,Sp( 54900000004 *)≈  65164735 ,Δ≈ 0.00053599 ;
G(54900000006) = 135227059 ,Sp( 54900000006 *)≈ 135291987.1 ,Δ≈ 0.00048014 ;
G(49999999980) = 189678539 ,Sp( 49999999980 *)≈ 189693584.9 ,Δ≈ 0.00007932 ;
G(49999999982) = 59246939  ,Sp( 49999999982 *)≈  59253152.9 ,Δ≈ 0.00010488 ;
G(49999999984) = 65830265  ,Sp( 49999999984 *)≈  65836836.6 ,Δ≈ 0.00009983 ;
G(49999999986) = 118502548 ,Sp( 49999999986 *)≈ 118506305.8 ,Δ≈ 0.00003171 ;
G(49999999988) = 59785070  ,Sp( 49999999988 *)≈  59786965.1 ,Δ≈ 0.00003170 ;
G(49999999990) = 84270627  ,Sp( 49999999990 *)≈  84281178.3 ,Δ≈ 0.00012521 ;
G(49999999992) = 120389499 ,Sp( 49999999992 *)≈ 120391260.9 ,Δ≈ 0.00001463 ;
G(49999999994) = 71496593  ,Sp( 49999999994 *)≈  71500942.2 ,Δ≈ 0.00006083 ;
G(49999999996) = 59247556  ,Sp( 49999999996 *)≈  59253152.9 ,Δ≈ 0.00009447 ;
G(49999999998) = 129296265 ,Sp( 49999999998 *)≈ 129298409.5 ,Δ≈ 0.00001659 ;
G(50000000000) = 79004202  ,Sp( 50000000000 *)≈  79004203.9 ,Δ≈ 0.000000024 ,
G(50000000002) = 59262284  ,Sp( 50000000002 *)≈  59256525.1 ,Δ≈-0.000097176 ,
G(50000000004) = 118490110 ,Sp( 50000000004 *)≈ 118506305.9 ,Δ≈ 0.000136686 ,
G(50000000006) = 68100948  ,Sp( 50000000006 *)≈  68107072.3 ,Δ≈ 0.000089930 ,
G(50000000008) = 71099519  ,Sp( 50000000008 *)≈  71103783.5 ,Δ≈ 0.000059979 ,
G(50000000010) = 157988586 ,Sp( 50000000010 *)≈ 158008407.8 ,Δ≈ 0.000125463 ,
G(50000000012) = 65732162  ,Sp( 50000000012 *)≈  65726186.5 ,Δ≈-0.000090908 ;
G(50000000014) = 61272843  ,Sp( 50000000014 *)≈  61271185 ,Δ≈-0.000027059 ;
G(50000000016) = 118510495 ,Sp( 50000000016 *)≈ 118516403.8 ,Δ≈ 0.000049859 ;
G(50000000018) = 59292853  ,Sp( 50000000018 *)≈  59290024.9 ,Δ≈-0.000047697 ;
G(50000000020) = 79010010  ,Sp( 50000000020 *)≈  79004203.9 ,Δ≈-0.000074386 ;

G(50000000022) = 142186907 ,Sp( 50000000022 *)≈ 142207567.1 ,Δ≈ 0.000145302 ;
G(50000000024) = 70921585  ,Sp( 50000000024 *)≈  70919098.4 ,Δ≈-0.000035061 ;
G(50000000026) = 59251942  ,Sp( 50000000026 *)≈  59253153 ,Δ≈ 0.000020438 ;
G(50000000028) = 137457486 ,Sp( 50000000028 *)≈ 137468511.3 ,Δ≈ 0.000080209 ;
G(50000000030) = 79532797  ,Sp( 50000000030 *)≈  79541647.5 ,Δ≈ 0.000111281 ;
G(50000000032) = 59282642  ,Sp( 50000000032 *)≈  59293820.9 ,Δ≈ 0.000188570 ;
G(50000000034) = 118500487 ,Sp( 50000000034 *)≈ 118506305.9 ,Δ≈ 0.000049104 ;
G(50000000036) = 74548291  ,Sp( 50000000036 *)≈  74548119.7 ,Δ≈-0.000002298 ;
G(50000000038) = 59294346 , Sp( 50000000038 *)≈  59296371.9 ,Δ≈ 0.000034167 ;
G(50000000040) = 159496823 ,Sp( 50000000040 *)≈ 159513249.9 ,Δ≈ 0.000102990 ;
G(50000000042) = 59239605 , Sp( 50000000042 *)≈  59253153 ,Δ≈ 0.000228698 ;
G(50000000044) = 59280620 , Sp( 50000000044 *)≈  59284924.1 ,Δ≈ 0.000072606 ;
G(50000000046) = 119778384 ,Sp( 50000000046 *)≈ 119786671 ,Δ≈ 0.000069186 ;
G(50000000048) = 59688934 , Sp( 50000000048 *)≈  59692065.2 ,Δ≈ 0.000052459 ;
G(50000000050) = 121667131 ,Sp( 50000000050 *)≈ 121677238 ,Δ≈ 0.000083071 ;
G(50000000052) = 122621259 ,Sp( 50000000052 *)≈ 122629183.7 ,Δ≈ 0.000064627 ;

yangchuanju · 发表于 2021-10-31 06:41

我在上楼发了一条点评：
我错误地引用了老师的误差修正系数，有可能误导网友。愚公老师及时给与指正，十分感激。请关系该课题的网友以愚公老师的修正系数为准。
内有两个错词：“给与”应为“给予”，“关系”应为“关心”。
改正后的点评应为：
我错误地引用了老师的误差修正系数，有可能误导网友。愚公老师及时给予指正，十分感激。请关心该课题的网友以愚公老师的修正系数为准。
特此更正！

yangchuanju · 发表于 2021-10-31 06:52

大傻8888888两点评：
“运用连乘式计算偶数素对的下界值时使用了相对误差的修正系数因子*（1/（1+μ））时取μ=0.21，则可以保证任意大于5的偶数的素对计算值不大于实际真值。”在偶数M趋于无穷时不成立。发表于 2021-10-30 22:20
根据梅腾斯定理和哈代—李公式，在偶数M趋于无穷时，虽然人们是不可能计算到无穷大的偶数的，也可以知道平均偏差值μ趋于0.2609附近。发表于 2021-10-30 22:18

大傻老师的修正值比愚公老师的修正值大不少，0.26>0.21；大傻的修正值在偶数趋近于无穷大时可能更趋近于真实值，谢谢大傻老师给出偶数趋近于无穷大时的哥猜数修正值。

yangchuanju · 发表于 2021-10-31 07:34

愚工688 发表于 2021-10-30 16:46
我从来没有说过“愚工688先生对大偶数做了精确计算和分析，认为当偶数达到10的11-12次方时，校正系数μ将 ...

减不减2的问题
计算某偶数2A的单记哥猜数时，愚公688采用计算公式是
(A-2)/[2(1+μ)]*π[(n-2)/n]*π[(k-1)/(k-2)] {式4}
（引自愚公《高精度计算大偶数表为两个素数和的表法数值的实例》文）

愚公688老师认为从“半偶数”中减去2就有效地排除了1+（2A-1）和（2A-1）+1这一对奇数对。
学生认为，采用双筛法求偶数2A的哥猜数时是能够排除1+（2A-1）和（2A-1）+1的；但变成连乘积计算式后并在2A较大时，减不减2对计算值影响甚微，排除不掉含1的奇数对。
既然对连乘积计算式还要乘上一个校正系数K=1/（1+μ）才能得到比较精确的哥猜数值，何不把1+（2A-1）和（2A-1）+1直接归并到校正系数中？
当然减不减2，会对校正系数K=1/（1+μ）略有影响。

lusishun · 发表于 2021-10-31 13:42

连乘积的由来，大家可介绍于此，供网友好好学习。

lusishun · 发表于 2021-10-31 14:43

有人提出概率计算的相对误差，这种说法，有没有自相矛盾啊，

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连乘积哥猜公式误差分析

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