数学神人——鲁思顺

yangchuanju

解不定方程x^41+y^43=z^47

仿程中战解法1得通式解是，
x=(a^2-b^2)^(2021k+1676)*(2ab)^(2021k+517)*(a^2+b^2)^(2021k+1849)
y=(a^2-b^2)^(1927k+1598)*(2ab)^(1927k+493)*(a^2+b^2)^(1927k+1763)
z=(a^2-b^2)^(1763k+1462)*(2ab)^(1763k+451)*(a^2+b^2)^(1763k+1613)
其中，三个参数a、b、k均为正整数，且a＞b。

x^41=(a^2-b^2)^(82861k+68716)*(2ab)^(82861k+21197)*(a^2+b^2)^(82861k+75809)
y^43=(a^2-b^2)^(82861k+68714)*(2ab)^(82861k+21199)*(a^2+b^2)^(82861k+75809)
z^47=(a^2-b^2)^(82861k+68714)*(2ab)^(82861k+21197)*(a^2+b^2)^(82861k+75811)

循环节的两部分指数求取——
先求带方次的循环节的循环部分，等于pqr=41*43*47=82861；
不循环部分的数值求取较困难，但根据中国剩余定理可求：
68716是41的倍数，比43,47的公倍数大2；68714是43,47的倍数；
21199是43的倍数，比41,47的公倍数大2；21197是41,47的倍数；
75811是47的倍数，比43,47的公倍数大2；75809是41,43的倍数。
再求不带方程的x,y,z的表达式，除一下各自的指数即可；
亦可将指数的不循环部分转换成负数。

yangchuanju

解不定方程x^41+y^47=z^43
仿程中战解法1得通式解是，
x=(a^2-b^2)^(2021k+1676)*(2ab)^(2021k+1849)*(a^2+b^2)^(2021k+517)
y=(a^2-b^2)^(1763k+1462)*(2ab)^(1763k+1613)*(a^2+b^2)^(1763k+451)
z=(a^2-b^2)^(1927k+1598)*(2ab)^(1927k+1763)*(a^2+b^2)^(1927k+493)
其中，三个参数a、b、k均为正整数，且a＞b。
x^41=(a^2-b^2)^(82861k+68716)*(2ab)^(82861k+75809)*(a^2+b^2)^(82861k+21197)
y^47=(a^2-b^2)^(82861k+68714)*(2ab)^(82861k+75811)*(a^2+b^2)^(82861k+21197)
z^43=(a^2-b^2)^(82861k+68714)*(2ab)^(82861k+75809)*(a^2+b^2)^(82861k+21199)

解不定方程x^47+y^43=z^41
仿程中战解法1得通式解是，
x=(a^2-b^2)^(2021k+1613)*(2ab)^(2021k+451)*(a^2+b^2)^(2021k+1462)
y=(a^2-b^2)^(1927k+1763)*(2ab)^(1927k+493)*(a^2+b^2)^(1927k+1598)
z=(a^2-b^2)^(1763k+1849)*(2ab)^(1763k+517)*(a^2+b^2)^(1763k+1676)
其中，三个参数a、b、k均为正整数，且a＞b。
x^47=(a^2-b^2)^(82861k+75811)*(2ab)^(82861k+21197)*(a^2+b^2)^(82861k+67814)
y^43=(a^2-b^2)^(82861k+75809)*(2ab)^(82861k+21199)*(a^2+b^2)^(82861k+67814)
z^41=(a^2-b^2)^(82861k+75809)*(2ab)^(82861k+21197)*(a^2+b^2)^(82861k+67816)

（注：解题时实际上是先求得后一部分带方次的。）

yangchuanju

程氏解法1是利用一组勾股数求解的：
(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=a^4-2a^2*b^2+b^4+4a^2*b^2=a^4+2a^2*b^2+b^4=(a^2+b^2)^2
解法2利用的是：
4a^3*b^3+(a^3-b^3)^2=4a^3*b^3+a^6-2a^3*b^3+b^6=a^6+2a^3*b^3+b^6=(a^3+b^3)^2
解法3利用的是：
(a^5-b^5)^2+4a^5*b^5=a^10-2a^5*b^5+b^10+4a^5*b^5=a^10+2a^5*b^5+b^10=(a^5+b^5)^2
解法4利用的是：
a+b=a+b

解法2和3，可能仅适用于x^3+y^5=z^r类型的不定方程组；
对于x^p+y^q=z^r类型的不定方程解法2和3可能要利用——
4*a^p*b^p+(a^p-b^p)^2=4a^p*b^p+a^2p-2a^p*b^p+b^2p= a^2p+2a^p*b^p+b^2p=(a^p+b^p)^2
和(a^q-b^q)^2+4a^q*b^q=(a^q+b^q)^2的等式关系。
解法1和解法4可能适用于各种素数指数。

yangchuanju

鲁思顺的拿手绝活                                                       
x^2+y^3=z^2                                                       
x=y=a^2-1,z=a*(a^2-1)                                                       
a        x        y        z        x^2        y^3        z^2        x^2+y^3-z^2
-5        24        24        -120        576        13824        14400        0
-4        15        15        -60        225        3375        3600        0
-3        8        8        -24        64        512        576        0
-2        3        3        -6        9        27        36        0
-1        0        0        0        0        0        0        0
0        -1        -1        0        1        -1        0        0
1        0        0        0        0        0        0        0
2        3        3        6        9        27        36        0
3        8        8        24        64        512        576        0
4        15        15        60        225        3375        3600        0
5        24        24        120        576        13824        14400        0

x^n+y^(n+1)=z^n                                                       
x=y=a^n-1,z=a*(a^n-1)                                                       
n=        3                                               
a        x        y        z        x^n        y^(n+1)        z^n        x^n+y^(n+1)-z^n
-5        -126        -126        630        -2000376        252047376        250047000        0
-4        -65        -65        260        -274625        17850625        17576000        0
-3        -28        -28        84        -21952        614656        592704        0
-2        -9        -9        18        -729        6561        5832        0
-1        -2        -2        2        -8        16        8        0
0        -1        -1        0        -1        1        0        0
1        0        0        0        0        0        0        0
2        7        7        14        343        2401        2744        0
3        26        26        78        17576        456976        474552        0
4        63        63        252        250047        15752961        16003008        0
5        124        124        620        1906624        236421376        238328000        0

n=        4                                               
a        x        y        z        x^n        y^(n+1)        z^n        x^n+y^(n+1)-z^n
-5        624        624        -3120        1.51614E+11        9.46069E+13        9.47585E+13        0
-4        255        255        -1020        4228250625        1.0782E+12        1.08243E+12        0
-3        80        80        -240        40960000        3276800000        3317760000        0
-2        15        15        -30        50625        759375        810000        0
-1        0        0        0        0        0        0        0
0        -1        -1        0        1        -1        0        0
1        0        0        0        0        0        0        0
2        15        15        30        50625        759375        810000        0
3        80        80        240        40960000        3276800000        3317760000        0
4        255        255        1020        4228250625        1.0782E+12        1.08243E+12        0
5        624        624        3120        1.51614E+11        9.46069E+13        9.47585E+13        0

n=        5                                               
a        x        y        z        x^n        y^(n+1)        z^n        x^n+y^(n+1)-z^n
-5        -3126        -3126        15630        -2.985E+17        9.33112E+20        9.32814E+20        0
-4        -1025        -1025        4100        -1.13141E+15        1.15969E+18        1.15856E+18        0
-3        -244        -244        732        -8.64867E+11        2.11027E+14        2.10163E+14        0
-2        -33        -33        66        -39135393        1291467969        1252332576        0
-1        -2        -2        2        -32        64        32        0
0        -1        -1        0        -1        1        0        0
1        0        0        0        0        0        0        0
2        31        31        62        28629151        887503681        916132832        0
3        242        242        726        8.29998E+11        2.00859E+14        2.01689E+14        0
4        1023        1023        4092        1.12041E+15        1.14618E+18        1.1473E+18        0
5        3124        3124        15620        2.97547E+17        9.29536E+20        9.29833E+20        0

yangchuanju

鲁思顺每每拿出他的这一套“绝活”进行炫耀，给出一些稀奇古怪的大整数n，抛在本论坛上，要网友给出它们的整数解，又有多少人理会哪！
在求不定方程x^n+y^(n+1)=z^n的整数解时没有限定a必须是大于等于2的正整数的必要吧？
a等于1，0，-1，-2，……也都有整数解呀！

yangchuanju

x^(n+1)+y^n=z^(n+1)型不定方程整数解剖析
x^3+y^2=z^3
2^2=4=3*1+1
由u^3+v^4=w^3得
u=v=a^3-1,w=a*(a^3-1)
x=u^1=(a^3-1)^1,y=v^2=(a^3-1)^2,z=w^1=[a^(a^3-1)]^1
a        u,v        w        x        y        z        x^3        y^2        z^3        x^3+y^2-z^3
-5        -126        630        -126        15876        630        -2000376        252047376        250047000        0
-4        -65        260        -65        4225        260        -274625        17850625        17576000        0
-3        -28        84        -28        784        84        -21952        614656        592704        0
-2        -9        18        -9        81        18        -729        6561        5832        0
-1        -2        2        -2        4        2        -8        16        8        0
0        -1        0        -1        1        0        -1        1        0        0
1        0        0        0        0        0        0        0        0        0
2        7        14        7        49        14        343        2401        2744        0
3        26        78        26        676        78        17576        456976        474552        0
4        63        252        63        3969        252        250047        15752961        16003008        0
5        124        620        124        15376        620        1906624        236421376        238328000        0

x^4+y^3=z^4
3^2=9=4*2+1
由u^8+v^9=w^8得
u=v=a^8-1,w=a*(a^8-1)
x=u^2=(a^8-1)^2,y=v^3=(a^8-1)^3,z=w^2=[a^(a^8-1)]^2
a        u,v        w        x        y        z        x^4        y^3        z^4        x^4+y^3-z^4
-5        390624        -1953120        1.52587E+11        5.96042E+16        3.81468E+12        5.4209E+44        2.11753E+50        2.11754E+50        0
-4        65535        -262140        4294836225        2.81462E+14        68717379600        3.40241E+38        2.22977E+43        2.2298E+43        0
-3        6560        -19680        43033600        2.823E+11        387302400        3.4295E+30        2.24975E+34        2.25009E+34        0
-2        255        -510        65025        16581375        260100        1.78781E+19        4.55892E+21        4.57679E+21        0
-1        0        0        0        0        0        0        0        0        0
0        -1        0        1        -1        0        1        -1        0        0
1        0        0        0        0        0        0        0        0        0
2        255        510        65025        16581375        260100        1.78781E+19        4.55892E+21        4.57679E+21        0
3        6560        19680        43033600        2.823E+11        387302400        3.4295E+30        2.24975E+34        2.25009E+34        0
4        65535        262140        4294836225        2.81462E+14        68717379600        3.40241E+38        2.22977E+43        2.2298E+43        0
5        390624        1953120        1.52587E+11        5.96042E+16        3.81468E+12        5.4209E+44        2.11753E+50        2.11754E+50        0
6        1679615        10077690        2.82111E+12        4.73837E+18        1.0156E+14        6.334E+49        1.06387E+56        1.06387E+56        0
7        5764800        40353600        3.32329E+13        1.91581E+20        1.62841E+15        1.21976E+54        7.03167E+60        7.03167E+60        0
8        16777215        134217720        2.81475E+14        4.72237E+21        1.80144E+16        6.2771E+57        1.05312E+65        1.05312E+65        0
9        43046720        387420480        1.85302E+15        7.97664E+22        1.50095E+17        1.17902E+61        5.07529E+68        5.07529E+68        0
10        99999999        999999990        1E+16        1E+24        1E+18        1E+64        1E+72        1E+72        0

yangchuanju

x^(n+1)+y^n=z^(n+1)                                                                       
n^2=(n+1)*(n-1)+1                                                                       
由u^(n^2-1)+v^(n^2)=w^(n^2-1)得                                                                       
u=v=a^(n^2-1)-1,w=a*[a^(n^2-1)-1]                                                                       
x=u^(n-1)=[a^(n^2-1)-1]^(n-1),y=v^n=[a^(n^2-1)-1]^n,z=w^(n-1)={a^[a^(n^2-1)-1]}^(n-1)                                                                       
n=        4                                                               
a        u,v        w        x        y        z        x^(n+1)        y^n        z^(n+1)        x^(n+1)+y^n-z^(n+1)
-5        -30517578126        1.52588E+11        -2.84217E+31        8.67362E+41        3.55271E+33        -1.8546E+157        5.6598E+167        5.6598E+167        0
-4        -1073741825        4294967300        -1.23794E+27        1.32923E+36        7.92282E+28        -2.9074E+135        3.1217E+144        3.1217E+144        0
-3        -14348908        43046724        -2.95431E+21        4.23912E+28        7.97665E+22        -2.2505E+107        3.2292E+114        3.2292E+114        0
-2        -32769        65538        -3.51876E+13        1.15306E+18        2.81501E+14        -5.39446E+67        1.76771E+72        1.76766E+72        0
-1        -2        2        -8        16        8        -32768        65536        32768        0
0        -1        0        -1        1        0        -1        1        0        0
1        0        0        0        0        0        0        0        0        0
2        32767        65534        3.51812E+13        1.15278E+18        2.81449E+14        5.38952E+67        1.76598E+72        1.76604E+72        0
3        14348906        43046718        2.95431E+21        4.23911E+28        7.97664E+22        2.2505E+107        3.2292E+114        3.2292E+114        0
4        1073741823        4294967292        1.23794E+27        1.32923E+36        7.92282E+28        2.9074E+135        3.1217E+144        3.1217E+144        0
5        30517578124        1.52588E+11        2.84217E+31        8.67362E+41        3.55271E+33        1.8546E+157        5.6598E+167        5.6598E+167        0
6        4.70185E+11        2.82111E+12        1.03946E+35        4.88737E+46        2.24523E+37        1.2135E+175        5.7056E+186        5.7056E+186        0
7        4.74756E+12        3.32329E+13        1.07007E+38        5.08022E+50        3.67034E+40        1.403E+190        6.6608E+202        6.6608E+202        0
8        3.51844E+13        2.81475E+14        4.35561E+40        1.5325E+54        2.23007E+43        1.5676E+203        5.5157E+216        5.5157E+216        0
9        2.05891E+14        1.85302E+15        8.72796E+42        1.79701E+57        6.36269E+45        5.0648E+214        1.0428E+229        1.0428E+229        0
10        1E+15        1E+16        1E+45        1E+60        1E+48        1E+225        1E+240        1E+240        0

yangchuanju

随着a和n的增大，整数解x，y，z的数值到迅速增大，没法再用常规数字表示！
在求不定方程x^(n+1)+y^n=z^(n+1)的整数解时也没有限定a必须是大于等于2的正整数的必要；
a等于1，0，-1，-2，……也都有整数解呀！

yangchuanju

为清晰，对剖析贴重发不带验算的各列数据——                                       
x^(n+1)+y^n=z^(n+1)型不定方程整数解剖析                                       
x^3+y^2=z^3                                       
2^2=4=3*1+1                                       
由u^3+v^4=w^3得                                       
u=v=a^3-1,w=a*(a^3-1)                                       
x=u^1=(a^3-1)^1,y=v^2=(a^3-1)^2,z=w^1=[a^(a^3-1)]^1                                       
a        u,v        w        x        y        z
-5        -126        630        -126        15876        630
-4        -65        260        -65        4225        260
-3        -28        84        -28        784        84
-2        -9        18        -9        81        18
-1        -2        2        -2        4        2
0        -1        0        -1        1        0
1        0        0        0        0        0
2        7        14        7        49        14
3        26        78        26        676        78
4        63        252        63        3969        252
5        124        620        124        15376        620
                                       
x^4+y^3=z^4                                       
3^2=9=4*2+1                                       
由u^8+v^9=w^8得                                       
u=v=a^8-1,w=a*(a^8-1)                                       
x=u^2=(a^8-1)^2,y=v^3=(a^8-1)^3,z=w^2=[a^(a^8-1)]^2                                       
a        u,v        w        x        y        z
-5        390624        -1953120        1.52587E+11        5.96042E+16        3.81468E+12
-4        65535        -262140        4294836225        2.81462E+14        68717379600
-3        6560        -19680        43033600        2.823E+11        387302400
-2        255        -510        65025        16581375        260100
-1        0        0        0        0        0
0        -1        0        1        -1        0
1        0        0        0        0        0
2        255        510        65025        16581375        260100
3        6560        19680        43033600        2.823E+11        387302400
4        65535        262140        4294836225        2.81462E+14        68717379600
5        390624        1953120        1.52587E+11        5.96042E+16        3.81468E+12
6        1679615        10077690        2.82111E+12        4.73837E+18        1.0156E+14
7        5764800        40353600        3.32329E+13        1.91581E+20        1.62841E+15
8        16777215        134217720        2.81475E+14        4.72237E+21        1.80144E+16
9        43046720        387420480        1.85302E+15        7.97664E+22        1.50095E+17
10        99999999        999999990        1E+16        1E+24        1E+18
                                       
x^(n+1)+y^n=z^(n+1)                                       
n^2=(n+1)*(n-1)+1                                       
由u^(n^2-1)+v^(n^2)=w^(n^2-1)得                                       
u=v=a^(n^2-1)-1,w=a*[a^(n^2-1)-1]                                       
x=u^(n-1)=[a^(n^2-1)-1]^(n-1),y=v^n=[a^(n^2-1)-1]^n,z=w^(n-1)={a^[a^(n^2-1)-1]}^(n-1)                                       
n=        4                               
a        u,v        w        x        y        z
-5        -30517578126        1.52588E+11        -2.84217E+31        8.67362E+41        3.55271E+33
-4        -1073741825        4294967300        -1.23794E+27        1.32923E+36        7.92282E+28
-3        -14348908        43046724        -2.95431E+21        4.23912E+28        7.97665E+22
-2        -32769        65538        -3.51876E+13        1.15306E+18        2.81501E+14
-1        -2        2        -8        16        8
0        -1        0        -1        1        0
1        0        0        0        0        0
2        32767        65534        3.51812E+13        1.15278E+18        2.81449E+14
3        14348906        43046718        2.95431E+21        4.23911E+28        7.97664E+22
4        1073741823        4294967292        1.23794E+27        1.32923E+36        7.92282E+28
5        30517578124        1.52588E+11        2.84217E+31        8.67362E+41        3.55271E+33
6        4.70185E+11        2.82111E+12        1.03946E+35        4.88737E+46        2.24523E+37
7        4.74756E+12        3.32329E+13        1.07007E+38        5.08022E+50        3.67034E+40
8        3.51844E+13        2.81475E+14        4.35561E+40        1.5325E+54        2.23007E+43
9        2.05891E+14        1.85302E+15        8.72796E+42        1.79701E+57        6.36269E+45
10        1E+15        1E+16        1E+45        1E+60        1E+48

lusishun

yangchuanju 发表于 2025-2-8 23:38
鲁思顺每每拿出他的这一套“绝活”进行炫耀，给出一些稀奇古怪的大整数n，抛在本论坛上，要网友给出它们的 ...

不是炫耀，是高兴，是兴奋，是热爱，是惊讶，稀奇，让你爱不释手，神魂颠倒，放不下，让你嫉妒，这就是神奇的魅力，哈哈，这题目的魅力将到永远。