我对“抛球悖论”的看法

门外汉

下面引用由ygq的马甲在 2011/04/04 08:58am 发表的内容：
当1分钟时，小球的位置究竟在哪里？
【演绎】，是不会超出【前提】的。懂不懂？？？

你给的“前提”究竟是什么？
[DISABLELBCODE]

elimqiu

下面引用由门外汉在 2011/04/04 07:46am 发表的内容：
陆教授的这句话：“当时间趋于1时，小球从一处抛到另一处所用的时间间隔趋于0”是很正确的。
但是按照抛球悖论中的题设，是问：当时间为1时，小球的位置在哪里？
所以这里面便已经将“时间趋于1”变成了“时间等于1”（或者说是时间达到了1），既然时间已经达到了极限1，那么按照题设，小球从一处抛到另外一处所用的时间间隔也就达到了极限0.
如果这一点可以确认无误的话，那么我接下来再来解释：当1分钟时，小球的位置究竟在哪里？

题设是题设，题问是题问。两者不要混淆。时间趋于1 是没有理由‘变成’时间等于1 的。
问题的实质在于题设的运动是否可以逻辑地延拓到时刻1？ 回答是，如果运动位置在时间趋于1的情况下有极限，那么我们就可以建立一种延拓，而这种延拓是自洽的（直觉地说就是有我们的经验所期待的连续性）。如果运动没有这样的极限，那么延拓就只能是任意的。没有经验基础的。说小球那时在任何地方是同样的无根据。

门外汉

[这个贴子最后由门外汉在 2011/04/04 11:09am 第 1 次编辑]

（1）我与陆教授暂时还并没有讨论小球的“位置”问题，而是讨论小球的“时间间隔”问题。
（2）：如果时间趋于1不能变成时间等于1，那么如果时间是这么个走法：{1/2，3/4，7/8，15/16……}，是不是时间只能无限的趋近于1，而永远也不能到达1？
请看一看我与陆教授先前讨论得出来的结果是什么？[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 门外汉 在 时添加 -=-=-=-=-
我已经说过了：请elimqiu老师不要再用常规的数学方法了，那样得出来的结果只能是“不知道”，难道这就是解决抛球悖论的答案吗？
换一种思维方法才能想得更明白一些。

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2011/04/04 04:45pm 第 2 次编辑]

您们是不是谈到了这个份上没有关系。我把我的观点说了。
时间间隔趋于0.这是很平常的计算。于原题问有什么用？ 这个极限在任何意义上都与时刻1没有关系。您连怎么定义和论证在时刻1从A到B所需的时间都不可能合理地得到。没有了必要的连续性。把那个极限强加给时刻1是没有逻辑根据的。
非正常方法如果合理，是不会和正常方法矛盾的。所以如果正常算法证明原题无解，那么用任何方法原题就都不可能有合理的解。除非您把原题改了，或者修改‘位置’等等的定义。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/04/05 06:25am 第 2 次编辑]

在数学中，“趋于”和“等于”是有区别的。
例如，我们可以说：“当 t 趋于 1 时，v=1/(1-t) 趋于无穷大”；
但是，我们不可以说：“当 t 等于 1 时，v=1/(1-t) 等于无穷大”。
因为，在数学中规定：0 不能作分母，如果 t=1 ，则会有 v=1/(1-t)=1/0 ，
v 的分母会等于 0 ，这是违反数学中的规定的。
同时，标准数学中还规定：无穷大只是代表一种趋势，并不是一个具体的数。
所以，说“v=1/(1-t) 等于无穷大”，也是违反数学中的规定的。

当然，有时候“趋于”和“等于”是可以互换的。

例如，我们可以说：“当 t 趋于 0 时，f(t)=1/2^t 趋于 1 。”
我们也可以说：“当 t 等于 0 时，f(t)=1/2^t 等于 1 。”
因为 f(t)=1/2^t 是 t 的连续函数，所以当 t 趋于 0 时 f(t)=1/2^t 的极限值，
就等于当 t=0 时 f(t)=1/2^t 的函数值 f(0)=1/2^0=1/1=1 。

一般来说，如果 t 趋于一个具体的数 a（ a 不是无穷大），而且当 t 趋于 a 时，
f(t) 的极限存在，而且就等于 f(a)（ f(a) 也不是无穷大），那么，这时“趋于”
和“等于”是等价的。这时，我们可以说：“当 t 趋于 a 时，f(t) 趋于 f(a)”；
我们也可以说：“当 t 等于 a 时，f(t) 等于 f(a)”。

但是，如果不符合上述规定，例如 t 的极限值或 f(t) 的极限值为无穷大，或者
当 t→a 时，f(t) 的极限不存在，那么，“趋于”和“等于”就不是等价的了。

ygq的马甲

给人的【感觉】是，那个 ID（门外汉），并不知道：数学语言是有【规范】的
“相容性ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ”什么的，更不懂了

门外汉

下面引用由luyuanhong在 2011/04/04 10:22pm 发表的内容：
一般来说，如果 t 趋于一个具体的数 a（ a 不是无穷大），而且当 t 趋于 a 时，
f(t) 的极限存在，而且就等于 f(a)（ f(a) 也不是无穷大），那么，这时“趋于”
和“等于”是等价的。这时，我们可以说：“当 t 趋于 a 时，f(t) 趋于 f(a)”；
我们也可以说：“当 t 等于 a 时，f(t) 等于 f(a)”。

陆教授上面的那句话说得非常的好。
再来看一下这个例子：在0秒时，小球的位置在坐标1处，当1/2秒时，小球的位置在1/2处，当3/4秒时，小球的位置在1/4处，当7/8秒时，小球的位置在1/8处……当1秒时，小球的位置在坐标0处。
上面的总结起来就是：（1）：当时间无限趋近于1时，小球的位置无限趋近于0。（2）：当时间等于0时，小球的位置等于0.
这也就是陆教授所说的：“如果 t 趋于一个具体的数 a（ a 不是无穷大），而且当 t 趋于 a 时，f(t) 的极限存在，而且就等于 f(a)（ f(a) 也不是无穷大），那么，这时“趋于”和“等于”是等价的

ygq的马甲

下面引用由luyuanhong在 2011/04/04 10:22pm 发表的内容：
在数学中，“趋于”和“等于”是有区别的。
例如，我们可以说：“当 t 趋于 1 时，v=1/(1-t) 趋于无穷大”；
但是，我们不可以说：“当 t 等于 1 时，v=1/(1-t) 等于无穷大”。
因为，在数学中规定：0 不能作分　...

从逻辑上来说，“趋于”是潜无穷范围的，“等于”是实无穷范围。
等价的说法，会导致一些人误解的，例如那个 ID（门外汉）

门外汉

下面引用由ygq的马甲在 2011/04/05 08:30am 发表的内容：
从逻辑上来说，“趋于”是潜无穷范围的，“等于”是实无穷范围。
等价的说法，会导致一些人误解的，例如那个 ID（门外汉）

你将实无穷和潜无穷做严格的区分了，潜无穷就是潜无穷，实无穷就是实无穷。
可是我记得一位留美博士说过这样的一句话：“实无穷就是潜无穷，潜无穷就是实无穷，二者没有什么分别”。
可见数学上对于这个问题，那是混乱得像一锅糊涂粥。

ygq的马甲

下面引用由门外汉在 2011/04/05 10:17am 发表的内容：
你将实无穷和潜无穷做严格的区分了，潜无穷就是潜无穷，实无穷就是实无穷。
可是我记得一位留美博士说过这样的一句话：“实无穷就是潜无穷，潜无穷就是实无穷，二者没有什么分别”。
可见数学上对于这个问题，那 ...

实无穷，是康托尔集合论所研究的那种无穷，是【特征】是都可以用“等号 ＝”
潜无穷，是极限理论所研究的那种无穷