[原创]k生素数群的数量公式

白新岭

最密素数式只能出现在相同总跨度大的k个素数式中，不会出现在小的k个素数式中，例如跨度为750的，在至29的素数式中，连续128个素数式为750的总间距中，不存在最密128生素数式；连续129个素数式跨度为750的，和连续130个素数式跨度为750的，和连续131个素数式跨度为750的，和连续132个素数式跨度为750的，小的k值跨度为750的应该也有，不知在至29的素数式中，跨度为750的，最小k值是几，这是相邻素数式最疏方面的问题（中间不能出现其他素数）。最疏是相对的，最密是绝对的（但是在素数式中仍然有相对性），这也是我给出最密k生素数式错误的原因，因为无法把素数式扩到很大，而相对小的周期内又不出现大k值得最密素数式。

yangchuanju

2-305生最密素数宽度及种类数（宽度=跨距+1）
最密生数        宽度        种数        最密生数        宽度        种数
2        3        1        78        423        8
3        7        2        79        427        2
4        9        1        80        433        14
5        13        2        81        439        14
6        17        1        82        447        16
7        21        2        83        451        4
8        27        3        84        453        2
9        31        4        85        463        2
10        33        2        86        471        60
11        37        2        87        477        50
12        43        2        88        483        2
13        49        6        89        487        2
14        51        2        90        495        2
15        57        4        91        505        16
16        61        2        92        507        2
17        67        4        93        513        18
18        71        2        94        517        12
19        77        4        95        519        4
20        81        2        96        531        4
21        85        2        97        537        4
22        91        4        98        547        4
23        95        2        99        553        4
24        101        4        100        559        4
25        111        18        101        573        32
26        115        2        102        577        8
27        121        8        103        579        2
28        127        10        104        591        46
29        131        2        105        601        486
30        137        2        106        603        50
31        141        2        107        607        18
32        147        4        108        613        24
33        153        14        109        617        2
34        157        20        110        629        6
35        159        2        111        635        2
36        163        2        112        641        4
37        169        2        113        647        4
38        177        6        114        655        10
39        183        26        115        657        2
40        187        26        116        663        4
41        189        8        117        673        2
42        197        2        118        681        4
43        201        6        119        687        2
44        211        18        120        693        2
45        213        4        121        703        2
46        217        4        122        709        4
47        227        4        123        715        2
48        237        2        124        723        2
49        241        2        125        733        16
50        247        22        126        741        26
51        253        22        127        747        28
52        255        2        128        751        6
53        265        2        129        761        6
54        271        26        130        769        2
55        273        6        131        775        16
56        279        6        132        781        30
57        283        2        133        785        6
58        289        2        134        795        2
59        301        4        135        805        22
60        305        2        136        809        4
61        311        2        137        813        20
62        321        6        138        817        18
63        325        2        139        819        8
64        331        2        140        829        6
65        337        2        141        841        12
66        343        2        142        843        6
67        351        18        143        849        6
68        357        2        144        857        24
69        367        20        145        865        12
70        371        2        146        873        2
71        379        2        147        879        34
72        385        2        148        883        18
73        391        10        149        893        18
74        393        2        150        903        22
75        399        14        151        909        12
76        411        14        152        913        10
77        421        40        153        927        4

yangchuanju

最密生数        宽度        种数        最密生数        宽度        种数
154        931        8        230        1477        2
155        935        4        231        1483        8
156        947        10        232        1487        2
157        953        2        233        1495        2
158        961        2        234        1509        4
159        971        22        235        1513        2
160        975        20        236        1523        2
161        987        38        237        1531        2
162        991        14        238        1537        4
163        999        6        239        1553        14
164        1003        6        240        1561        114
165        1013        2        241        1565        20
166        1023        20        242        1571        12
167        1027        2        243        1581        2
168        1033        4        244        1591        16
169        1037        2        245        1597        6
170        1045        2        246        1605        12
171        1051        2        247        1611        8
172        1059        6        248        1621        6
173        1067        6        249        1631        12
174        1071        6        250        1637        10
175        1075        6        251        1645        10
176        1083        14        252        1651        6
177        1087        14        253        1657        24
178        1105        6        254        1667        72
179        1111        6        255        1673        46
180        1121        4        256        1681        152
181        1125        6        257        1687        92
182        1131        6        258        1693        46
183        1143        8        259        1701        92
184        1147        4        260        1707        46
185        1151        2        261        1717        88
186        1163        2        262        1721        6
187        1169        2        263        1729        20
188        1177        24        264        1737        10
189        1183        6        265        1747        12
190        1189        4        266        1753        50
191        1195        8        267        1761        38
192        1201        12        268        1765        12
193        1205        4        269        1773        68
194        1211        4        270        1783        96
195        1219        4        271        1791        50
196        1231        26        272        1797        4
197        1239        408        273        1803        4
198        1259        24        274        1813        44
199        1263        16        275        1823        28
200        1267        8        276        1827        4
201        1275        14        277        1837        32
202        1281        8        278        1843        56
203        1291        8        279        1849        24
204        1303        30        280        1855        8
205        1309        2        281        1863        8
206        1317        108        282        1871        12
207        1321        88        283        1877        12
208        1329        4        284        1883        12
209        1333        2        285        1891        20
210        1339        4        286        1895        8
211        1345        6        287        1901        8
212        1351        10        288        1915        8
213        1353        2        289        1921        8
214        1359        2        290        1927        8
215        1365        4        291        1933        16
216        1371        4        292        1941        16
217        1375        2        293        1945        16
218        1381        2        294        1963        8
219        1387        2        295        1967        2
220        1393        2        296        1981        58
221        1405        8        297        1987        34
222        1413        10        298        1993        98
223        1417        8        299        2001        80
224        1433        8        300        2011        258
225        1441        4        301        2017        24
226        1449        4        302        2023        158
227        1457        20        303        2027        6
228        1463        16        304        2035        6
229        1471        12        305        2047        20
数据根据网络资料整理。                       

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2019-10-30 19:23
2-305生最密素数宽度及种类数（宽度=跨距+1）
最密生数        宽度        种数        最密生数        宽度        种数
2        3        1        78        423        8

网页A083409中的数字如此，照抄的！105生最密素数群有486种，不足为奇，还有更多的。

2—672生最密素数群的宽度w、种数vars、偏差k-p(w)请看网页
opertech.com/primes/k-tuples.html
下部的表格。（因权限限制，网址中的超链接和“3w点”及以前的部分删除了）

要查看5000生以内某生素数的结构（仅给出了一种），请打开表头中的链接。
要查看50、100、150、200、447生最密素数的全部结构，请打开网页中部的链接。

要查看4705生以内某生最密素数的结构（仅给出了一种），最好打开网页
opertech.com/primes/webdata/
中给出的相关索引。

请注意，两个网页中的数据不完全一致，2—4705生数据已定型，4706生以后数据在随时更新中。

yangchuanju

素数密度最大区域在哪？
一般认为，在自然数的前部素数密度最大，随着自然数的增大素数越来越少。这是正确无疑的。
然而由于素数分布的极不均匀，在自然数增大到某个数值时，尚有某些区间的素数密度超过自然数的前部。
30以内共10个素数，最密8/9生素数跨距26/30，素数密度小于30以内的素数密度；
210以内有46个素数，最密43/44生素数跨距200/210，素数密度小于210以内的素数密度；
2310以内有343个素数，最密339/340生素数跨距2300/2310，素数密度小于2310以内的素数密度；……
外国学者研究了不同区间内素数个数和可能出现的最密k生素数群的差值k-π(w)，式中w表示k生素数群的宽度，w等于跨距加1。
但当k=447，w=3159时k-π(w)=1，即1-3159之间有446个素数，而宽度为3159的某区间确会出现447个素数。
当k=459，w=3241时k-π(w)=2，即1-3241之间有457个素数，而宽度为3241的某区间确会出现459个素数。……
当k=4484，w=41465时k-π(w)=148，即1-41465之间有4336个素数，而宽度为41465的某区间确会出现4484个素数。
k-(w)        width        k
1        3159        447
2        3241        459
3        3243        460
4        4589        624
5        4875        657
6        4899        660
7        5365        715
8        5371        716
9        6541        853
10        6647        866
……        ……        ……
+145 *        40421        4381
+146 *        41105        4446
+147 *        41439        4481
+148 *        41465        4484

yangchuanju

白新岭先生经过大量计算，给出了不同区间中102生以内素数群的分布表，其中最密20、30、40……100生素数分布出现在10的28、48、69……209次方以后，k值增大1，数字的指数平均增大2.2625，指数y对k的回归式是y=0.7012*k^1.2386。
K        10的指数
20        28
30        48
40        69
50        89
60        113
70        135
80        159
90        183
100        209
102        213
100生素数最早出现在10的209次方中，若白新岭先生估算正确，则447生素数要出现在10的1344次方中，即在10^1344以后便有若干个宽度等于3159的区间的素数密度超过1-3159之间的素数密度；……4484生素数将出现在10的23377次方中，即在10^23377以后便有若干个宽度等于41465的区间的素数个数比1-41465之间的素数个数4336还要多148个。

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2019-10-31 09:19
白新岭先生经过大量计算，给出了不同区间中102生以内素数群的分布表，其中最密20、30、40……100生素数分布 ...

2—672生最密素数群的宽度w、种数vars、偏差k-p(w)请看网页
opertech.com/primes/k-tuples.html
下部的表格。（因权限限制，网址中的超链接和“3w点”及以前的部分删除了）

要查看5000生以内某生素数的结构（仅给出了一种），请打开表头中的链接。
要查看50、100、150、200、447生最密素数的全部结构，请打开网页中部的链接。

要查看4705生以内某生最密素数的结构（仅给出了一种），最好打开网页
opertech.com/primes/webdata/
中给出的相关索引。

请注意，两个网页中的数据不完全一致，2—4705生数据已定型，4706生以后数据在随时更新中。

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2019-10-31 13:46
2—672生最密素数群的宽度w、种数vars、偏差k-p(w)请看网页
opertech.com/primes/k-tuples.html
下部 ...

请白新岭老师给各种k生素数表达式起个中文名

K生素数（不一定是最密的）有多种表达式。
现以一组9生素数88789，88793，88799，88801，88807，88811，88813，88817，88819为例，这是由9个连续素数表示的。
（一）9个素数都减去首素数得：0,4,10,12,18,22,24,28,30；这是用跨度表示的。
（二）9个素数之间的差是：0,4,6,2,6,4,2,4,2；这是用邻距表示的。
（三）9个素数分别取模60的余数得：19,23,29,31,37,41,43,47,49；这是用余数表示的。
（四）9个素数都减去首素数再加1得：1,5,11,13,19,23,25,29,31；这是用宽度表示的。
（五）对第（四）种表达式的9个数字分别取模2、模3、模5、模7的余数，其中模2的余数缺0，模3的余数缺0，模5的余数缺2，模7的余数缺0，便将该种9生素数称为0,0,2,0型。
白新岭老师在其博客中先后给出用（一）和（二）两种形式表示的多种k生素数，但都用了“**生素数式”表示，显然不太妥当，如何称呼为好，请白老师权衡。
在第（三）种形式的表达式中，所有余数都是与30互素的数，共8种类型，比较直观；在第（四）种形式的表达式中，所有宽度值都是与6互素的数，各个宽度数字都比（一）中的数字大1；也请白老师给起个中文名字。

白新岭

素数式130        素数式130        素数式130        素数式130
0        0        0        0
2        6        2        6
4        6        6        12
2        2        8        14
12        6        20        20
6        4        26        24
4        2        30        26
6        6        36        32
6        12        42        44
6        10        48        54
2        8        50        62
16        4        66        66
2        6        68        72
4        2        72        74
6        6        78        80
8        6        86        86
6        10        92        96
4        6        96        102
2        8        98        110
10        4        108        114
2        2        110        116
10        16        120        132
2        12        122        144
4        6        126        150
6        2        132        152
6        4        138        156
2        8        140        164
6        10        146        174
6        6        152        180
4        2        156        182
6        12        162        194
8        6        170        200
6        6        176        206
4        4        180        210
8        2        188        212
4        4        192        216
6        6        198        222
8        8        206        230
4        4        210        234
2        6        212        240
6        2        218        242
4        10        222        252
14        2        236        254
4        10        240        264
8        2        248        266
4        4        252        270
6        2        258        272
8        10        266        282
10        2        276        284
2        6        278        290
12        6        290        296
6        4        296        300
4        6        300        306
2        8        302        314
4        12        306        326
2        6        308        332
22        4        330        336
2        6        332        342
4        14        336        356
2        4        338        360
4        6        342        366
18        8        360        374
2        10        362        384
10        8        372        392
6        10        378        402
2        2        380        404
10        6        390        410
8        10        398        420
10        2        408        422
8        18        416        440
6        4        422        444
4        2        426        446
14        4        440        450
6        2        446        452
4        22        450        474
6        2        456        476
12        4        468        480
8        2        476        482
6        4        482        486
4        6        486        492
6        12        492        504
6        2        498        506
2        10        500        516
10        8        510        524
2        6        512        530
4        4        516        534
2        8        518        542
10        4        528        546
2        14        530        560
10        4        540        564
2        6        542        570
6        2        548        572
4        4        552        576
8        8        560        584
6        6        566        590
4        4        570        594
2        8        572        602
4        4        576        606
6        6        582        612
6        8        588        620
12        6        600        626
2        4        602        630
6        6        608        636
10        6        618        642
8        2        626        644
4        6        630        650
2        6        632        656
6        4        638        660
12        2        650        662
16        10        666        672
2        2        668        674
4        10        672        684
8        2        680        686
6        4        686        690
10        6        696        696
6        8        702        704
6        6        708        710
2        4        710        714
6        2        716        716
4        16        720        732
8        2        728        734
10        6        738        740
12        6        750        746
6        6        756        752
2        4        758        756
4        6        762        762
6        12        768        774
2        2        770        776
6        4        776        780
6        2        782        782
782        782        49874        51786
有yangchuanju先生提供的数据可知，我现在给出的k生素数式仅仅是相邻k生素数，并不能保证是最密k生素数，在小的素数式范围内无法找到大点的最密k生素数式，因为最密k生素数与最密k+1生素数式的总间距（总跨度）是有连带关系的，只有找到低一阶的最密k生素数式，才能判断出高一阶的最密k生素数式，如果前一个错误了，以后所有的都会错误，这就是连带关系（不是关联关系），也就是说，带有递推性质。

白新岭

素数式131        素数式131        素数式131        素数式131
0        0        0        0
2        4        2        4
4        6        6        10
2        6        8        16
12        2        20        18
6        6        26        24
4        4        30        28
6        2        36        30
6        6        42        36
6        12        48        48
2        10        50        58
16        8        66        66
2        4        68        70
4        6        72        76
6        2        78        78
8        6        86        84
6        6        92        90
4        10        96        100
2        6        98        106
10        8        108        114
2        4        110        118
10        2        120        120
2        16        122        136
4        12        126        148
6        6        132        154
6        2        138        156
2        4        140        160
6        8        146        168
6        10        152        178
4        6        156        184
6        2        162        186
8        12        170        198
6        6        176        204
4        6        180        210
8        4        188        214
4        2        192        216
6        4        198        220
8        6        206        226
4        8        210        234
2        4        212        238
6        6        218        244
4        2        222        246
14        10        236        256
4        2        240        258
8        10        248        268
4        2        252        270
6        4        258        274
8        2        266        276
10        10        276        286
2        2        278        288
12        6        290        294
6        6        296        300
4        4        300        304
2        6        302        310
4        8        306        318
2        12        308        330
22        6        330        336
2        4        332        340
4        6        336        346
2        14        338        360
4        4        342        364
18        6        360        370
2        8        362        378
10        10        372        388
6        8        378        396
2        10        380        406
10        2        390        408
8        6        398        414
10        10        408        424
8        2        416        426
6        18        422        444
4        4        426        448
14        2        440        450
6        4        446        454
4        2        450        456
6        22        456        478
12        2        468        480
8        4        476        484
6        2        482        486
4        4        486        490
6        6        492        496
6        12        498        508
2        2        500        510
10        10        510        520
2        8        512        528
4        6        516        534
2        4        518        538
10        8        528        546
2        4        530        550
10        14        540        564
2        4        542        568
6        6        548        574
4        2        552        576
8        4        560        580
6        8        566        588
4        6        570        594
2        4        572        598
4        8        576        606
6        4        582        610
6        6        588        616
12        8        600        624
2        6        602        630
6        4        608        634
10        6        618        640
8        6        626        646
4        2        630        648
2        6        632        654
6        6        638        660
12        4        650        664
16        2        666        666
2        10        668        676
4        2        672        678
8        10        680        688
6        2        686        690
10        4        696        694
6        6        702        700
6        8        708        708
2        6        710        714
6        4        716        718
4        2        720        720
8        16        728        736
10        2        738        738
12        6        750        744
6        6        756        750
2        6        758        756
4        4        762        760
6        6        768        766
2        12        770        778
6        2        776        780
6        4        782        784
4        2        786        786
786        786        50660        52306