我对“抛球悖论”的看法

门外汉

想请陆教授确认一下：如果以小球从一处抛到另外一处的时间间隔这个角度来考虑问题，那么，当时间趋于1分钟的时候，小球从一处抛到另一处的时间间隔趋于0。
这个结论没有错误吧？

luyuanhong

下面引用由门外汉在 2011/04/05 01:09pm 发表的内容：
想请陆教授确认一下：如果以小球从一处抛到另外一处的时间间隔这个角度来考虑问题，那么，当时间趋于1分钟的时候，小球从一处抛到另一处的时间间隔趋于0。
这个结论没有错误吧？

这个结论没错。

门外汉

下面引用由luyuanhong在 2011/04/05 01:53pm 发表的内容：
这个结论没错。

既然结论没有错误，那么再看一下这个结论有没有错误：
先引用一下您先前做出来的一个总结：一般来说，如果 t 趋于一个具体的数 a（ a 不是无穷大），而且当 t 趋于 a 时，f(t) 的极限存在，而且就等于 f(a)（ f(a) 也不是无穷大），那么，这时“趋于”和“等于”是等价的。这时，我们可以说：“当 t 趋于 a 时，f(t) 趋于 f(a)”；
..................................................
请陆教授看一下下面的这个结论是不是正确的：
当时间等于1分钟的时候，小球从一处抛到另外一处的时间间隔等于0.

ygq的马甲

下面引用由门外汉在 2011/04/05 06:24pm 发表的内容：
既然结论没有错误，那么再看一下这个结论有没有错误：
先引用一下您先前做出来的一个总结：一般来说，如果 t 趋于一个具体的数 a（ a 不是无穷大），而且当 t 趋于 a 时，f(t) 的极限存在，而且就等于 f(a)（ f( ...

在研究方法和思路上，需要【补课】的太多了

luyuanhong

下面引用由门外汉在 2011/04/05 06:24pm 发表的内容：
既然结论没有错误，那么再看一下这个结论有没有错误：
先引用一下您先前做出来的一个总结：一般来说，如果 t 趋于一个具体的数 a（ a 不是无穷大），而且当 t 趋于 a 时，f(t) 的极限存在，而且就等于 f(a)（ f(a) 也不是无穷大），那么，这时“趋于”和“等于”是等价的。这时，我们可以说：“当 t 趋于 a 时，f(t) 趋于 f(a)”；
..................................................
请陆教授看一下下面的这个结论是不是正确的：
当时间等于1分钟的时候，小球从一处抛到另外一处的时间间隔等于0.

按照我在第 48 楼中比较详细严格的推导方式，我是先推导出小球的速度，
再从小球的速度，推导出小球从一处抛到另一处所用的时间间隔。
由于当时间 t 趋于 1 分钟时，速度 v(t) 趋于无穷大。按照数学中的规定，
无穷大是不能说“等于”的，所以，我们不能说：“当时间 t 等于 1 时，
速度 v(t) 等于无穷大”，因此也就不能推导出：“当时间 t 等于 1 时，
小球从一处抛到另一处所用的时间间隔等于 0 ”，只能说“趋于 0 ”。
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如果按照你在第 47 楼中的不太严格的表达方式，不考虑速度，只是说：
当时间为 1/2 分钟时，小球从一处抛到另外一处的时间间隔为 1/2 分钟；
当时间为 3/4 分钟时，小球从一处抛到另外一处的时间间隔为 1/4 分钟；
当时间为 7/8 分钟时，小球从一处抛到另外一处的时间间隔为 1/8 分钟；
……，
（ 因为严格说来，抛球是在一段时间内不是在一个时间点上完成的，应该说：
“当时间从 0 分钟到 1/2 分钟时，小球从一处抛到另一处所用时间是 1/2 分钟”
  所以，你在第 47 楼中的表达方式，其实是不严格的。）
按照你这样的不太严格的表达方式，确实可以推导出：
“当时间趋于 1 分钟时，小球从一处抛到另外一处的时间间隔趋于 0 分钟”，
因为这里没有牵涉到极限是无穷大，或极限不存在的问题，所以也可以说成是：
“当时间等于 1 分钟时，小球从一处抛到另外一处的时间间隔等于 0 分钟”。
就算是这样吧，那么，从这句话，你又能说明什么呢？

波浪

数学应该补充这样的公理：数学的推理过程只有在有限的物理时间内是可以完成的，才是可靠的。

门外汉

下面引用由luyuanhong在 2011/04/05 08:32pm 发表的内容：
按照我在第 48 楼中比较详细严格的推导方式，我是先推导出小球的速度，
再从小球的速度，推导出小球从一处抛到另一处所用的时间间隔。
由于当时间 t 趋于 1 分钟时，速度 v(t) 趋于无穷大。按照数学中的规定，
无穷大是不能说“等于”的，所以，我们不能说：“当时间 t 等于 1 时，
速度 v(t) 等于无穷大”，因此也就不能推导出：“当时间 t 等于 1 时，
小球从一处抛到另一处所用的时间间隔等于 0 ”，只能说“趋于 0 ”。
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如果按照你在第 47 楼中的不太严格的表达方式，不考虑速度，只是说：
当时间为 1/2 分钟时，小球从一处抛到另外一处的时间间隔为 1/2 分钟；
当时间为 3/4 分钟时，小球从一处抛到另外一处的时间间隔为 1/4 分钟；
当时间为 7/8 分钟时，小球从一处抛到另外一处的时间间隔为 1/8 分钟；
……，
（ 因为严格说来，抛球是在一段时间内不是在一个时间点上完成的，应该说：
“当时间从 0 分钟到 1/2 分钟时，小球从一处抛到另一处所用时间是 1/2 分钟”
所以，你在第 47 楼中的表达方式，其实是不严格的。）
按照你这样的不太严格的表达方式，确实可以推导出：
“当时间趋于 1 分钟时，小球从一处抛到另外一处的时间间隔趋于 0 分钟”，
因为这里没有牵涉到极限是无穷大，或极限不存在的问题，所以也可以说成是：
“当时间等于 1 分钟时，小球从一处抛到另外一处的时间间隔等于 0 分钟”。
就算是这样吧，那么，从这句话，你又能说明什么呢？

首先说明一点：无穷大这个概念本身它就不是什么确切的概念，它只是一个很模糊的概念，就比如说：“比较大”这个概念，它就是非常模糊的，我既可以说10比较大，也可以说100万比较大，因为“比较大”不是一个确定的数字。同理，无穷大也不是一个确定的数字，它与集合论中的阿列夫0不同（阿列夫0至少从表面上看是“确定的”，它是自然数集合的基数）。所以在讨论抛球悖论这个问题的时候，我一般是不用无穷大这个概念的。
第二：当时间无限趋近于1分钟，抛球的时间间隔无限趋近于0，如果这个结论是正确的，那么，当时间等于1分钟的时候，抛球的时间间隔能不等于0吗？显然，抛球的时间是一定等于0的。
第三：如果时间等于1分钟的时候，抛球的时间间隔等于0这个结论是正确的，那么即可以推导出如下的结论：当时间到达1分钟的时候，小球的位置就会出现如下的结果：小球既在a处，同时它又在b处，并且，小球在a处的同时又不在a处，在b处的同时又不在b处（也就是在a处与b处之间的空中）。
上述的结论看起来是矛盾的，绝不可能的，但是这是按照题设所做出来的必然结果。
首先说明一下为什么当时间到达1分钟的时候，小球既在a处又在b处：因为当时间到达1分钟的时候，小球从一处抛到另外一处的时间间隔为0，也就是说小球从一处抛到另外一处是不需要时间的，所以假设它在a处，那么同时间它又在b处：假设它在b处，那么同时间它又在a处。同时，小球的位置也会在ab之间的任意一点，所以它在a处的同时又不在a处，在b处的同时又不在b处（在ab的空中）。
但是，如果说小球在同一时间会有两个不同的位置，这是明显违反逻辑排中律的，之所以会产生这样的结果，完全是因为出题的前提是错误的。因为在物理现实之中，一物体从一处抛到另外一处的时间间隔是绝对不会等于0的（也就是说速度无穷大是不可能的），而按照出题者的抛球规则，当时间到达1分钟的时候，小球的速度是一定是无穷大的。
因此说得明白一些就是：抛球悖论它只是一个思想实验，如果严格的按照这个思想实验的规则，就会出现小球在同一时间有两个不同位置的结论并且符合逻辑。
之所以我们认为这个结论不符合逻辑，是因为它违反了物理事实的原因。

门外汉

下面引用由波浪在 2011/04/05 09:05pm 发表的内容：
数学应该补充这样的公理：数学的推理过程只有在有限的物理时间内是可以完成的，才是可靠的。

数学不同于物理。
抛球悖论中的抛球规则在物理条件下是根本就无法完成的。
但在数学中，有时是不考虑物理条件的限制的。例如这个问题：1块0摄氏度的冰，令其1天降低1摄氏度，问：365天后，冰的温度是多少？
按数学回答就是：零下365度，而按照物理学的回答就是：任何物体的温度都不会降到零下365度。

波浪

     因为一切自然数都是“有限的”，所以下式通分后的计算结果该仍是有理数。
   π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 +1 /9 - …

ygq的马甲

但是，如果说小球在同一时间会有两个不同的位置，这是明显违反逻辑排中律的，之所以会产生这样的结果，完全是因为出题的前提是错误的。

排中律，此时是不适用的。乱用逻辑