数学是什么？

elimqiu

下面引用由顽石在 2009/06/02 10:51am 发表的内容：
潜无穷观认为：自然数一个一个地可数，而永远数不完，无穷是与时间有关的过程或趋势。
实无穷观认为：自然数作为整体早就一个不少地数完了，无穷是与时间无关的集合或全体，

主流数学的客观性要求集合的存在性与任何个人把握它（包括数其元素的个数）的能力无关。集合的存在性是通过已知集合，集运算，构成法则，以及存在性公理等保证的。例如自然数集的存在性是无穷公理保证的。
ZFC 公理系统排除了 A ∈ A  的合法性（集合公理保证了没有集会以自己为元素），这使得罗素悖论在内的所有已知悖论在 ZFC 中不能出现。

[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
即使人能活10000岁，每秒钟能数10000个自然数，人用一辈子的时间从小到大依次来数自然数，所能达到的数也有一个上限。所以靠数数连有限集的存在都没法保证。

ygq的马甲

下面引用由elimqiu在 2009/06/02 04:30am 发表的内容：
主流数学的客观性要求集合的存在性与任何个人把握它（包括数其元素的个数）的能力无关。集合的存在性是通过已知集合，集运算，构成法则，以及存在性公理等保证的。例如自然数集的存在性是无穷公理保证的。
ZFC 　...

附图：二维几何模型表示的逻辑类型

【公理二】存在且只存在 R(·,·)="∈"∪" Ï "∪"Φ"
按照“一分为二”方法假设代号 A 和 ﹁A ，那么对照“二维几何模型表示的逻辑类型”附图，存在五种侧面，分别如下：
R(·,·)="Φ" 对应的是 A 和 ﹁A ；
R(·,·)="∈" 对应的是 A←→A 和 ﹁A←→﹁A ；
R(·,·)=" Ï " 对应的是 A←→﹁A 。
以上是【公理】部分，与 A 所选择的具体内容无关。
所有的“悖论ｐａｒａｄｏｘ”，都是 R(·,·)=" Ï "  类型的，即要求“自身【循环】指称”的 。“ZFC 公理系统排除了 A ∈ A  的合法性”的后果是，范围变得“不完全性”，类似于“哥德尔不完全性定理”等。 但仍然可以符合“相容性 ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ”的

elimqiu

“完成了的全体”与“没有最大”会不会构成悖论？
经验主义认为只有经验到的才是存在的（甚至存在就是经验），可惜不是所有的人都是经验主义者。
那么上面的问题到底该如何回答？ 答案是还要回到公理系统来。只要能从系统推出两者的矛盾，那么就有悖论。否则就没有悖论。如果系统认为集合的存在是靠人数来的，那么就会有悖论。就算使用潜无穷观点还是会有悖论（因为几乎所有的有限集都是其元素人数不过来的）[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
“完成了的全序集必有最大最小元”的观念是摆脱不了有限集的直觉，或者说把对有限集的性质无条件地搬到无限集上去的逻辑忽悠。

tnjian

[这个贴子最后由tnjian在 2009/06/02 01:09pm 第 2 次编辑]

下面引用由顽石在 2009/06/02 11:24am 发表的内容：
潜无穷观认为：自然数一个一个地可数，而永远数不完。无穷自然数数列是与时间有关的过程，无止境。永远形成不了自然数全体，没有最大自然数。
实无穷观认为：自然数作为整体早就一个不少地数完了。无穷自然数数　...

纠正，请不要歪曲实无穷的意思，实无穷从来不会去数自然数。
实无穷认为 自然数集作为整体的存在是客观的，独立于人而存在，就和其他物理存在一样。
参见哥德尔1944年的文章《罗素的数理逻辑》
所以，你想否定实无穷，请按照实无穷本身的含义去反驳它，不要歪曲。
我建议顽石去买本《数学哲学》吧，里面有对潜无穷，实无穷，形式主义等等的第一手原始经典文献，你这样在错误的理解上面能做出什么研究呢？

ygq的马甲

我建议顽石去买本《数学哲学》吧，里面有对潜无穷，实无穷，形式主义等等的第一手原始经典文献，你这样在错误的理解上面能做出什么研究呢？

这种“蠢货”（顽石），谈什么研究呀，只是“添乱”而已，

顽石

因为，“完成了的全序集必有最大最小元”的观念是摆脱不了有限集的直觉，或者说把对有限集的性质无条件地搬到无限集上去的逻辑忽悠。
因此，“自然数全体中最小、最大的自然数，全部都包括在内。”的实无穷，其实就是实有穷！假无穷！只有潜无穷才是真正的无穷！

jzkyllcjl

顽石说的对！

elimqiu

下面引用由顽石在 2009/06/02 08:16pm 发表的内容：
因此，“自然数全体中最小、最大的自然数，全部都包括在内。”的实无穷，其实就是实有穷！假无穷！

顽石和jzkyllcjl说得对！顽石实无穷确实是实有穷。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
顽石实无穷也确实是假无穷。

jzkyllcjl

实无穷是已有名词，它不是顽石的！而是顽石反对的！

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2009/06/03 04:09am 第 1 次编辑]

下面引用由jzkyllcjl在 2009/06/03 10:51am 发表的内容：
实无穷是已有名词，它不是顽石的！而是顽石反对的！

顽石实无穷是新名词。是顽石发明的实无穷。顽石实无穷的全序集必有最大最小元。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
其实顽石的捏造都有发明的成分。不该抹杀么。