数学理论体系改革的指导思想

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瞬时速度的讨论涉及数学理论的各个方面，从1962年起，笔者就在改革数学理论的基本概念，这个改革的指导思想是：①建立数学理论的目的是解决现实数量大小及其关系的描述，实践是检验数学理论的最终标准；没有经过实践验证纯粹数学只能叫做准数学； ②对立统一法则是阐述数学理论根本法则；在数学理论阐述中，必须使用理想与现实、无穷与有穷、精确与近似相互依存、相互斗争的对立统一法则。其中，对于时间、空间的描述，不仅需要使用时刻与实数一一对应的连续性时空概念，还需要使用爱因斯坦在解释量子力学中测不准关系时的修改的时空量子的间断性的时空概念[2]。 关于这个问题，列宁早就指出：“如果不把不间断的东西割断，不使活生生的东西简单化、粗糙化，不加以割碎，不使之僵化，那么我们就不能想象、表达、测量、描述运动”[3] ，笔者对瞬时速度的论述，可以说是符合列宁说法的论述。对于函数的变化率问题，也可以用足够准近似方法解释，即dx是足够小。对于使用极限方法的导数计算，需要知道：极限值具有不可达到的想象的理想性质，把它看作笔者在“实数理论的问题与足够准近似分析简介”[1]中叙述足够小才是有实践意义的论述。但是，极限方法也有好处，所以经过多年研究之后的的2009年笔者又出版了《全能近似分析数学理论基础及其应用》[4]，书中提出了：“自变量的微分以0+为极限的任意正足够小变数”。这个变数也叫辩证数，它的极限是0，但它本身不是0，所以它可以被作为除数，又因为它的极限是0，所以取极限后它是0；而且由于它是足够小，所以在近似计算时，满足误差界要求的dx可以是忽略不计的足够小；dx也可以是：爱因斯坦所说的测不出其长度时空量子的非常小正数[2]；也可以是碰撞问题中测不出其长度的时段长。它可以是忽略不计的质点的大小。在不同的时间、地点，不同场合下，它有不同的意义与作用。希尔伯特认为：“绝对无穷概念的命题确实是超越人们直观性证据之外”的东西，“是通过人们的心智过程被插入或外推出来的概念”。 由于无穷不能在经验中直接验证，故希尔伯特称之为理想元素；希尔伯特在他的计划中提出了“有穷主义的构造方法即是一种以有穷主义为特征的构造性数学研究”；希尔伯特称这种方法下的数学为“元数学（证明论）”。笔者认为这个思想符合唯物辩证法，数学理论中涉及无限的问题都需要以有穷为基础使用趋向性质的极限方法进行讨论。
2017 到2018年应用这些唯物辩证法观点，笔者写了“建立数学理论的根本方法是唯物辩证法”的近七万字（没有出版），文中对自然数、实数、无穷集合‘几何基础、无穷级数、微积分中基本概念进行体系性质的改革。