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E 在正方形 ABCD 外,AE=AC,F 在 AE 上,DE=DF,BF 交 AC 于 G,BG=EC,求证:BG∥EC

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发表于 2019-11-3 20:39 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 luyuanhong 于 2019-11-3 21:06 编辑

有个数学物理专业的微博主出了一道几何题挑战,转在这里分享一下。看看怎么做?

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发表于 2020-1-4 20:57 | 显示全部楼层
这道题用正统的方法进行强力计算得不到什么结果,似乎要用非正统的方法来进行证明。
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 楼主| 发表于 2020-1-5 20:05 | 显示全部楼层
不是楼上这位老兄把帖子顶上来,我都忘记这一题了。正如Future_maths所说,传统的几何方法没有办法解决这个问题。 这个问题我也是思考了好一会,如下图:E的轨迹显然是一个圆,但F的轨迹却是一条高次曲线“心脏线”或“蚶线”,要使得原题有意义,F要定义在线段AE上,而且G点也要在线段BF上。这时候其实就是F要在蚶线的内圈上。若F在外圈,则F、G至少有一个不在对应线段上,而是在其延长线上,甚至存在使BG=EC的点且BG不平行于EC。所以为了严密起见,原题应该将F定义在线段AE上,即其轨迹是蚶线的内圈。此时E点应在圆弧CC‘之间。

考虑到E点如在CC’上半部分,此时CE>边长>BG,等号是不可能成立的,于是只要考虑E点在CC‘的下半部分的情况,此时F处于蚶线内圈的下半圈,有一个点,即使∠DAF=∠DAE=15°的这样的点可以验证△DEC是△AGB向右平移而得到,满足BG=EC且BG∥EC同时成立。当∠DAE>15°时,CE是递减的,而BG是递增的,当然BG>EC.而在∠DAE<15°时情况比较复杂,假定边长等于1,要考虑F点从∠DAF=∠DAE=15°位置逆时针绕到AD上,到A点距离为2-sqrt2,而BF在∠ABF=30°相同位置延长交于AD上的点到A点距离等于(sqrt3)/3,而2-sqrt2>(sqrt3)/3,这说明当F点从∠DAF=15°逆时针方向绕旋到AD位置时,F处于使∠ABF=30°的(BF)所在线右边,这时BG是比原位置时变短了,而CE是变大的,所以在这个范围内,BG<CE。
通过以上论证,在满足条件的BG=EC的情况只有一个,即∠DAF=∠DAE=15°时且F点在正方形内的位置,这时候恰好有BG∥EC 。这就证明了题目。
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附件仅供参考。研究几何深入后不免遇上高次曲线问题,古今同慨。

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发表于 2021-8-16 19:46 | 显示全部楼层
我的一个热爱几何的同学写的,他直接用的解析几何

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发表于 2022-1-2 02:31 | 显示全部楼层
刚刚看到百度文库中的网红题“https:*//wenku.baidu.com/view/e12f7de1876a561252d380eb6294dd88d0d23d40.html”

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发表于 2022-1-2 13:39 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2022-1-2 13:59 编辑

\(记AE,CD的交点为O\ \ \ \ ∠OAC=2a\)

\(\frac{\sin(∠OAC)\sin(∠ODA)\sin(∠OED)\sin(∠OCE)}{\sin(∠OAD)\sin(∠ODE)\sin(∠OEC)\sin(∠OCA)}=\frac{\sin(2a)\sin(90)\sin(2a)\sin(45-a)}{\sin(45-2a)\sin(45)\sin(a)\sin(45)}=1\ \ \ 解得\ 2a=30\)

也就是说,若要AE=AC,DE=DF,BG=EC,BG∥EC,∠OAC只能是30。
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发表于 2022-1-2 23:22 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2022-1-2 23:39 编辑





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