求不等式方程 (x-3)(x+1)(x-4)(x-8)＞-100 的实数解的取值范围

wintex

請問代數

luyuanhong

题  求不等式方程 (x-3)(x+1)(x-4)(x-8)＞-100 的实数解的取值范围。

解  从 (x-3)(x+1)(x-4)(x-8)＞-100 可得

    0＜(x-3)(x+1)(x-4)(x-8)+100 = x^4-14x^3+53x^2-28x+4

                   = (x^2-7x+2)^2 。

    因为对任何实数 x 都有 (x^2-7x+2)^2≥0 ，除了 x^2-7x+2 = 0

的 x 以外，其他任何实数 x 都满足 (x^2-7x+2)^2＞0 。

    解方程 x^2-7x+2 = 0 可得 x = (7-√41)/2 和 x = (7+√41)/2 。

    所以，(x-3)(x+1)(x-4)(x-8)＞-100 的实数解的取值范围是

        x ≠ (7-√41)/2 和 x ≠ (7+√41)/2 。

即

x∈(-∞,(7-√41)/2)∪((7-√41)/2,(7+√41)/2)∪((7+√41)/2,+∞) 。

wintex

luyuanhong 发表于 2019-11-28 18:51
题  求不等式方程 (x-3)(x+1)(x-4)(x-8)＞-100 的实数解的取值范围。

解  从 (x-3)(x+1)(x-4)(x-8)＞-10 ...

請問陸老師

luyuanhong

你楼上帖子中的疑问，说明你在楼上解法中所作的变量代换，其实是不妥当的。

一般来说，在解等式或不等式方程时，允许我们作变量代换，例如可以用变量 t 代换变量 x 。

但是，这种代换有一个条件：对 x 的每一个值，都能求得相应的 t 的值，反过来，对 t 的

每一个值，也都能求得相应的 x 的值。

而你在楼上所作的代换，令 x^2-7x=t ，并不能保证对 t 的每一个实数值，都能求得相应

的 x 的实数值。所以，你楼上的做法，是不够妥当的。

下面一个帖子，我给出了另一种变量代换解法，像我这样代换，就没有问题了。

luyuanhong

题  求不等式方程 (x-3)(x+1)(x-4)(x-8)＞-100 的实数解的取值范围。

解  作变量代换，令 t = 2x-7 ，x = (t+7)/2 ，代入上面的不等式，就有

      [(t+7)/2-3][(t+7)/2+1][(t+7)/2-4][(t+7)/2-8]＞-100 ，

             (t+7-6)(t+7+2)(t+7-8)(t+7-16)/2^4＞-100 ，
      
                  (t+1)(t+9)(t-1)(t-9)/16＞-100 ，

                     (t^2-1)(t^-81)＞-1600 ，

          t^4-82t^2+81+1600 = t^4-82t^2+1681 = (t^2-41)^2＞0 。

    因为对任何实数 t 都有 (t^2-41)^2≥0 ，除了 t^2-41 = 0 ，即 t^2=41 ，

t =√41 和 t = -√41 的 t 以外，其他任何实数 t 都满足 (t^2-41)^2＞0 。

    所以 (t^2-41)^2＞0 的实数解的取值范围是 t ≠√41 和 t ≠-√41 。

    返回到变量代换之前，(x-3)(x+1)(x-4)(x-8)＞-100 的实数解的取值范围是

              2x-7 = t ≠√41  和  2x-7 = t ≠-√41 。
即

              x ≠ (7+√41)/2  和  x ≠ (7-√41)/2 。

即

x∈(-∞,(7-√41)/2)∪((7-√41)/2,(7+√41)/2)∪((7+√41)/2,+∞) 。