自然数两大问题

顽石

自然数两大问题
任月扬
数量问题和结构问题是自然数“表，里”两个最基本的问题，也可说是基础数学中的两个极端问题。至今没有解决。
在浩瀚的数学大海洋中，最简单的数就是自然数，但是，自然数中却隐藏着难解的两个最基本问题：首先，表现在其外表的相对单纯的数量问题，这就是：只能与全体小数作比较的是全体小数的数量多于全体自然数还是两者相等？一百多年前的著名德国数学家康托尔，证明了全体小数多于全体自然数。笔者经过长期研究认为两者相等，也作出了证明。这两个互为相反的“自然数数量定理”哪个为真？
其次，表现于自然数内部的结构问题，在各种结构的划分上，最复杂而深刻的分类，就集中体现在“素数群”的分布状态中，可简化为素数群无穷多的猜想，或高度简化为群心数是无穷数列的猜想。人们要想解决“素数群猜想”或“群心数猜想”，是极为困难的。
依笔者保守估计，因为数量问题早已成为常识，极难改变。在较长时期内才可能将这一“铁案”彻底翻过来；属于素数群猜想这个系列中的最弱的哥德巴赫猜想和双生素数猜想，已耗费两个半世纪以上。据此可以肯定，要解决结构问题至少将会是500年以后的事情了。
一.数量问题（自然数数量定理）
（一）位数无限逼近无穷大的正数
1.位数无限逼近无穷大的小数
在现有理论中，把“位数无限逼近无穷大的小数”称为“无尽小数”，它的含义有两个：其一，为无限循环小数，如：0.33333……，0.714285714285714285……等。其二，为无限不循环小数，如：0.31415926535897932384626…，0.271828182845904523536028…等。它们的极限分别为1/3，5/7，π/10，ｅ/10，在全体小数中，其中最特殊的形如0.00000……001和0.99999……999两个小数，它们的极限分别为0和1，无论中间的0有多少个或者9有多少个，都无法分别到达0值或者1值。其它所有的“有尽小数”和“无尽小数”都无法超越无穷小0.00000……001和0.99999……999这两个最特殊的小数！
2.位数无限逼近无穷大的自然数
与上述相对应，在自然数1，2，3，4，5，…直至无穷大的序列中，也存在“位数无限逼近无穷大的自然数”，形如10000……000和99999……999的整数，位数总是在无止境地增长着。而位数无限逼近无穷大的其它自然数的大小介于两者之间而位数与两者相同。但现有的理论不承认“无尽整数”或者“无穷大自然数”，并且规定“凡自然数皆为有限位”或者“自然数皆有限大”。这种“位数无限逼近无穷大的自然数不能称为无尽整数的规定”与其结构完全一致的“位数无限逼近无穷大的小数可称为无尽小数的规定”直接相矛盾。如果想保持一致性，就应该规定那些“位数无限逼近无穷大的小数也皆为有尽小数”；或规定：“位数无限逼近无穷大的自然数可称为无限位自然数”。据此规定，进行镜像对称方法就将“小数连续统”变换成能与“自然数可数集”一一对应的“小数可数集”，但关键在于要勇敢承认小数可数集的真实存在。因为可数的事实本身，就是对“全体自然数数量等于全体小数”定理的最简洁明快而强有力的证明！这就像指出92003是2762758087的素数因子这一事实，从而干脆利落地证明2762758087不是素数那样，也没有特别必要，非得等待上述规定的改变不可（详细请看百度搜索中笔者的《可数集和连续统》一文）。
（二）康托尔的对角线法
当初，康托尔用对角线法证明了“全体小数多于全体自然数的定理”。这是数学基础中最为基本的也最重要的一个著名定理。很多学说，理论包括一些悖论都源于此。对角线法也非常著名，在很多数学科普书中都有介绍。但对角线法存在如下两个无法弥补的巨大漏洞。
1.对角线证明法产生三个互为矛盾的荒谬结果
（1）对角线证明法用于十进制无尽小数的乱排列，可产生对应之外的“新小数”有无穷多个；
（2）用于二进制无尽小数的乱排列，只能产生一个唯一的“新小数”，遵照康托尔本人所创立的集合论中无穷大数算术规定，对全体小数仅比全体自然数多一个已毫无意义，不能勉强说这就是反证法；
（3）将全体小数重新作如下排列：不同位小数，从1位小数，2位小数，3位小数，…，一直依序排列到位数无穷逼近无穷大的小数；相同位小数，按照从小到大顺序排列。依如此排列的全体小数，就是上述提到的“小数可数集”。按照自然数顺序一一编号，那么，被编号的小数与每个自然数正好结构相同，互为镜像的对称。天然一一对应，两者数量相等。“小数可数集”在形式上也是一种有序排列，虽小数大小变得紊乱，但对于集合论只研究数量关系来说，毫无妨碍。
对角线法用于这种有序的二进制小数可数排列与自然数序列一一对应最公平，但令反对者非常“可惜”，只对应出一个固定的有尽小数0.110000……00，将这个有尽小数的每位数字符号皆一一改变就产生所谓由对角线法构造出的“新无尽小数”0.001111……11，这个“新无尽小数”，一定不会超越“位数无穷逼近无穷大的小数”0.111111……11，一定会在全体小数序列中被找到。因而这个所谓的“新无尽小数”是重复的，捏造的，虚假的！也因此使我们有足够的理由高度怀疑第1个，第2个结果也是虚假的，只是被乱排列所掩盖罢了。退一万步而言，即使其中两个结果为不虚假，但是，一个著名的证明方法会产生如此互为对立的三种结果，这个本身就充分说明，证明方法不可靠，无意义。总之，这个证明方法是毫无价值和极其荒谬的！（详细请看百度搜索中笔者的《令人哑然的天大笑话》一文）
2.对角线与全体小数一个不漏地一一相交纯属虚幻的想象
对全体小数可数排列，横向的每个小数都看成一条条无穷长的水平横线，纵向相同数位一一对齐，皆可看作一条条无穷长垂线。对角线是从左上角起始的45度斜线。无穷多条横线和纵线形成网格，对角线正好通过网格的交点，同时与每条横线和纵线相交一次。对角线法实际上只适合正方形的情形。但二进制数及二进制数以上，随着小数位数的无穷增高，小数数量增多速度远比位数增高的速度大。以二进制小数为例：1位小数1个，2位小数2个，3位小数4个，4位小数8个，5位小数16个，6位小数32个，……ｗ+1位小数2^ｗ个，是个纵向越来越长，横向相对越来越短的长方形倍增扩展。若以二进制的0.1，0.11，0.111，0.1111，0.11111，……，0.11111…111形小数，作为等距横线，相应插入其中的其它代表各同位小数的横线，被纵向压缩，看似长方形变成正方形，但与此同时，对角线也被迫压缩成越来越向水平方向弯曲的折线，我们可以清楚地看到康托尔的对角线越来越无法与所有的横线完成一一相交的情形。并且，随着横线和纵线的无限增多，从比例上来看，弯曲的折线将越来越贴近第一条横线！
如果我们规定，对于全体小数的乱排列中的所有参与排列的有尽小数，不许作无尽化处理，例如：康托尔将0.125改为0.124999…不可以。那么，小数的总量必定与小数可数形式一样多。十进制小数乱排列中的第1个，第10个，第100个，第1000个，第10000个，…等小数皆作为等距横线浓缩；二进制小数乱排列中的第1个，第2个，第4个，第8个，第16个，…等小数也皆作为等距横线浓缩，使纵横线浓缩成正方形，同样可使原来的对角线弯曲成折线，随着等距横线无限增多，从比例上来看，折线会越来越贴近第1条横线似乎会“消失”。并且，十进制乱排列比二进制乱排列弯曲的折线“消失”得更快。可以肯定，荒唐的对角线，根本没有机会与所有小数完成一一相交！
二.结构问题（素数群猜想）
全体自然数可以分为两类，2n型数，和非2n型数，这就是我们所熟知的：自然数由偶数与奇数两大类组成。
与此相类似，还可以将自然数分为以下三大类：有3n型数如：0，3，6，9，12，…等；3n+1型数如：1，4，7，10，13…等；3n+2型数如：2，5，8，11，14，…等。此外，自然数还有四大类分法：4n型数、4n+1型数、4n+2型数、4n+3型数。还有五大类分法、六大类分法、七大类分法、…等等。自然数的这些结构，可以有无穷多种类，非常容易被人们理解，可惜都平淡无奇，无什么奥妙可言。
全体自然数还可以有如下稍微复杂些的幂级数分类方法：
2^n型数与非2^n型数的两大类：2^n型数如：1，2，4，8，16，32，…等；非2^n型数如：3，5，6，7，9，10，11，12，…等。与此相类似，还可分3^n型数与非3^n型数两大类：4^n型数与非4^n型数两大类：5^n型数与非5^n型数两大类：…等等。还有其它的自然数分类方式。都不足为奇。但常常令数学家们感兴趣的、奥妙无穷的自然数分类方法是如下的“素数、合数和1”三类数组成的自然数构造。素数、合数之间的关系非常复杂，所产生的数学问题（猜想）十分艰深，留下很多至今仍无法揭开的数论几百年悬案，使有些数学家倾注毕生心血而收获无多。笔者提出如下的素数群猜想，是这类猜想中无与伦比的。所谓素数，是除了本身和1以外不能被其它整数整除的数。
（一）ｍ次素数序列
1.在全体自然数序列：1，2，3，4，5，…，等，越来越稀疏的素数，分布其中，这些素数是第2个，第3个，第5个，第7个，第11个自然数，…等，即依次为：2，3，5，7，11，…，P等。P被用于表示素数的符号。这个素数序列称为“1次素数”，表示浓缩一次。因为全体自然数不计较是否素数，因此可称自然数序列为“0次素数”。
2.在全体素数序列2，3，5，7，11，…P等。其中处于素数位的素数是第2个，第3个，第5个，第7个，…第P个的P等，即全体素数序列中的：3，5，11，17，31，…等。是按上述素数浓缩方式再浓缩一次，因此这个素数序列中的素数位素数可称为“2次素数”。
3.在全体“2次素数”序列：3，5，11，17，31，…等中，也存在处于第P个的P的P，依次为：5，11，31，59，127，179，…等。这个“2次素数”序列中的素数位素数可称为“3次素数”。
4.与上述方法类似，还可以列出“4次素数”序列为：11，31，127，277，709，1063，1789，2221，…；“5次素数”序列为：31，127，709，1789，…，等等。可以无限次浓缩，直到“ｍ次素数”，ｍ可达无穷大。
数学理论已经规定，π（x）是个数论中的专用函数符号，它被定义为：不大于自然数x的素数个数。例如，10以内的自然数中有以下4个素数：2，3，5，7，上述这句话，可用以下简洁的数学语言说出：π（10）= 4 ，现在因为要延伸这一概念，引人1次素数，2次素数，3次素数，…，ｍ次素数等。对于专用函数符号π（x）稍微改造，就可以用于表达不大于x的ｍ次素数的数量。只要在x右边注上ｍ就行，例如160以内，分别有多少个1次素数，2次素数，3次素数，4次素数，5次素数呢？可查素数表得到答案如下：
π（160，1）＝ 37
π（160，2）＝ 12
π（160，3）＝ 5
π（160，4）＝ 3
π（160，5）＝ 2
自然数的结构问题和数量问题，互相关系密不可分。
康托尔理论认为普通的无穷大∞是自然数可数集无穷数列，可用“阿列夫0”来表示；小数连续统线段所含点的无穷性为“∞^∞”可用更高一级的无穷大“阿列夫1”来表示。这个问题的关键是：自然数集是否能构造出“∞^∞”这个“阿列夫1”？以下是我的构造方法：
1896年，正在围绕康托尔集合论这个数学基础各学派论战达“白热化”时，由阿达玛和德.拉.瓦莱.泊桑，各自独立地证明了素数定理。其基本意思是：当x趋向无穷大时，全体素数与全体自然数的数量比值为0，反过来就是全体自然数与全体素数比值为无穷大。如果Ａ代表全体自然数，Ｂ代表全体素数，那么就有Ａ/Ｂ=∞，如上所述将全体素数用自然数依次编号，凡是编号中的素数编号单独列出又组成新的无穷数列，这个数列为“2次素数序列”，Ｂ就被称为“1次素数序列”。无穷多次重复上述方法，就会制造出“3次素数序列”，“4次素数序列”，“5次素数序列”，…“ｍ次素数序列”。ｍ趋向无穷大。显然这些无穷数列依次为Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，…ｎ，ｍ，那么就有Ａ/Ｂ=∞，Ｂ/Ｃ=∞，Ｃ/Ｄ=∞，Ｄ/Ｅ=∞，…，ｎ/ｍ=∞。将这些无穷多等式左边，右边各自相乘，就得：Ａ/ｍ=“∞^∞”等式。
上述构造所得事实指出自然数也同样具有“阿列夫1”的势。又从另外一个角度，十分简洁地证明了全体自然数和全体小数数量相等。
（二）ｍ生素数群猜想
上述“ｍ次素数”的概念，意义重大。它们与素数群的数量比较一一相对应，两者数量也非常接近。双生素数对应2次素数、3生素数群对应3次素数、4生素数群对应4次素数、…、ｍ生素数群对应ｍ次素数等。哥德巴赫猜想的偶数分拆为两素数之和形式的数量也近似地对应不大于这个偶数的2次素数数量。我们从自查的资料中可以看到，后者似乎越来越大于前者的值，这种趋势支持了素数群的猜想。
众所周知，在自然数中，凌乱地散布着素数，并且越来越稀疏。如，120以内的素数依次有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113等共计30个；其中间隔为2的双生素数有十个：（3，5），（5，7），（11，13），（17，19），（29，31），（41，43），（59，61），（71，73），（101，103），（107，109）；四生素数群有：（5，7，11，13），（11，13，17，19），（101，103，107,109）共三个。在每个四生素数群内，素数间隔依次为2，4，2；那么，凡是间隔为2，4的三个素数，就定义为标准三生素数群，在120内共有六个三生素数群：（5，7，11），（11，13，17），（17，19，23），（41，43，47），（101，103，107），（107，109，113）。同理，我们将靠得最近的两个四生素数群定义为八生素数群，其素数间隔为2，4，2，82，2，4，2。如：（11，13，17，19，101，103，107，109）；将靠得最近的两个八生素数群定为十六生素数群，其素数间隔为2，4，2，82，2，4，2，15442，2，4，2，82，2，4，2。如：（101，103，107，109，191，193，197，199，15641，15643，15647，15649，15731，15733，15737，15739）…等。我们模仿三生素数群那样，就还有五生、六生、七生、九生…标准素数群。显然：素数，双生素数对，四生素数群，八生素数群，十六生素数群，…等，是“二歧型”素数群。1，2，4，8，16，…，是以2为底数的w次幂。素数和双生素数对，也可看作群体为1和2的素数群。“二歧型”素数群，其素数间隔的“花纹”是对称和完整的，而其它生素数群的这种“花纹”的尾巴是“残破”的。
为了区别ｍ次素数和ｍ生素数群的函数符号，可将表达后者的符号记为：π（x；ｍ），在括号内用分号将x和ｍ隔开。
例如，上述表明就有：π（120；1）＝30，π（120；2）＝10，
ｍ次素数和ｍ生素数群的数量比较中可以发现非常接近，我们以自然数10000为例，通过查素数表，可得到如下的数量值：
（一）π（10000，1）＝1229   （1）π（10000；1）＝1229
（二）π（10000，2）＝201    （2）π（10000；2）＝204
（三）π（10000，3）＝46     （3）π（10000；3）＝55
（四）π（10000，4）＝14     （4）π（10000；4）＝12
（五）π（10000，5）＝6      （5）π（10000；5）＝7
（六）π（10000，6）＝3      （6）π（10000；6）＝4
在上述的数量比较中，（一），（二），（三），（四），（五），（六）式的ｍ次素数的值，随着x的无穷增大而无穷增大，能够无限次地浓缩下去，这是非常容易证明的；（1），（2），（3），（4），（5），（6）素数群的数量表达式，是数学猜想所要追求的，当自然数越来越大时，其数量是否无穷多？这些素数群数量表达式还可写出无穷多个。随着群体的无穷增大，难度也会越来越大。其中最弱的（2）式，当x无穷大时，其等式右边数量值会是无穷大。这就是目前最为有名的双生素数猜想，按笔者观点，哥德巴赫猜想，也只是双生素数猜想的变种。（4）π（x；4）值，随x无穷增大而无穷增大。这就是四生素数群猜想，按笔者观点，“梁定祥猜想”也同样只是四生素数群猜想的变种而已。ｍ生素数群猜想是双无穷大猜想。可归结为群心数数列为无穷数列的猜想。谁若能证明这一点，也就彻底证明了ｍ生素数群猜想。实际上存在素数群数量均值计算式（注）。
（三）群心数猜想
这些群体为1，2，4，8，16，…2^n等的二歧型2^n生素数群，分布呈现对称状，每个二歧型2^n生素数群必定都有个中心数，可称为“群心数”。最小的：素数，双生素数对，四生素数群，八生素数群，十六生素数群，…等依次为：2，（3，5），（5，7，11，13），（11，13，17，19，101，103，107，109），（101，103，107，109，191，193，197，199，15641，15643，15647，15649，15731，15733，15737，15739），…，等。它们的最小群心数依次为2，4，9，60，7920，…等。本文所指的群心数，特指最小群心数。笔者没有更大的素数表可供参考，目前只能得到由五个群心数所组成的群心数数列。笔者猜测这是个无穷数列。群心数猜想是素数群猜想的浓缩。
现有的群心数数列2，4，9，60，7920，是十进制的1位数、1位数、1位数、2位数、4位数。即形成位数数列：1，1，1，2，4；也可用二进制来表示为：10，100，1001，111100，11110111100，形成二进制的位数数列：2，3，4，6，13；当变换成七进制群心数时为：2，4，12，114，32043，形成七进制的位数数列：1，1，2，3，5，…，等。这看起来像一个以著名数学家斐波那契名字命名的级数（简称斐级数），斐级数的前20个依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，…。
按照斐波那契级数规律，第六个群心数大约为329万左右。估计的方法很简单，因为，第六个群心数应该是七进制的8位数。那么，最小的七进制的8位数是10000000，最大的七进制的8位数是66666666，七进制的8位数的第六个群心数，应该介于两者之间。其平均值应该是两者之和的一半。10000000 = 6666666+1，若忽略1，它的一半就是3333333；66666666的一半就是33333333，所以它的平均值用七进制表示应该是3333333 + 33333333 = 36666666，或者写成更简单的形式为40000000，变换为我们熟悉的十进制数的形式就是4倍7的7次方为 3294172。显然，这个七进制8位数只要最高位是4以外，其它全都写成0，按照以上的估计方法，那么，七进制13位数的第七个群心数，七进制21位数的第八个群心数，就可以立即写成七进制形式为：4000000000000，400000000000000000000等。4后面的连续0的个数，分别是12个和20个。都是斐级数减1就是了。再用十进制表示成7的ｍ次幂形式：4×7^12和4×7^20。若用Qn代表第n个群心数，Fn代表第n个斐数，则上述的猜想就进一步浓缩成以下的近似值：
Qn ≈ 4×7^（Fn-1）
以上素数群猜想的简述，来源于本人2005.1所著的吉林大学出版社出版的《从素数到素数群猜想》一书。另外，群心数近似值的底数是2π或e^2也很可能。如有：
Qn ≈ （π+0.5）（2π）^（Fn-1）
注：虽然我们至今仍然无法找到能精确表达素数群的计算公式，但笔者找到了以下的素数群平均值的计算公式：

素数群均值计算公式已由笔者早在2005年1月吉林大学出版社出版的《从素数到素数群猜想》一书中，公布于世。其中π（x）s也即π（x；s）,Ｈi代表2至Pn的素数间的间隔数列。Ｋsi有两层含义：Ｓ生素数群中的各素数与群中最小素数之间的距离有Ｓ个，而Ｓ个距离，对模2至Pn而得出依次不同余的种数所形成的数列。素数间隔平均值为：Ｈn = Pn /n  其值必趋向无穷大。Ｋsi的值在Ｓ≥Ｋsi ＞1范围。从而（Pi-Ｋsi）/（Pi-Ｈi）连乘的值，必是一条两头翘的正数曲线，其最低值总是大于0值，Pn趋向无穷大。据此，我们可以证明Ｓ生素数群数量平均值也趋向无穷大。在此，省略具体详细的证明步骤。
苏州丝博退休一老翁2007.8.25

顽石

网友们:新春好!   
    在东陆论坛与众多网友辩论了整整三个月，参与辩论的人次达到600多后才基本结束，《自然数两大问题》一文，在2007.11.26被论坛置顶。从2007.8.26至今，人气已达1.4万人次。如果先生们有兴趣的话，可以翻开东陆论坛哥德巴赫孪生素数分论坛，观看双方激烈辩论的整个过程。自然数数量问题，属于《自然数两大问题》的第一个问题。
    全体自然数和全体小数数量相等，要点有如下：
    1.  镜像对称证明。
    2.  康托尔的十进制对角线法证明全体小数比全体自然数的数量多无穷多个，因为可产生无穷多的没有被一一对应的“新”十进制小数；而改为二进制对角线法，就只能产生一个“新”的小数，未被对应，这对无穷大来说已经毫无意义。因此，康托尔的对角线法为假。
    3.  康托尔认为全体自然数的数量级别是阿列夫0，（即具有∞的势）；全体小数的数量级别是阿列夫1，（即具有∞^∞的势）。但是，我也能证明，全体自然数的数量级别，也具有∞^∞的势，与全体小数的势相同。
    4.  只要证明0至1线段点与点之间存在间隙，就是每个点具有可数性，若无穷多个点粘连在一起，是无法分离的连续统，就不可数。但，我们可以证明连续统不存在。

顽石

（因为粘贴示意图非常困难，若要看这个示意图请到<东陆论坛>看一篇不带任月扬的《以一道有趣的数学题形式向大家呼吁》帖子，这个示意图是我偶然粘贴上去的，再想要重复一次已经不能。若有哪位朋友指导我一下，非常感谢了！） 这个示意图是《以一道有趣的数学题形式向大家呼吁》一文的附图。《以一道有趣的数学题形式向大家呼吁》是笔者最重要的帖子之一，如果反方先生们，都能够静下心来仔细地看几遍，并且认真思考一下，我相信他们最终会同意我的观点！ 正方形ＡＢＣＤ中，凡是有两条对角线交叉的越来越小正方形，有无穷多个，对角线交叉点，表示依次分割ＢＤ线段，成为越来越短线段的长度处是：1/2，1/4，1/8，1/16，1/32，…，1/2^n，n趋向无穷大。这些十进制分数的求和值，若变换成二进制时，就是二进制的0.11111……11，可与二进制11……11111的一一对应：0.1对应10，0.01对应100，0.001对应1000，0.0001对应10000，0.00001对应100000，…，10^-n对应10^n，n趋向无穷大。 如果对这个附图，改变一下图形，就可用于十进制的0.99999……99与99……99999的一一对应。只要把上述分数依次改为9/10，9/100，9/1000，9/10000，9/100000，…，9/10^n，n趋向无穷大。一一对应：0.9对应90，0.09对应900，0.009对应9000，0.0009对应90000，0.00009对应900000，…，9×10^-n对应9×10^n，n趋向无穷大。 再改变一下图形，同样可用于0.33333……33与33……33333的对应：0.3对应30，0.03对应300，0.003对应3000，0.0003对应30000，0.00003对应300000，…，3×10^-n对应3×10^n，n趋向无穷大。最后结果是：把科西极限掉的，比3×10^-n这个无穷小更小的线段，竟然包含着比这个3×10^n个无穷多点更多得多的无穷大！ 我再罗嗦如下： 自然数1，2，3，共3个自然数的数段，对应自然数的镜像对称型小数0.1，0.2，0.3，共3个小数的数段； 自然数4到33，共30个自然数的数段；对应自然数的镜像对称型小数0.4到0.33，共30个小数的数段； 自然数34到333，共300个自然数的数段；对应自然数的镜像对称型小数0.34到0.333，共300个小数的数段； 自然数334到3333，共3000个自然数的数段；对应自然数的镜像对称型小数0.334到0.3333，共3000个小数的数段； ……； 自然数[10^n/3] + 1到[10^（n+1）/3] ，共3×10^n个自然数的数段；对应镜像小数[10^n/3]/10^n + 1/10^n到[10^（n+1）/3]/10^（n+1）共3×10^n个小数的数段，n趋向无穷大。

顽石

/10^（n+1）共3×10^n个小数的数段，n趋向无穷大。

hxl268

原创]0.333....是一类无限逼近1/3的“更无理”数

顽石

hxl268先生:您好!
    [点击查看]您的文件说是有危险,不知道是什么意思?
    而您的"0.333....是一类无限逼近1/3的“更无理”数"观点我表示赞同!

hxl268

再论小学数学也有小学生也能察觉的常识性错误(上网版) ——不识“更无理”数必使人犯极低级错误 （此文经编辑改标题公开发表在《教育前沿》2007（12）） 黄小宁 通讯：广州市华南师大南区9—303第二信箱，510631 [摘要] 削足适履地定义非0误差0.999…—1= 0就是定义1/10n→0能到达0处，这是小学生也能一眼看出的违反起码数学常识的重大错误。将无穷多个数定义为一个数显然是以球为宇的极荒唐错误思想方法。此方法成功地掩盖了这一事实：无限循环小数是异于任何已知数的“更无理”数、已知实数全体仅为实数宇宙中的一颗星球罢了！ 关键词 小学数学；2500年常识性错误；分形几何；0.99…≠1；有首、末项的无穷数列；无限循环小数并非有理数 早在认识无理数之前数学家们就断定1—0.99……= 0了。其实这是2500年的常识性错误。 一再获此发现的关键是常识：变量必可遍取变域内的每一数即必可将变域内的数全部取出。将无穷多个数定义为一个数显然是以球为宇的极荒唐错误思想方法。要害是破解数学难题如破案，要过细，粗枝大叶往往搞错：将非0误差定义为0误差。小学生也一眼看出“长度为0的点能组成有长度的线段（点集）”是典型的违反常识的无中生有论啊！ 太使人承受不了的发现来自于太浅显的常识：由大到小取值的变量要取出x必先将变域内一切比x大的数全部取出。 一、对变量与无穷集不能只有一知半解的肤浅认识，更不能有错误的认识 无穷集B=[a, b]内也有该集的最小、大数a与b。变域为B的x由大到小一次次取值，必能有最后一次的取值：取到a后就无数可取了。即其取数过程是有完有了、有始有终的。这是“无穷无尽”与“有穷有尽”的对立统一性在数学中的生动体现。地球与宇宙相比是极小极小…（无穷多个极小）的无穷小天体，但其与人相比又是有穷小天体。这是宇宙中“无穷”与“有穷”的对立统一性。又例如无限可分的原子就是“小宇宙”。人不可将无穷集内的数全部取出，≠相应变量不能。对人而言B内数多得取之不尽，但相应的变量x却可取尽B内数，正如人制造的机器人能干人所不能干的事一样。此由大到小取值的x必取尽无穷集(a，b)的一切数后才取a,即其必取至再也无除a外的任何数可取了,才取a。数学有定理断定此x在→a的过程中总与a相隔无穷多个属B的数，即说其总远远不能取尽“吃光”a与b之间的数，从而更不能到达a处。这显然是违反起码数学常识的定理。所以如[1]所述在B中必有紧贴a的数x＞a与a之间没有任何可取的数了。同理B各元x必有与之紧贴的数。限于篇幅本文只揭数学内违反常识的错误的冰山一角。常识：沿x轴运动的动点由位置b处运动至a处必遍经两处之间的一切位置之后才能到达a处。 关键：变域是变量所有能取的数组成的数集。故凡变量必能有序地遍取其变域内的一切数。不明此理者，对变量的认识还未入门。凡变量必有变域，无穷大是取数的变量。 由大到小取值的y=x•x≥0必取尽变域H内的一切正数后才能取0，即其必取到无正数可取了，才取0，正如由大到小取值的x必取0之后才能取负数一样。由一切非负实数组成的数集中有最小数0，同理，在无穷集H中必有最小正数y=c。y取c后就无正数可取了。因为若说此y取正数的过程没完没了，显然就是说其不可取尽变域的一切正数，从而更谈不上能取0。这显然违反起码数学常识。所以在H中并非任何正数y都有同属H的对应数y/2等。如根号2不能纳入有理数系内一样，有太小正数也不能纳入H内。 对无穷现象的幼稚认识使世人误以为有首项的无穷数列必无末项。设空箩筐K装进了无穷数列A：1，2，3，…，n，n+1，…的一切数， 这一切数组成数集D。变域为D的n必能由小到大地将D内数全部取出，从而使K变得空无一数。若K内总有数，那就表明相应的变量不能将K内数全部取出，即其变域必非D。说变量n每取出一数n（n所取各数也均由n代表）后，K内总至少还剩有一数n+1，即K总不能变空，显然就是说此n不能将K内数取尽。能将K内数取尽的n在由小到大取值的过程中必能取至一n后就无数可取了，此n的后继n+1不属D；此n显然就是数列A的末项。文献[1]论证了任何正数集均有该集的最小、大正数。小学生也一眼看出y = n+1＞n=1，2，3，……表达y可＞数列A的一切数，即其必可取D外数y＞D的一切数n。可见表达式限制式中n不可取一切非0.自然数。形成鲜明对比的是n-1＜n=1，2，3，……中的n就可取一切自然数。不能头脑简单地断定数列A包含一切非0自然数啊！这充分说明：①D内必有一n的后继n+1是D外数。②若D各元n均有对应数n+1，则并非这所有的n+1都还在D内。即n+1的变域不是D的真子集。 二、对极限论不能只有一知半解的肤浅认识 因为A是无穷数列，所以A中必有n与1相隔写不完的那么多个自然数，此n＞“任给定”正数M显然是无穷大自然数。否定此事实与否定根号2是无理数一样都是极荒唐的。极限论断定n→∞变至后来所取各数n均＞任意给定的正数M = 1/ε。极限论断定无穷数列{1/n}中从某项开始以后各项均＜“任意给定”的正数ε。正实变量x→0从某时刻起以后所取各正数x均＜ε。可见，极限论间接断定有正数＜ε及有其倒数。不明此理的极限论之父对极限论的认识还很肤浅。这使数学一直存有起关键作用而又用而不知的“特异”数，正如原始人对氧气一直用而不知一样。不懂这类数就不懂微积分的精髓，更使数学无法自圆其说。 “不能将D内数取完”本身就表示取数的变量的变域绝非D。若每打死一只狼n都必有一前仆后继的后继狼n+1扑上来，则打不尽狼决不下岗的战士永不能下岗，因其不能将狼打尽。所以能打尽狼的战士必能打至一狼n后就无狼可打了。即在狼群D中并非每只狼n都有后继n+1∈D。根据变域的定义，凡变量必能有序地取完变域内的一切数。据此，D内必有最大的n。又例如：在“分形几何”中有一“柯赫岛折线”是闭折线，它所围成的图形的面积是常数1，而图形的周长却是>“任给定正数”M的“无穷大数”。将折线剪断拉直，就成为无穷长直线段了。这是有始点与终点而长度却是无穷大的直线段l。否则此l就不能还原为原来的闭折线了。数学中只能在自然数集N内取值的n可→∞表明N内暗含有＞M的数。极限论断定无穷数列{n}中从某项起以后各项均＞M。 将不能将D内数取尽的变量的变域误以为是D就是搞错了变量的变域。这是根本性的错误。没能及时发现，就必引出一连串的重大错误。例如康脱推出D各元可与其真子集各元一一对应。 文献[2]：“|Cn|可以变得超越任何有限数（对随便什么M＞0,它都能变得比M大），…{Cn}的极限是∞。”这“超越任何有限数”的|Cn|＞M显然是只能与无穷长直线段相对应的无穷大正数。 无穷数列0.1，0.01，0.001，……的各项均为正数且第n项是n位小数，数列的任何小数都有末尾且末尾都是1，各末尾外的数字都是0。由于这是无穷数列，故其必有无穷多个小数位的无穷小正数0.00…01＜ε（1与小数点相隔写不完的那么多个0）。然而这却是有头有尾的一串数字。不明此理者不知何为无穷数列、不知何为极限论。无穷数列的各项均为具体的、确定的数。可见有无限长的数列0，0，…，0，1。 三、不明以上真相的数学教师以讹传讹误人子弟 由1÷3的除法运算可知 1=3•0.3+余数0.1 =3•0.33+余数0.01 =3•0.333+余数0.001 ••• =3•0.33…3+余数0.00…01（省略号表示的0多得写不完,正如1与2之间的数多得写不完一样。） ....... 1÷3除不尽说明以上各个余数全不为0。以上余数组成的无穷数列F={1/10的n次方}，其n＞1/ε=M的各项均为形如0.00…01（n＞M位小数）的无穷小正数＜ε。所以定义无穷多个9的0.999…=1就是定义数列F中的无穷小数为0——这显然是常识性错误！同理，定义0.33…=1/3也是常识性错误！…。F中显然有无穷多个无穷小正数。 不少小学生均能根据以上余数均非0而正确地察觉到形如0.99…的数无限逼近1，但≠1。然而老师们却硬说学生们不对。定义1/10的n次方→0能到达0处，显然是常识性错误。真相是1=0.99…9+非0余数0.00…01（两项均为n=n0＞M位小数）。注：变量n＞M所取各数均为＞M的无穷大自然数。0.99……表示的是一类数而非一个数。 以上表明无限循环小数是异于任何已知数的“更无理”数。由发现无理数到发现更无理数竟须历时2500年！但小学生们能一眼看出0.99…无论有多少个9都≠1。数列F是无穷数列的标志是数列中有无穷多个小数位的无穷小正数。 以上表明定义无穷级数0.9+0.09+0.009+…的所有项的和=…的极限1，是错误的定义。无限逼近与重合相等是两个根本不同的概念。由上可见任何已知实数x均有无穷多与之无限逼近而又不重合的“特异”数x±a（a＜ε且＞0）。故已知实数全体仅为实数宇宙中的一颗星球罢了！没有受到以球为宇重大错误误导的小学生能一眼看出……。受错误知识严重伤害的“官科”的知识水平远不如…啊！康脱将有无穷多个正数的“基本数列”F定义为一个数0。小学生也一眼看出这是典型的以球为宇的思想方法。 反复强调：无限长的数列也可有首末项。0.00…01（由写不完的0与1个1组成）+相应的0.99…=1。数列F某项=1—0.99…=0.00…01=dx的数字0多得写不完，但不能因此断定小数点后面全是0。否则就误以为1/dx=1/0了。dy=dx/100<<正数dx表明dx也有 相比下>>0的性质。微分是取数的变量！ 参考文献 [1] 黄小宁 再论任何正数集V+均有最小、大正数——推翻百年康脱无穷集论破解2500年芝诺世界难题，见： 中 国精典文库[C]，北京：中国大地出版社：2004.10:814 [2] 周伯壎 数列与极限[M]，江苏人民出版社，1978.12：27。 [3] 黄小宁 小学数学也有小学生也能察觉的常识性错误,学习方法报•教研版[N]，2002.12.27第345期。 [4] 黄小宁 小学数学显示无限循环小数并非有理数，见：中国学校教育研究•数学卷[C]，北京：中国统计出版社，2001.12:103。 完成于2006.3.22，改进于2007-2-9。电子信箱：hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母） 电 话：020-88506843

顽石

黄小宁先生:
    东陆论坛,我仍然无法进入,您是否也是如此?请回答.

hxl268

下面引用由顽石在 2008/04/06 05:01pm 发表的内容：
黄小宁先生:
    东陆论坛,我仍然无法进入,您是否也是如此?请回答.

我可以进入却无法发文章。

申一言

现在都可以了.(2008.4.7)