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楼主: 蔡家雄

本原勾股方程

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 楼主| 发表于 2020-2-21 17:24 | 显示全部楼层
求 a^2+(a+23*49)^2=c^2 的本原勾股数通项公式

设 x, y 为正整数,且 x < y,且 x与y 互素,

求 |y^2 - x^2 - 2*x*y| =23*49 的最小2^2组 正整数解,

设 xi, yi 表示 每组的最小正整数解,

设 R1=xi, R2=yi,  R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn,得4组Rn数列

第1组 Rn=24, 29, 82, 193, 468, 1129, 2726, 6581, ...

第2组 Rn=26, 41, 108, 257, 622, 1501, 3624, 8749, ...

第3组 Rn=11, 48, 107, 262, 631, 1524, 3679, 8882, ...

第4组 Rn=19, 62, 143, 348, 839, 2026, 4891, 11808, ...

设 v, u 是 Rn 数列中连续的两项,

则 (u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2

是 两直角边相差23*49 的本原勾股数。

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 楼主| 发表于 2020-2-21 17:27 | 显示全部楼层
若 a^2+b^2= c^2,

且 a+b= 7*17*23,

由 7*17*23 有 3个不同的素因子,

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(3-1)组 本原勾股数。

1-----( a=73, b=2664, c=2665 )

2-----( a=1425, b=1312, c=1937 )

3-----( a=1705, b=1032, c=1993 )

4-----( a=2173, b=564, c=2245 )

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 楼主| 发表于 2020-2-21 19:45 | 显示全部楼层
若 a^2+b^2= c^2,

且 a+b= 71*73*79*89,

由 71*73*79*89 有 4个不同的素因子,

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(4-1)组 本原勾股数。

1-----( a=1692817, b=34748856, c=34790065 )

2-----( a=9236565, b=27205108, c=28730333 )

3-----( a=12389217, b=24052456, c=27055745 )

4-----( a=21126105, b=15315568, c=26093657 )

5-----( a=23824017, b=12617656, c=26959025 )

6-----( a=24777285, b=11664388, c=27385613 )

7-----( a=33833865, b=2607808, c=33934217 )

8-----( a=35044317, b=1397356, c=35072165 )

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 楼主| 发表于 2020-2-21 19:47 | 显示全部楼层
特殊勾股方程

若 a^2+b^2= c^2,

且 a+b=r^n 及 c=s^n, ( n>=2 )

的 本原勾股数,你能找到吗?

若 a^2+b^2= c^2,

且 a+b=r^2 及 c=s^2, ( r, s 均为整数 )

的 本原勾股数 是 存在的。

a=1061652293520 , b=4565486027761 , c=2165017^2

a, b 互质,且 a+b=2372159^2 及 c=2165017^2.

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 楼主| 发表于 2020-2-21 20:03 | 显示全部楼层
蔡氏勾股弦方程

若(a, b, c)为本原勾股数,

且 a+b= c+2n ,

若 2n 有 t个不同的素因子,

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。

特例:
若 2n=2^k ,

则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组 本原勾股数。


若(a, b, c)为本原勾股数,

且 a+b= c+7744 ,

由 7744 有 2个不同的素因子,

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(2-1)组 本原勾股数。

1-----( a=22385, b=9792, c=24433 )

2-----( a=7745, b=29992512, c=29992513 )

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 楼主| 发表于 2020-2-21 20:09 | 显示全部楼层
若(a, b, c)为本原勾股数,

且 a+b= c+2020 ,

由 2020 有 3个不同的素因子,

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(3-1)组 本原勾股数。


1-----( a=12221, b=2220, c=12421 )

2-----( a=2045, b=83628, c=83653 )

3-----( a=257045, b=2028, c=257053 )

4-----( a=2021, b=2042220, c=2042221 )

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 楼主| 发表于 2020-2-22 16:36 | 显示全部楼层


请看,朱火华的点评:

证明:朱火华连小学数学:都没学好!


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发表于 2020-2-22 16:57 | 显示全部楼层
蔡家雄 发表于 2020-2-22 08:36
请看,朱火华的点评:

证明:朱火华连小学数学:都没学好!

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点评

这个解数公式,数学家于 200 年前早已得到,不是朱火华的发现。哈,哈哈,哈哈哈,  发表于 2020-2-22 19:04
这个解数公式,数学家于 200 年前早已得到,不是朱火华的发现。哈,哈哈,哈哈哈,  发表于 2020-2-22 19:03
这个解数公式,数学家于200年前早已得到,朱火华:不是首创。哈,哈哈,哈哈哈,  发表于 2020-2-22 17:11
这个解数公式,数学家于200年前早已得到,朱火华:不是首创。哈,哈哈,哈哈哈,  发表于 2020-2-22 17:09
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 楼主| 发表于 2020-2-22 17:44 | 显示全部楼层


这个图片,我是照着一本数论书输入word后的截图,

注意:不是 cai jiaxiong 的发现,但,我一直保存在PC中。


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 楼主| 发表于 2020-2-23 10:32 | 显示全部楼层
勾股数组会群英,宿世因缘聚数坛。

与君缘分若是浅,岂能功成到彼岸?
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