[转帖]求不超过3个重复数字的11位数的个数

白新岭

有这样一群11位数，它中的任何一个数没有4个以上重复数字，即最多可有3个重复数字，不同的数字都可以重复3次一下，例如33322211100是符合要求的。问这样的11位数有多少个。

gaocd

非陆教授解答不可，
别人还没这个水平。

wanwna

33322211133满足你的要求吗？

luyuanhong

这个问题确实很复杂，看来，只能仔细列出各种可能的情况，逐一计算如下：

白新岭

[这个贴子最后由白新岭在 2009/07/13 11:54am 第 1 次编辑]

按陆教授的解释，好像有不对的地方，如果是符合要求的一种情况：有一个重复3次，2个重复2次，4个不重复的话，如果符合概率的话，应该是20956320000的9/10，因为选0时，首位不可选，这种简单的概率比值是否正确，实际值是18860688000吗？
（范例结果中少了1个0，不是2095632000）
（一） 0不参与时，有C(9,1)*C(11,3)*C(8,2)*C(8,2)*C(6,2)*C(6,4)*4! ；
（二）0参与时，（1）有三个0时，先从10个位置任选3个位置安排3个0，其余8个位置任意安排，C(10,3)*C(9,2)*C(8,2)*C(6,2)*C(7,4)*4!, （2）有2个0时， 先从10个位置任选2个位置安排2个0，其余9个位置任意安排，C(10,2)*C(9,1)*C(9,3)*C(8,1)*C(6,2)*C(7,4)*4!, (3)有1个0时，先从10个位置任选1个位置安排1个0，其余10个位置任意安排，C（10,1)*C(9,1)*C(10,3)*C(8,2)*C(7,2)*C(5,2)*C(6,3)*3!.
这样把它们加在一起为：C(9,1)*C(11,3)*C(8,2)*C(8,2)*C(6,2)*C(6,4)*4!+C(10,3)*C(9,2)*C(8,2)*C(6,2)*C(7,4)*4!+C(10,2)*C(9,1)*C(9,3)*C(8,1)*C(6,2)*C(7,4)*4!+C（10,1)*C(9,1)*C(10,3)*C(8,2)*C(7,2)*C(5,2)*C(6,3)*3!=6286896000+1524096000+3429216000+7620480000=18860688000。这种分析结果确实占0.9，（指18860688000/20956320000=0.9，数字0在首位出现的概率占1/10）。

白新岭

如果是1个数字重复3次，4个数字重复2次；还有好多情况，应该有11的不超过3个数的全部分拆数目，即x=11,2x=11,3x=11,x+2y=11,x+3y=11,2x+3y=11,x+2y+3z=这7个方程的所有正整数解的组数和。前3个方程无解，,x+2y=11有5组解，x+3y=11有3组解，2x+3y=11有2组解，x+2y+3z=11有5组解，共15组解，也就有15种情况。考虑其反面简单吗？如有11个重复数字，10个重复数字，9个重复数字（2小类），8个重复数字（3小类），7个重复数字(5小类），....，也挺复杂的。

白新岭

[这个贴子最后由白新岭在 2009/07/13 04:05pm 第 1 次编辑]

如果先用9个数字组成11位，10位，9位，8位符合要求的，再把10位个数*10，9位个数*45，8位个数*120.  就得到最后答案了。
（1） 10位数（由不超过9个数字组成的，且符合要求）分13种情况，只有重复2次的1种，重复2次与3次的一种，重复3次和不重复的有3种，重复1，2次的4种，重复1，2，3次的4种。
（2） 9位数（由不超过9个数字组成的，且符合要求）分12种情况，不重复的1种，重复1，2次的4种，重复1，2，3次的3种，重复2，3次的1种，重复1，3次的2种，只有3次重复的1种。
（3） 8位数（由不超过8个数字组成的，且符合要求）分10种情况，不重复的1种，重复1，2次的3种，重复1，2，3次的2种，重复2，3次的1种，重复1，3次的2种，只有2次重复的1种。

luyuanhong

下面引用由白新岭在 2009/07/13 11:50am 发表的内容：
按陆教授的解释，好像有不对的地方，如果是符合要求的一种情况：有一个重复3次，2个重复2次，4个不重复的话，如果符合概率的话，应该是20956320000的9/10，因为选0时，首位不可选，这种简单的概率比值是否正确， ...

我以为你说的“11位数”是像手机号码、银行帐号、彩票号码那样的号码，这种号码前面有0是允许的，比如“00011122233”。
第4楼中我的计算结果，是在允许前面有0的情况下算出的答案。如果把“11位数”理解为不允许前面有0，那计算就要复杂多了。

白新岭

在这样的11位数中，首位出现0的概率与出现其他数字的概率一致吗？如果一致，就可以按陆教授给的结果*9/10了。

luyuanhong

下面引用由白新岭在 2009/07/13 05:07pm 发表的内容：
在这样的11位数中，首位出现0的概率与出现其他数字的概率一致吗？如果一致，就可以按陆教授给的结果*9/10了。

你的想法有道理。在11位数的构成中，“0”的地位，与其他 9 个不是“0”的数字的地位是完全等同的。
所以，首位是“0”的符合要求的 11 位数，应该在全体符合要求的 11 位数中正好占 1/10 。