数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 336|回复: 3

[原创]证明[n!e^-1+0.5]能被(n-1)整除

[复制链接]
发表于 2010-5-20 18:21 | 显示全部楼层 |阅读模式
[watermark]证明[n!e^-1+0.5]能被(n-1)整除,这是熊一兵的[求助]涉及帽子的组合个数问题--引深出来的一道命题。
 楼主| 发表于 2010-5-21 08:17 | 显示全部楼层

[原创]证明[n!e^-1+0.5]能被(n-1)整除

elimqiu先生以给出了答案。
他是用递推关系式证明的。
他已经提到置换群,我对这个一瞧不同,提出此命题的直观依据是Excel软件做实际模型数据时得到的:
现在从1到n排列着n个人,每个人头上有一顶帽子,现在求,如果任何人没有戴自己的帽子的话,共有多少种方法,设共有An种办法,如果第一个人戴着自己的帽子,则其他的人如何戴,都不符合要求,设第二个人戴了第一个人的帽子,同时设此时符合要求的戴法为F(n-1)种,这时除了第二个人戴着第一个人的帽子不动外,其余的人都参与了戴帽子轮换,然后分别用第三个人与第二个人换位置,(开始也是第二个人站到第一个人的位置上),第m个与第m-1个人换位置,这中置换方式有n-1种,所以,戴帽子的方法数可以整除n-1.
Excel软件制作的实例模型就是用的这种置换(指我发出的数据)得到的,点击编辑栏的替换功能就可以达到目的。
发表于 2010-5-21 13:04 | 显示全部楼层

[原创]证明[n!e^-1+0.5]能被(n-1)整除

我们可以不用置换群的概念。
从陆老师的通项公式得递推关系  a(n) = n a(n-1)+(-1)^n
于是 a(n)=(n-1)a(n-1)+a(n-1)+(-1)^n=(n-1)a(n-1)+((n-1)a(n-2)+(-1)^(n-1))+(-1)^n
         =(n-1)(a(n-1)+a(n-2))
另一方面我们已经知道 a(n) = [n!/e+1/2]
所以 [n!/e+1/2] 能被 n-1 整除
 楼主| 发表于 2020-10-17 20:51 | 显示全部楼层
已经想不起当时的思路了。所以偶然想到的东西要理清思路记录下来。
回复 支持 反对

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2020-11-27 15:48 , Processed in 0.070312 second(s), 15 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表