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正整数递增数列 {a(n)} 满足 a(n+2)=a(n+1)+a(n)(n≥1),已知 a(7)=120,求 a(8)

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发表于 2020-10-17 16:22 | 显示全部楼层 |阅读模式
數列問題請問

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  • · 入先|主题: 21, 订阅: 0
发表于 2020-10-17 20:13 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2020-10-17 21:21 编辑

正整数递增数列 {a(n)} 满足 a(n+2)=a(n+1)+a(n)(n≥1),已知 a(7)=120,求 a(8)

  a8   a7     a6    a5    a4    a3    a2   a1
186=120+66→54→12→42
194=120+74→46→28→18→10→8(答案194)
198=120+78→42→36→  6→30
204=120+84→36→48
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 楼主| 发表于 2020-10-18 12:41 | 显示全部楼层
波斯猫猫 发表于 2020-10-17 20:13
正整数递增数列 {a(n)} 满足 a(n+2)=a(n+1)+a(n)(n≥1),已知 a(7)=120,求 a(8)

  a8   a7     a6    ...

有沒有不用解答反推的方式?
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发表于 2020-10-18 13:54 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2020-10-18 14:14 编辑

如果一个数列是用递推公式给出的,一般情况下是要给出前几项的,如a1,a2,...等,而本题未给出这样的项。对不同的a1、a2的值,所确定的数列是不同的。拟题者把这种情况做为选择题,其意恐怕就是让做题人去“反推”吧!?不过,我首先是这样思考的,并未做其它思考。

做题是要抽yan的!很纠结。很多时候就看看而已。有时也要小小的过过瘾。

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王守恩 + 15 抽yan=?

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发表于 2020-10-18 15:05 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-10-18 15:10 编辑
波斯猫猫 发表于 2020-10-17 20:13
正整数递增数列 {a(n)} 满足 a(n+2)=a(n+1)+a(n)(n≥1),已知 a(7)=120,求 a(8)

  a8   a7     a6    ...


谢谢波斯猫猫!看见了您的答案,才琢磨出下面想法的。

\(5a_1+8a_2=120\ \ \ (1)\)
\(8a_1+13a_2=?\ \ \ \ (2)\)
\(由(1):a_1=\frac{120-8a_2}{5}\ \ 代入(2)\ \ ?=192+\frac{a_2}{5}\)
\(由(1):a_2=\frac{120-5a_1}{8}\ \ 代入(2)\ \ ?=195-\frac{a_1}{8}\)
\(即:192<\ \ ?\ <195\)
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发表于 2020-10-18 16:48 | 显示全部楼层

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发表于 2020-10-18 17:18 | 显示全部楼层
\(a_n=aF_n+hF_{n-1},\;\small(\{F_k\}_{k=0}^\infty=0,1,1,2,3,5,8,13,21,\ldots)\)
\(a_7=aF_7+hF_6=13a+8h=120\)
\(13a=8(15-h),\;(a,h)=(8,2)\)
\(\therefore\quad a_8=8F_8+2F_7=8\times 21+2\times 13=194\)
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发表于 2020-10-18 17:55 | 显示全部楼层


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发表于 2020-10-19 12:11 | 显示全部楼层
\(a,h\in\mathbb{N}^+,\,13a=8(15-h)\implies 13\mid 15-h\implies h=2\implies a=8\)
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发表于 2020-10-19 12:22 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-10-19 12:56 编辑
波斯猫猫 发表于 2020-10-17 20:13
正整数递增数列 {a(n)} 满足 a(n+2)=a(n+1)+a(n)(n≥1),已知 a(7)=120,求 a(8)

  a8   a7     a6    ...


这样也行!
\(5a_1+8a_2=120\ \ \ (1)\)
\(8a_1+13a_2=?\ \ \ \ (2)\)
\((1)×13/8:8.125a_1+13a_2=195\ \ \ \ (3)\)
\((1)×21/13:8.1a_1+12.9a_2=193.8\ \ (4)\)
\(\displaystyle比较(2),(3),(4):120×\frac{13}{8}>\ \ ?\ >120×\frac{21}{13}\)
\(得:\ \ ?\ =194\)

\(\displaystyle一般地,已知a_{k},求a_{k+1},可以这样:\)

记{F\(_{k}\)}\(_{k=0}^{\infty}=0,1,1,2,3,5,8,13,21,......\)


\(\displaystyle a_{k}*\frac{F_{k}}{F_{k-1}}>a_{k+1}>a_{k}*\frac{F_{k+1}}{F_{k}}\)
\(\displaystyle a_{k+1}的数量=\frac{a_{k}}{F_{k}*F_{k-1}}个(不是唯一解)\)
\(譬如:\displaystyle a_{7}=2358,求a_{8},\ \ a_{8}可以有\frac{2358}{13*8}=22个解\)
\(a_{10}=12358,a_{11}=19991,19992,19993,19994,19995,19996,19997\)
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