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标题: 连体四生素数 [打印本页]

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-20 08:12
标题: 连体四生素数
连体四生素数的可能间距
定义：间距分别为2,4,2的四生素数称之为最密四生素数，其跨度等于8；
两组跨度等于8的最密四生素数称之为二连体四生素数；
三组跨度等于8的最密四生素数称之为三连体四生素数；……

说明一：二组、三组最密四生素数之间可以有其它素数，也可以没有其它素数；
如果允许各组最密四生素数之间有素数存在，则它们的数量是非常多的，
因为任意截取2,3,……组相邻的最密四生素数都可认为它们是连体四生素数；
如果不允许各组最密四生素数之间有素数存在，则它们的数量要少的多。
说明二：单从连体四生素数名称看，这里的四生素数可以是跨度最小的，也可以不是；
此处的四生素数默认为的宽度等于8的最密四生素数。

二连体四生素数的间距只能是30,90,120,180,210，及30,90,120,180+210k，210k；
不存在间距60，150，60+210k，150+210k的二连体四生素数。

附注：本帖及以下各贴已在白新岭《K生素数群的数量公式》中发布过，这里是我的汇总贴。

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-20 08:12
三连体四生素数的可能间距（19种）：
--       30       60       90       120       150       180       210
30       ×       ×       Y       ×       ×       Y       Y
60       ×       ×       ×       ×       ×       ×       ×
90       Y       ×       Y       Y       ×       ×       Y
120       ×       ×       Y       Y       ×       Y       Y
150       ×       ×       ×       ×       ×       ×       ×
180       Y       ×       ×       Y       ×       ×       Y
210       Y       ×       Y       Y       ×       Y       Y
19Y       3       0       4       4       0       3       5
标注Y的单元格表示可能存在三连体（最密）四生素数；
标注×的单元格表示不可能存在那样的三连体四生素数。
在间距分别等于30,90,120,180的基础上再加上210k，与不加210k的有无相同，从略。

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-20 08:12
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-7-21 10:37 编辑

四连体四生素数的可能间距（42种）：
下表中7，11表示通不过素数7或11的检验；
7.11表示即通不过7的检验，又通不过11的检验；
7.13表示即通不过7的检验，又通不过13的检验；
空白单元格处才有可能存在那样的四连体四生素数；表中没有列出+210k的情况。
间距1       间距2       间距3       存在否
（一）
30       90       30       7.11
—       —       90
—       —       120       11
—       —       180       7.13
—       —       210
（二）
30       180       30       11
—       —       90       7
—       —       120
—       —       180       7
—       —       210       11
（三）
30       210       30       7
—       —       90
—       —       120       7
—       —       180
—       —       210       11
（四）
90       30       30       7
—       —       90       11.13
—       —       120       7
—       —       180       11
—       —       210
（五）
90       90       30
—       —       90       7
—       —       120
—       —       180       7
—       —       210
（六）
90       120       30       7
—       —       90       11
—       —       120
—       —       180       11
—       —       210
（七）
90       210       30
—       —       90
—       —       120
—       —       180       7
—       —       210       11
（八）
120       90       30       11
—       —       90
—       —       120
—       —       180       7
—       —       210       11
（九）
120       120       30       7.11
—       —       90
—       —       120       7.11
—       —       180
—       —       210
（十）
120       180       30
—       —       90       7
—       —       120       11.13
—       —       180       7.11
—       —       210       11
（十一）
120       210       30       7
—       —       90
—       —       120
—       —       180
—       —       210
（十二）
180       30       30       7
—       —       90       11
—       —       120       7
—       —       180       11
—       —       210
（十三）
180       120       30       7
—       —       90       11
—       —       120
—       —       180       7.11
—       —       210
（十四）
180       210       30
—       —       90       7
—       —       120
—       —       180       7
—       —       210
（十五）
210       30       30       7
—       —       90
—       —       120       7.11
—       —       180
—       —       210       11
（十六）
210       90       30
—       —       90
—       —       120       11
—       —       180       7
—       —       210       11
（十七）
210       120       30       7
—       —       90
—       —       120
—       —       180
—       —       210
（十八）
210       180       30       11
—       —       90       7
—       —       120       11
—       —       180       7
—       —       210
（十九）
210       210       30       11
—       —       90
—       —       120
—       —       180
—       —       210       11

附注：本帖所给的可能间距不全，请参看34-35楼重发的间距表。

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-20 08:13
第一组中间无其它素数的二连体四生素数（总跨距38）是：
1006301       1006303       1006307       1006309
1006331       1006333       1006337       1006339

第二组中间无其它素数的二连体四生素数（总跨距38）是：
10531061       10531063       10531067       10531069
10531091       10531093       10531097       10531099

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-20 08:14
网页A213904给出10000个间距30n的二连体四生素数之首素数，其中前30个是（表中的0表示不存在这样的二连体四生素数）：
序号       首素数       公差
1       1006301       30
2       0       60
3       11       90
4       1022381       120
5       0       150
6       3512051       180
7       1871       210
8       632081       240
9       0       270
10       1121831       300
11       15731       330
12       0       360
13       1481       390
14       1155611       420
15       1068251       450
16       0       480
17       18911       510
18       284741       540
19       0       570
20       12390011       600
21       191       630
22       821       660
23       0       690
24       3837131       720
25       875261       750
26       0       780
27       854921       810
28       10865291       840
29       18041       870
30       0       900

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-20 08:14
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-7-20 18:50 编辑

网页A059925给出10000间距30的二连体四生素数之首素数，其中部分四生素数之间还有其它素数，1#、5#等部分素数中间无其它素数，前30组二连体四生素数是：
序号       首素数       其它素数
1       1006301       无
2       2594951       有
3       3919211       有
4       9600551       有
5       10531061       无
6       108816311       无
7       131445701       无
8       152370731       有
9       157131641       有
10       179028761       有
11       211950251       有
12       255352211       无
13       267587861       无
14       557458631       无
15       685124351       无
16       724491371       有
17       821357651       无
18       871411361       无
19       1030262081       无
20       1103104361       无
21       1282160021       无
22       1381201271       无
23       1427698631       有
24       1432379951       无
25       1443994001       有
26       1596721331       有
27       1948760081       无
28       2267091941       无
29       2473387121       有
30       2473836941       有

已查清，10000组二连体四生素数之中有8168组中间无其它素数，
1750组中间含1个素数（首素数加18是素数的901组，首素数加20是素数的849组），
82组中间含2个素数（首素数加18和20），它们都是A256842给出的有5对孪生素数构成的跨距38的十生素数群。

在前30组二连体四生素数中，除1#、5#中间无其它素数外，
6,7,12,13,14,15,17,18,19,20,21,22,24,27,28#中间也都没有其它素数；
在这10000组二连体四生素数中首素数+12和首素数+26中都没有素数，相当于0+23和0+37中都没有素数。

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-20 08:15
网页A256842给出10000个五连体孪生素数之首素数，
结构形式应该是30k+11,+13,+17,+19,+29,+31,+41,+43,+47,+49，总跨距38；
中间还有没有30k+23和30k+37型非孪生素数存在？
从首素数的大小看，可能没有这两个非孪生素数存在；否则最小的一组首素数应该是11。
前30组的首素数是：
1 39713433671
2 66419473031
3 71525244611
4 286371985811
5 480612532451
6 535181743301
7 789972743471
8 1195575264641
9 1219449947921
10 1256522812841
11 1292207447351
12 1351477467251
13 1450982599271
14 1460592638171
15 1515361442261
16 1592346154541
17 1608037625861
18 1974772380401
19 1998453796481
20 2342693983541
21 2407899149861
22 2846256286631
23 2875683396791
24 3447368334461
25 3764105215691
26 3885646849751
27 3990788336831
28 4281968424491
29 4434754318661
30 4588646146751

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-20 08:15
网页A338866给出10的1-17次方内二连体四生素数的个数：
Number of twins of prime quadruples < 10^n.
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
7 4
8 5
9 18
10 65
11 267
12 1238
13 6196
14 33480
15 187932
16 1095882
17 6629232

网页A338868给出10的1-18次方内三连体四生素数的个数：
Number of triples of prime quadruples < 10^n.
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
7 0
8 0
9 0
10 0
11 0
12 2
13 3
14 9
15 28
16 138
17 613
18 2799

最小的四连体四生素数存在于10^17——10^18之间，只有1组。

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-20 08:16
网页A050258给出10的1-17次方内四生素数（最大成员）的个数：
Number of "prime quadruplets" with largest member < 10^n.
1 0
2 2
3 5
4 12
5 38
6 166
7 899
8 4768
9 28388
10 180529
11 1209318
12 8398278
13 60070590
14 441296836
15 3314576487
16 25379433651
17 197622677481

网页A215473给出2的1-30次方内四生素数（最小成员）的个数：
Number of prime quadruples with smallest member < 2^n.
1 0
2 0
3 1
4 2
5 2
6 2
7 3
8 4
9 4
10 5
11 7
12 10
13 11
14 16
15 23
16 28
17 43
18 62
19 106
20 177
21 309
22 483
23 795
24 1305
25 2105
26 3525
27 5923
28 10096
29 17259
30 30004

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-20 08:17
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-7-20 10:57 编辑

网页A339189给出间距30+90或90+30的三连体四生素数的首素数16个，
其中12位的2个，13位的1个，14位的6个，15位的7个（不全）。
Numbers k such that {k, k+2, k+6, k+8, k+120, k+122, k+126, k+128} and either (k+30, k+32, k+36, k+38) or (k+90, k+92, k+96, k+98) are all prime.
282005261771, 783976940441, 6341220302111, 31007639083781, 32488685841251, 41199341106101, 44686367247161, 62176060129361, 63866000186501, 153678400278581, 186138073442681, 241720684176611, 242151798378311, 425712041296181, 443552579937161, 557863285811471

已经查清，网页A339189给出的16个三连体四生素数中的
1,2,3,9,15#的首素数分别加上2,6,8；30,32,36,38；120,124,126,128构成三连体四生素数；
4,5,6,7,8,10,11,12,13,14,16#的首素数分别加上2,6,8；60,62,66,68；120,124,126,128构成三连体四生素数。
序号首素数加30 加90
1 282005261771 prime ——
2 783976940441 prime ——
3 6341220302111 prime ——
9 63866000186501 prime ——
15 443552579937161 prime ——
4 31007639083781 —— prime
5 32488685841251 —— prime
6 41199341106101 —— prime
7 44686367247161 —— prime
8 62176060129361 —— prime
10 153678400278581 —— prime
11 186138073442681 —— prime
12 241720684176611 —— prime
13 242151798378311 —— prime
14 425712041296181 —— prime
16 557863285811471 —— prime

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-20 08:18
A066082
Prime octets: numbers k such that 210*k - 105 +- 2^j are prime for all 1 <= j <= 4.
242590, 1175444, 2416288, 2583146, 2596049, 2796151, 4953911, 5574794, 6127655, 6396209, 6460877, 6625438, 8521234, 11025856, 11352491, 15482298, 16228703, 18861024, 19048003, 20043534, 22835193, 31519781, 34399756，……
a(1)=242590 because 210*a(1) - 105 = 50943795 and 50943795 -2, - 4, - 8, - 16, + 2, + 4, + 8 and + 16 are all prime.

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-20 08:18
A066082-100
1 242590
2 1175444
3 2416288
4 2583146
5 2596049
6 2796151
7 4953911
8 5574794
9 6127655
10 6396209
11 6460877
12 6625438
13 8521234
14 11025856
15 11352491
16 15482298
17 16228703
18 18861024
19 19048003
20 20043534
21 22835193
22 31519781
23 34399756
24 35162046
25 36941603
26 38414922
27 40951973
28 41348941
29 42565871
30 43107741
31 43501199
32 46396575
33 49799448
34 51638295
35 54012128
36 58836772
37 59960830
38 60370337
39 61233355
40 61567149
41 61698963
42 64175579
43 66511572
44 72532786
45 73910789
46 74286261
47 76092452
48 77358902
49 82853976
50 90661435
51 95910744
52 96532232
53 96554705
54 102948951
55 106600446
56 119013902
57 121305003
58 125699064
59 128358666
60 136224852
61 137704574
62 139316314
63 146109080
64 148854580
65 151059705
66 153550732
67 160402447
68 165871801
69 166687593
70 166889620
71 169605804
72 187325210
73 193024189
74 194642520
75 202131606
76 203849058
77 209877334
78 211510251
79 218951915
80 219899973
81 225793585
82 229562922
83 233192736
84 241432396
85 242131247
86 248844922
87 256177828
88 260037245
89 269115194
90 269918172
91 273633608
92 276536442
93 288044520
94 289390163
95 299980477
96 303802682
97 310757750
98 322069820
99 323550783
100 331384158

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-20 08:18
A066081
a(n) = smallest m such that m+2^j and m-2^j are prime for all 0 < j <= n.
5, 9, 15, 50943795, 40874929095, 616517522595975, 93487500801880185, 64606701602327559675

m±2都是素数的最小m值是5；m±2，±4都是素数的最小值是9；m±2，±4，±8都是素数的最小值是15；m±2，±4，±8，±16都是素数的最小值是50943795；m±2，±4，±8，±16，±32都是素数的最小值是40874929095；m±2，±4，±8，±16，±32，±64都是素数的最小值是616517522595975；……

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-20 08:47
由2对孪生素数构成的二连体孪生素数其间距(p3-p1或p4-p2)可以是6,12,18,24,30，……

由3对孪生素数构成的三连体孪生素数其间距(p3-p1和p5-p3)可能的间距如下表：
3*2间距 6 12 18 24 30
6 × Y × Y Y
12 Y Y Y × Y
18 × Y Y Y Y
24 Y × Y × Y
30 Y Y Y Y Y
存在数 3 4 4 3 5
6个×不存在，其余19种均可。
6-6,6-18,18-6，12-24,24-12,24-24不存在。

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-20 08:48
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-7-21 08:39 编辑

由4对孪生素数构成的三连体孪生素数其间距(p3-p1、p5-p3和p7-p5)可能的间距如下表：
4*2间距，仅限上面的19种。
p3-p1 p5-p3 p7-p5 存在否
6 12 6 ×
6 12 12
6 12 18
6 12 24 ×
6 12 30
6 24 6
6 24 12 ×
6 24 18
6 24 24 ×
6 24 30
6 30 6 ×
6 30 12
6 30 18 ×
6 30 24
6 30 30
12 6 6 ×
12 6 12
12 6 18 ×
12 6 24
12 6 30
12 12 6
12 12 12 ×
12 12 18
12 12 24 ×
12 12 30
12 18 6 ×
12 18 12
12 18 18
12 18 24
12 18 30
12 30 6
12 30 12
12 30 18
12 30 24 ×
12 30 30
18 12 6
18 12 12
18 12 18
18 12 24 ×
18 12 30
18 18 6 ×
18 18 12
18 18 18 ×
18 18 24
18 18 30
18 24 6
18 24 12 ×
18 24 18
18 24 24 ×
18 24 30
18 30 6 ×
18 30 12
18 30 18 ×
18 30 24
18 30 30
24 6 6 ×
24 6 12
24 6 18 ×
24 6 24
24 6 30
24 18 6 ×
24 18 12
24 18 18
24 18 24 ×
24 18 30
24 30 6
24 30 12 ×
24 30 18
24 30 24 ×
24 30 30
30 6 6 ×
30 6 12
30 6 18 ×
30 6 24
30 6 30
30 12 6
30 12 12
30 12 18
30 12 24 ×
30 12 30
30 18 6 ×
30 18 12
30 18 18 ×
30 18 24
30 18 30
30 24 6
30 24 12 ×
30 24 18
30 24 24 ×
30 24 30
30 30 6
30 30 12
30 30 18
30 30 24
30 30 30

“存在否”列中的32个“×”表示不存在；其余63个空白格都存在！

实际存在的4连体孪生素数还要多2种，18+30+18和30+18+18，
18+30+18和30+18+18虽然都过不了素数7的关卡，但各个余数适当加上30或30的2-6倍数，就能通过7的关卡；
因为对于4连体孪生素数，共有8个素数，需用7检验时，检验范围要扩大到210才能全部检完；
上表值检到30，故有遗漏！
如521以后3对孪生素数的差分别为48,30和18；改用各差模30的余数时变为18,30和18；改后过不了7的关卡，但原先是可通过7的检验的。
对于三连体孪生素数，素数个数共6个，不存在上述问题。

作者: 白新岭 时间: 2021-7-20 09:07

yangchuanju 发表于 2021-7-20 08:15
网页A338866给出10的1-17次方内二连体四生素数的个数：
Number of twins of prime quadruples < 10^n.
1 ...

10^n 四生素数二连体（0,30）实际数量理论减实际误差/实际
2 0 0 0 0
3 0 0 0 0
4 0 0 0 0
5 0 0 0 0
6 0 0 0 0
7 1 4 -3 -7.500000000000E-01
8 4 5 -1 -2.000000000000E-01
9 14 18 -4 -2.222222222222E-01
10 58 65 -7 -1.076923076923E-01
11 257 267 -10 -3.745318352060E-02
12 1224 1238 -14 -1.130856219709E-02
13 6220 6196 24 3.873466752744E-03
14 33378 33480 -102 -3.046594982079E-03
15 187533 187932 -399 -2.123108358342E-03
16 1096032 1095882 150 1.368760505237E-04
17 6629136 6629232 -96 -1.448131548270E-05
18 41319946
19 264504879
20 1733918548
21 11611538228
22 79271607797
23 5.5073077720100000E+11
24 3.8876311190610000E+12
25 2.7846495362543000E+13
26 2.0215432315288700E+14
27 1.4858325731979600E+15
28 1.1046621383632600E+16
29 8.3004916379432000E+16
30 6.2990114112718300E+17
31 4.8244419177830900E+18
32 3.7270731027823500E+19
33 2.9026822993783500E+20
34 2.2778654016839400E+21
35 1.8003575877928200E+22
36 1.4325627807472700E+23
37 1.1471749844796200E+24
38 9.2418097652416500E+24
39 7.4878624573118900E+25
40 6.0996505237079800E+26
41 4.9943695988785800E+27
42 4.1093775899653400E+28
43 3.3969557748297200E+29
44 2.8205131389877500E+30
45 2.3518147178924500E+31
46 1.9689425207451300E+32
47 1.6547846920506800E+33
48 1.3959084373951300E+34
49 1.1817137600078500E+35
50 1.0037940874708700E+36
51 8.5545032974280000E+36
52 7.3131943996000200E+37
53 6.2708894248270000E+38
54 5.3927637802749800E+39
55 4.6505804284413700E+40
56 4.0213535887290500E+41
57 3.4863011902936800E+42
58 3.0300199869298200E+43
59 2.6398331896284800E+44
60 2.3052723792292800E+45
61 2.0176643998578900E+46
62 1.7698006778098600E+47
63 1.5556715238783800E+48
64 1.3702518724776000E+49
65 1.2093278919912800E+50
66 1.0693561922705700E+51
这是理论数据与实际数据比对情况（二连体四生素数的数量）

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-20 10:08
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-7-21 08:46 编辑

由2组最密6生素数构成的二连体六生素数其间距(p7-p1)不能是30,60,90,120,150,180，
可以是210,420,840,1050,1260,1470,1890,2100,2310；但不能是630和1680。

由3组最密6生素数构成的三连体六生素数的可能间距(p7-p1和p13-p7)如下：
间距 210 420 630 840 1050 1260
210 Y 11 11 Y Y Y
420 11 11 11 13 Y 11
630 11 11 11 11 11 11
840 Y 13 11 11.13 13 Y
1050 Y Y 11 13 Y Y
1260 Y 11 11 Y Y Y
1470 11 11.13 11 13 Y Y
1680 11 11 11 11 11 11
1890 Y Y 11 11 11 13
2100 Y Y 11 11 Y Y
2310 Y Y 11 Y Y 13
存在数 7 4 0 3 7 6

间距 1470 1680 1890 2100 2310
210 11 11 Y Y Y
420 11.13 11 Y Y Y
630 11 11 11 11 11
840 13 11 11 11 Y
1050 Y 11 11 Y Y
1260 Y 11 13 Y 13
1470 11 11 Y Y Y
1680 11 11 11 11 11
1890 Y 11 11.13 11 13
2100 Y 11 11 Y Y
2310 Y 11 13 Y Y
存在数 5 0 3 7 7

表中11、13——表示通不过11、13的检验；11.13——表示通不过11和13检验。
标有Y的单元格都可能存在有相应的三连体六生素数，共49种。
涉及630和1680的2行和2列（井字形）都通不过素数11的检验，其中不可能有三连体六生素数。
49个Y对称分布在对角线的左下部和右上部；各个11、13和11.13也对称分布在对角线的左下部和右上部。

三连体六生素数共18个素数，检验素数应扩大到17，检验范围用扩大到510510；
但当检验范围限定在2310时，亦有可能丢失部分素数；
对于二连体六生素数，素数个数共12个，不需要用13检验，在2310范围内检验不存在丢失素数问题。

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-20 12:17

yangchuanju 发表于 2021-7-20 08:18
A066081
a(n) = smallest m such that m+2^j and m-2^j are prime for all 0 < j

这里没有鲁老师的帖子，不好回复。
15-2=13,15+2=17；105-3=103,105+2=107；195-3=193,195+2=197；……加减2都是素数的素数对多着哪！

作者: lusishun 时间: 2021-7-20 15:14

yangchuanju 发表于 2021-7-20 04:17
这里没有鲁老师的帖子，不好回复。
15-2=13,15+2=17；105-3=103,105+2=107；195-3=193,195+2=197；…… ...

加、减2都是素数的素数对
这句话有点问题，
应改为，加减2都是素数的m，有无穷duo

作者: lusishun 时间: 2021-7-20 15:14

yangchuanju 发表于 2021-7-20 04:17
这里没有鲁老师的帖子，不好回复。
15-2=13,15+2=17；105-3=103,105+2=107；195-3=193,195+2=197；…… ...

加、减2都是素数的素数对
这句话有点问题，
应改为，加减2都是素数的m，有无穷多

作者: lusishun 时间: 2021-7-20 15:14

yangchuanju 发表于 2021-7-20 04:17
这里没有鲁老师的帖子，不好回复。
15-2=13,15+2=17；105-3=103,105+2=107；195-3=193,195+2=197；…… ...

加、减2都是素数的素数对
这句话有点问题，
应改为，加减2都是素数的m，有无穷多

作者: lusishun 时间: 2021-7-20 15:17
本帖最后由 lusishun 于 2021-7-20 07:19 编辑

加、减2都是素数m，无穷多，
类似形如p，p+4的素数对无穷多。

作者: lusishun 时间: 2021-7-20 15:22
加、减2都是素数的m，无穷多，类似形如p，p+4的素数对无穷多

作者: lusishun 时间: 2021-7-20 15:28
注意，别自己给自己挖坑，四生素数，定为形为（p，p+2，p+6，p+8），研究研究玩玩，别玩太多了，太累。
哈哈，怕累着老哥。

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-20 15:47

lusishun 发表于 2021-7-20 15:14
加、减2都是素数的素数对
这句话有点问题，
应改为，加减2都是素数的m，有无穷多

OEIS网站A066081给出的是m±2^j形式的素数，其中j=1-8；网页仅给出一个最小的整数m，m是不是素数没有要求，但它一般不会是素数（第一个m=5是素数）。
蔡家雄老师计算对称8生素数时用到它的第4个数字50943795，亦即50943795加减2,4,8,16都是素数，它们构成了一组数字最小的对称性8生素数，跨距32。
请鲁老师不必抠字眼，理解大意即可！

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-20 15:52

lusishun 发表于 2021-7-20 15:28
注意，别自己给自己挖坑，四生素数，定为形为（p，p+2，p+6，p+8），研究研究玩玩，别玩太多了，太累。
哈 ...

包含4个不同素数的“集合”都可叫“四生素数”，其中形如(p,p+2,p+6,p+8)是跨距最小的一种，称为“最密四生素数”！

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-20 16:38
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-7-21 08:48 编辑

跨距26的最密8生素数共3种（3类），用与210互素的互素数表示时分别是：
11 13 17 19 23 29 31 37
17 19 23 29 31 37 41 43
23 29 31 37 41 43 47 49
第1种和第3种互为可逆8生素数，第2中自身可逆。

由2组最密8生素数构成的二连体八生素数其间距(p9-p1)不能是30,60,90,120,150,180，
可以是210的倍数，但由3种8生素数构成的二连体八生素数的可能间距不尽相同，需分别计算。
第1种和第3种二连体八生素数p9-p1可能是420,840,1050,1260,1470,1890,2310及它们再加上2310的若干整数倍；
但不能是210,630,1680,2100及它们再加上2310的若干整数倍。
第2种二连体八生素数p9-p1可能是210,420,630,1050,1260,1680,1890,2100,2310及它们再加上2310的若干整数倍；
但不能是840,1470及它们再加上2310的若干整数倍。

附注：本帖间距数据不全对，请用后面帖子内容进行补充！

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-20 16:40
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-7-21 08:50 编辑

由3组最密8生素数构成的三连体八生素数其间距(p9-p1和p17-p9)也只能是210的倍数，
但由3种8生素数构成的三连体八生素数的可能间距互不相同，也必须分别计算。
第一种：可能间距12种（标有Y的单元格）
间距 420 840 1050 1260 1470 1890 2310
420 113 13 113 11 11 13 17
840 117 11 Y 11 13 11 13
1050 Y 11 11 13 11 11 13
1260 113 11 Y 11 Y 113 Y
1470 113 Y 113 11 11 Y Y
1890 13 11 11 Y 11 11 13
2310 Y 137 Y 13 13 Y 13

第三种：可能间距12种（标有Y的单元格）
间距 420 840 1050 1260 1470 1890 2310
420 113 117 Y 113 113 13 Y
840 13 11 11 11 Y 11 137
1050 113 Y 11 Y 113 11 Y
1260 11 11 13 11 11 Y 13
1470 11 13 11 Y 11 11 13
1890 13 11 11 113 Y 11 Y
2310 17 13 13 Y Y 13 13

第二种：可能间距30种（标有Y的单元格）
间距 210 420 630 1050 1260 1680 1890 2100 2310
210 113 Y 11 113 11 Y 11 Y 13
420 Y 113 13 11 Y 13 13 11 Y
630 11 13 117 113 Y 139 Y Y 17
1050 113 11 113 137 Y Y Y 113 13
1260 11 Y Y Y 11 113 11 11 Y
1680 Y 13 139 Y 113 139 13 113 Y
1890 11 13 Y Y 11 13 113 Y Y
2100 Y 11 Y 113 11 113 Y 11 13
2310 13 Y 17 13 Y Y Y 13 13

表中标注Y的单元格为可能间距；其余都不存在。
其中11表示通不过素数11的检验；13表示通不过素数13的检验；……
113表示即通不过素数11又通不过素数13的检验；
117表示即通不过素数11又通不过素数17的检验；
137表示即通不过素数11又通不过素数13和17的检验；
139表示即通不过素数11又通不过素数13和19的检验；……

附注：本帖间距数据不全对，请用后面帖子的内容进行补充！

作者: 蔡家雄 时间: 2021-7-20 20:24
前40组8生素数组(p, p+30, p+210, p+2310, p+30030, p+510510, p+9699690, p+223092870)

/727/757/937/3037/30757/511237/9700417/223093597
/3593/3623/3803/5903/33623/514103/9703283/223096463
/9011/9041/9221/11321/39041/519521/9708701/223101881
/11369/11399/11579/13679/41399/521879/9711059/223104239
/11489/11519/11699/13799/41519/521999/9711179/223104359
/17909/17939/18119/20219/47939/528419/9717599/223110779
/21683/21713/21893/23993/51713/532193/9721373/223114553
/23563/23593/23773/25873/53593/534073/9723253/223116433
/36847/36877/37057/39157/66877/547357/9736537/223129717
/42139/42169/42349/44449/72169/552649/9741829/223135009
/65183/65213/65393/67493/95213/575693/9764873/223158053
/70429/70459/70639/72739/100459/580939/9770119/223163299
/74521/74551/74731/76831/104551/585031/9774211/223167391
/86351/86381/86561/88661/116381/596861/9786041/223179221
/116923/116953/117133/119233/146953/627433/9816613/223209793
/127607/127637/127817/129917/157637/638117/9827297/223220477
/140659/140689/140869/142969/170689/651169/9840349/223233529
/150587/150617/150797/152897/180617/661097/9850277/223243457
/161531/161561/161741/163841/191561/672041/9861221/223254401
/185153/185183/185363/187463/215183/695663/9884843/223278023
/295049/295079/295259/297359/325079/805559/9994739/223387919
/323413/323443/323623/325723/353443/833923/10023103/223416283
/372973/373003/373183/375283/403003/883483/10072663/223465843
/386987/387017/387197/389297/417017/897497/10086677/223479857
/392849/392879/393059/395159/422879/903359/10092539/223485719
/409723/409753/409933/412033/439753/920233/10109413/223502593
/443869/443899/444079/446179/473899/954379/10143559/223536739
/448169/448199/448379/450479/478199/958679/10147859/223541039
/499099/499129/499309/501409/529129/1009609/10198789/223591969
/527347/527377/527557/529657/557377/1037857/10227037/223620217
/554759/554789/554969/557069/584789/1065269/10254449/223647629
/592693/592723/592903/595003/622723/1103203/10292383/223685563
/607307/607337/607517/609617/637337/1117817/10306997/223700177
/673429/673459/673639/675739/703459/1183939/10373119/223766299
/676649/676679/676859/678959/706679/1187159/10376339/223769519
/716449/716479/716659/718759/746479/1226959/10416139/223809319
/721451/721481/721661/723761/751481/1231961/10421141/223814321
/778567/778597/778777/780877/808597/1289077/10478257/223871437
/783799/783829/784009/786109/813829/1294309/10483489/223876669
/928903/928933/929113/931213/958933/1439413/10628593/224021773

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-21 08:52
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-7-21 08:55 编辑

对于三连体八生素数共24个素数，检验素数应扩大到23，检验范围用扩大到23#；
但当检验范围限定在2310时，已经发现丢失相当多的素数；对于第1种和第3种丢失约50%；对于第2中丢失约75%。
对于二连体八生素数，素数个数共16个，需用13检验，在2310范围内检验有可能丢失部分素数；
经与实际存在的二连体八生素数比对，第1种和第3种各丢失1类（八生素数差模2310余210类），
但第2种丢失极多，达18种（八生素数差模2310余数）分别为：
60 270 360 570 690 780
900 990 1110 1200 1320 1410
1530 1620 1740 1950 2040 2250

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-21 08:58
（重发29楼数据表）
由3组最密8生素数构成的三连体八生素数其间距(p9-p1和p17-p9)也只能是210的倍数，
但由3种8生素数构成的三连体八生素数的可能间距互不相同，也必须分别计算。
第一种：可能间距25种（标有Y的单元格）
间距 420 840 1050 1260 1470 1890 2310
420 X Y X X X Y Y
840 X X Y X Y X Y
1050 Y X X Y X X Y
1260 X X Y X Y X Y
1470 X Y X X X Y Y
1890 Y X X Y X X Y
2310 Y Y Y Y Y Y Y
第三种：可能间距25种（标有Y的单元格）
间距 420 840 1050 1260 1470 1890 2310
420 X X Y X X Y Y
840 Y X X X Y X Y
1050 X Y X Y X X Y
1260 X X Y X X Y Y
1470 X Y X Y X X Y
1890 Y X X X Y X Y
2310 Y Y Y Y Y Y Y
表中标注Y的单元格为可能间距；标注X的都不存在。

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-21 08:59
（接上楼）
第二种：可能间距343种（模2310余数）
间距1 间距2 — 间距1 间距2 — 间距1 间距2
60 360 — 900 1620 — 1680 420
60 570 — 900 1680 — 1680 570
60 990 — 900 2040 — 1680 630
60 1260 — 900 2100 — 1680 900
60 1680 — 900 2310 — 1680 990
60 1890 — 990 60 — 1680 1050
60 2250 — 990 210 — 1680 1200
60 2310 — 990 270 — 1680 1320
210 360 — 990 420 — 1680 1410
210 420 — 990 630 — 1680 1530
210 690 — 990 690 — 1680 1620
210 780 — 990 900 — 1680 1740
210 990 — 990 1050 — 1680 1890
210 1110 — 990 1110 — 1680 1950
210 1320 — 990 1260 — 1680 2040
210 1410 — 990 1320 — 1680 2310
210 1680 — 990 1530 — 1740 210
210 1740 — 990 1680 — 1740 360
210 2100 — 990 1740 — 1740 570
210 2310 — 990 1890 — 1740 630
270 420 — 990 1950 — 1740 990
270 630 — 990 2100 — 1740 1200
270 990 — 990 2310 — 1740 1260
270 1050 — 1050 270 — 1740 1620
270 1410 — 1050 360 — 1740 1680
270 1620 — 1050 570 — 1740 1890
270 2040 — 1050 690 — 1740 2250
270 2310 — 1050 900 — 1740 2310
360 60 — 1050 990 — 1890 60
360 210 — 1050 1260 — 1890 360
360 420 — 1050 1320 — 1890 420
360 630 — 1050 1680 — 1890 630
360 900 — 1050 1890 — 1890 690
360 1050 — 1050 2250 — 1890 780
360 1320 — 1050 2310 — 1890 990
360 1530 — 1110 210 — 1890 1050
360 1740 — 1110 570 — 1890 1110
360 1890 — 1110 630 — 1890 1320
360 1950 — 1110 990 — 1890 1410
360 2310 — 1110 1200 — 1890 1620
420 210 — 1110 1620 — 1890 1680
420 270 — 1110 1890 — 1890 1740
420 360 — 1110 2310 — 1890 1950
420 570 — 1200 420 — 1890 2040
420 630 — 1200 690 — 1890 2100
420 690 — 1200 1110 — 1890 2310
420 900 — 1200 1320 — 1950 360
420 990 — 1200 1680 — 1950 420
420 1200 — 1200 1740 — 1950 570
420 1260 — 1200 2100 — 1950 780
420 1320 — 1200 2310 — 1950 990
420 1530 — 1260 60 — 1950 1260
420 1620 — 1260 420 — 1950 1410
420 1680 — 1260 630 — 1950 1680
420 1890 — 1260 990 — 1950 1890
420 1950 — 1260 1050 — 1950 2100
420 2250 — 1260 1320 — 1950 2250
420 2310 — 1260 1410 — 1950 2310
570 60 — 1260 1620 — 2040 270
570 420 — 1260 1740 — 2040 690
570 630 — 1260 1950 — 2040 900
570 690 — 1260 2040 — 2040 1260
570 1050 — 1260 2310 — 2040 1320
570 1110 — 1320 210 — 2040 1680
570 1320 — 1320 360 — 2040 1890
570 1680 — 1320 420 — 2040 2310
570 1740 — 1320 570 — 2100 210
570 1950 — 1320 630 — 2100 570
570 2100 — 1320 780 — 2100 630
570 2310 — 1320 990 — 2100 900
630 270 — 1320 1050 — 2100 990
630 360 — 1320 1200 — 2100 1200
630 420 — 1320 1260 — 2100 1320
630 570 — 1320 1410 — 2100 1530
630 690 — 1320 1620 — 2100 1620
630 780 — 1320 1680 — 2100 1890
630 900 — 1320 1890 — 2100 1950
630 990 — 1320 2040 — 2100 2310
630 1110 — 1320 2100 — 2250 60
630 1260 — 1320 2250 — 2250 420
630 1320 — 1320 2310 — 2250 630
630 1410 — 1410 210 — 2250 1050
630 1680 — 1410 270 — 2250 1320
630 1740 — 1410 630 — 2250 1740
630 1890 — 1410 690 — 2250 1950
630 2100 — 1410 900 — 2250 2310
630 2250 — 1410 1260 — 2310 60
630 2310 — 1410 1320 — 2310 210
690 210 — 1410 1530 — 2310 270
690 420 — 1410 1680 — 2310 360
690 570 — 1410 1890 — 2310 420
690 630 — 1410 1950 — 2310 570
690 990 — 1410 2310 — 2310 630
690 1050 — 1530 360 — 2310 690
690 1200 — 1530 420 — 2310 780
690 1410 — 1530 780 — 2310 900
690 1620 — 1530 990 — 2310 990
690 1890 — 1530 1410 — 2310 1050
690 2040 — 1530 1680 — 2310 1110
690 2310 — 1530 2100 — 2310 1200
780 210 — 1530 2310 — 2310 1260
780 630 — 1620 270 — 2310 1320
780 900 — 1620 420 — 2310 1410
780 1320 — 1620 690 — 2310 1530
780 1530 — 1620 900 — 2310 1620
780 1890 — 1620 1110 — 2310 1680
780 1950 — 1620 1260 — 2310 1740
780 2310 — 1620 1320 — 2310 1890
900 360 — 1620 1680 — 2310 1950
900 420 — 1620 1740 — 2310 2040
900 630 — 1620 1890 — 2310 2100
900 780 — 1620 2100 — 2310 2250
900 990 — 1620 2310 — 2310 2310
900 1050 — 1680 60 —
900 1410 — 1680 210 —

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-21 10:42
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-7-21 12:16 编辑

1-2楼所给二连体四生素数、三连体四生素数可能间距数据正确，但3楼所给四连体四生素数可能间距42种不完整，实际存在着65种，现重发。
三连体四生素数共12个素数，检验素数应扩大到11，检验范围应扩大到2310；
但当检验范围限定在210时，有可能丢失部分素数；现已与实际存在的三连体四生素数进行比对，未发现丢失现象。
对于二连体四生素数，素数个数共8个，不需要用11检验，在210范围内检验不存在丢失素数问题。

对于四连体四生素数，仅在210范围内检验，则数据丢失较多，实际存在的四连体四生素数不是42种，而是65种，
四连体四生素数共16个素数，检验素数应扩大到13，检验范围用扩大到30030；
虽然部分模210的余数组合过不了素数11和13的关卡，但各个余数适当加上210或210的若干倍数，就能通过11和13的关卡；
如16-19#最密四生素数
18041 18043 18047 18049
18911 18913 18917 18919
19421 19423 19427 19429
21011 21013 21017 21019
4首素数差分别为30,90,120；过不了11的关卡；
而按实际素数，首素数差分别为870,510,1590，可通过11的关卡。

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-21 10:44
四连体四生素数的65种间距表
间距1 间距2 间距3
30 90 90
30 90 120
30 90 210
30 180 30
30 180 120
30 180 210
30 210 90
30 210 180
30 210 210
90 30 90
90 30 180
90 30 210
90 90 30
90 90 120
90 90 210
90 120 90
90 120 120
90 120 180
90 120 210
90 210 30
90 210 90
90 210 120
90 210 210
120 90 30
120 90 90
120 90 120
120 90 210
120 120 90
120 120 180
120 120 210
120 180 30
120 180 120
120 180 210
120 210 90
120 210 120
120 210 180
120 210 210
180 30 90
180 30 180
180 30 210
180 120 90
180 120 120
180 120 210
180 210 30
180 210 120
180 210 210
210 30 90
210 30 180
210 30 210
210 90 30
210 90 90
210 90 120
210 90 210
210 120 90
210 120 120
210 120 180
210 120 210
210 180 30
210 180 120
210 180 210
210 210 30
210 210 90
210 210 120
210 210 180
210 210 210

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-21 11:08

yangchuanju 发表于 2021-7-20 10:08
由2组最密6生素数构成的二连体六生素数其间距(p7-p1)不能是30,60,90,120,150,180，
可以是210,420,840,105 ...

17楼所给三连体六生素数的可能间距49种，不全，内丢失了部分数据，实际有61种，现重发。
三连体六生素数的61种间距表
间距1 间距2
210 210
210 840
210 1050
210 1260
210 1890
210 2100
210 2310
420 840
420 1050
420 1890
420 2100
420 2310
840 210
840 420
840 1050
840 1260
840 1470
840 2310
1050 210
1050 420
1050 840
1050 1050
1050 1260
1050 1470
1050 2100
1050 2310
1260 210
1260 840
1260 1050
1260 1260
1260 1470
1260 1890
1260 2100
1260 2310
1470 840
1470 1050
1470 1260
1470 1890
1470 2100
1470 2310
1890 210
1890 420
1890 1260
1890 1470
1890 2310
2100 210
2100 420
2100 1050
2100 1260
2100 1470
2100 2100
2100 2310
2310 210
2310 420
2310 840
2310 1050
2310 1260
2310 1470
2310 1890
2310 2100
2310 2310

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-21 16:16
二连体孪生素数共4个素数，或者说它就是四生素数；
若连体中的2对孪生素数间距（p3-p1或p4-p2)是6，则它就是最密四生素数，总跨距等于8。
三连体孪生素数共6个素数，或者说它就是六生素数；
一般的不存在间距等于6+6的三连体孪生素数（5,7,11,13,17,19除外），
三连体孪生素数的最小间距是6+12或12+6，总跨距20，即跨距20的六生素数；
它不是最密的，最密六生素数的跨距是16（7至23）。
跨距最小的6+12型三连体六生素数是3-5#孪生素数11,13,17,19,29,31；其中夹着一个素数23；
跨距最小的6+12型中间不含其它素数的三连体六生素数是316-318#孪生素数18041,18043,18047,18049,18059,18061；
跨距最小的12+6型三连体六生素数是833-835#孪生素数62969,62971,62981,62983,62987,62989；中间不含其它素数。

四连体孪生素数的最小间距是6+12+12或12+6+12或12+12+6，总跨距32，即跨距32的八生素数；
最小的6+12+12型四连体孪生素数首素数是6510191，8个素数间无其它素数：
素数号 445412 445413 445414 445415
素数 6510191 6510193 6510197 6510199
素数号 445416 445417 445418 445419
素数 6510209 6510211 6510221 6510223
最小的12+6+12型四连体孪生素数首素数是663569，8个素数间无其它素数：
素数号 53831 53832 53833 53834
素数 663569 663571 663581 663583
素数号 53835 53836 53837 53838
素数 663587 663589 663599 663601
最小的12+12+6型四连体孪生素数首素数是626597，8个素数间夹一个孤独素数626617：
素数号 51090 51091 51092 51093 51094
素数 626597 626599 626609 626611 626617
素数号 51095 51096 51097 51098
素数 626621 626623 626627 626629

一般最密8生素数，跨距26，内包含3对孪生素数和2个孤独素数；
蔡家雄的n±2，±4，±8，±16型对称8生素数的总跨距也是32，其间只有2对孪生素数。

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-21 16:17
二连体四生素数共8个素数，或者说它是八生素数；
二连体四生素数的间距(p5-p1)最小是30，再若四生素数是最密的，则二连体四生素数的总跨距(p8-p1)最小是38；
最小跨距最小首素数是1006301，8个素数分别是：（中间不含其它素数）
素数号 78967 78968 78969 78970
素数 1006301 1006303 1006307 1006309
素数号 78971 78972 78973 78974
素数 1006331 1006333 1006337 1006339
下一个间距30的二连体四生素数首素数是2594951，8个素数中间夹着一个孤独素数2594971：
素数号 189532 189533 189534 189535 189536
素数 2594951 2594953 2594957 2594959 2594971
素数号 189537 189538 189539 189540
素数 2594981 2594983 2594987 2594989

三连体四生素数的最小可能间距(p5-p1和p9-p5)应该是30+90或90+30，但在已知的最密四生素数集中没有找到相应的素数；
仅找到以11为首素数的间距90+90的11,13,17,19；101,103,107,109；191,193,197,199一组，且中间夹着许多其它素数。
已知的总跨距最小的三连体四生素数首素数是15641，间距90+330，
素数号 1823 1824 1825 1826
素数 15641 15643 15647 15649
素数号 1833 1834 1835 1836
素数 15731 15733 15737 15739
素数号 1867 1868 1869 1870
素数 16061 16063 16067 16069

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-21 17:40
网页A059925给出10000个跨距38的二连体四生素数（二四生素数间距30），
标题是：Numbers n such that {n, n+2, n+6, n+8, n+30, n+32, n+36, n+38} are all prime.
网页A266961给出75个由A059925中的两跨距38的八生素数组成的二连体八生素数（最小可能间距420）之首素数：
Initial members of two prime quadruple pairs (A059925) with the smallest possible difference of 420.
1 11281963036964038421
2 12114914563464663491
3 28316206187385412991
4 52124021311991227601
5 55545706433252188001
6 111634607435934869981
7 507606513146890423961
8 530175308664549244391
9 635491296817562023841
10 730968587426043396971
11 768781285931309901791
12 780090878823500745041
13 803702885336948836241
14 1157922172240410487451
15 1296538951800076321031
16 1305256268811348430271
17 1306750727373092310311
18 1449943592741733328241
19 1490418237292967803361
20 1618345722108108442451
21 1649120398827170077811
22 1678228494991592596901
23 1706086720200695639501
24 1812731975143996573361
25 2163643139354045778431
26 2292361850859613719881
27 2449105803049026632051
28 2708444567673027312131
29 2826759127521446023601
30 2965079077016587111121
31 3058955064895654741511
32 3060511797361228739531
33 3302320366948488965081
34 3401534739111884732051
35 3546767663945310641531
36 3690258578494588232981
37 3907375690756491824411
38 4347596649424284348941
39 4720990009491144011471
40 4728850314166092106841
41 4830894741160569868481
42 4857453474832552656911
43 4865919535635148072931
44 5052153968379199572431
45 5080069773415211367641
46 5116359049832971889951
47 5382536547517823806961
48 5643811560860845492661
49 5663698950422632007891
50 6047284479634361536421
51 6071267232912126976271
52 6459812781478606156301
53 6542874801115310230421
54 6577746289775181880361
55 6722875442854815877481
56 6765476903298332139461
57 6935423841095824801421
58 7356244491009333810431
59 7779828514439809350371
60 7819943331523083713801
61 7879551950892484853531
62 7904725479954571807541
63 7919997855142932037481
64 8291801236715469633701
65 8311424010663447582911
66 8356105202744908655741
67 8948706954008677945091
68 9058985883846934944911
69 9203549353804435182401
70 9323604186148601822321
71 9583625491682694104501
72 9739182319338711568331
73 9781766861992439360741
74 9833793912891669319601
75 9847108285659660051731
Numbers n such that {n, n + 2, n + 6, n + 8, n + 30, n + 32, n + 36, n + 38,
n + 420, n + 422, n + 426, n + 428, n + 450, n + 452, n + 456, n + 458} are all prime.

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-21 17:41
网页A256842给出10000个由5对孪生素数构成的五连体孪生素数（十生素数），
结构形式应该是30k+11,+13,+17,+19,+29,+31,+41,+43,+47,+49，总跨距38；
然该网页标题称“最小可能间距是30”，对吗？
Initial members of 5 twin primes with the smallest possible difference of 30.
可能标题中的30错了，应为38。
经对前1000组10000个数字（按间距38列表）分解确认，都是素数，证明最小可能间距30是错的，应改为38。

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-22 09:46

yangchuanju 发表于 2021-7-21 17:40
网页A059925给出10000个跨距38的二连体四生素数（二四生素数间距30），
标题是：Numbers n such that {n, ...

对网页A266961给出75个由A059925中的两跨距38的八生素数组成的二连体八生素数之第一组16数字，
11281963036964038421 11281963036964038451 11281963036964038841 11281963036964038871
11281963036964038423 11281963036964038453 11281963036964038843 11281963036964038873
11281963036964038427 11281963036964038457 11281963036964038847 11281963036964038877
11281963036964038429 11281963036964038459 11281963036964038849 11281963036964038879
进行分解因子检验，全是素数；
对2组八生素数自身中间的30-8=22中有可能是素数的各数检验，无素数；
再对2组八生素数之间的420-38=382中有可能是素数的各数检验，内有7个零散分布的素数；
若要求跨度420-38=382区间无素数，恐怕不存在那样的二连体八生素数（跨距30+380+30四连体四生素数）。
相信另74组间距420的二连体八生素数也是这样，八生素数自身间无其它素数，而两组八生素数之间含有部分其它素数。

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-22 10:45
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-7-22 15:37 编辑

蔡家雄老师认为存在大量的对称10生连续素数
对称10生连续素数 15015x±2, 15015x±4, 15015x±8, 15015x±16, 15015x±32
——虽然：很难搜索，但，可能它也是无限的！！！！！！！！！！！！！！！！
1-----15015x = 40874929095
2-----15015x = 5026032886875
3-----15015x = 5197118661735
4-----15015x = 5798815627605
5-----15015x = 13131879105345

经在网上搜寻，发现：
网页A336966给出20个有5对孪生素数构成的10生素数之首素数
标题是：Primes starting 10-tuples of consecutive primes that have symmetrical gaps about their mean and form 5 pairs of twin primes.
3031329797 5188151387 14168924459 14768184029 18028534367
26697800819 26919220961 29205326387 32544026699 39713433671
45898528799 48263504459 50791655009 66419473031 71525244611
80179195037 83700877199 86767580069 97660776137 108116163479
各个首素数模30余数不相同，说明它们的间距也不相同，可能都不具有对称性。
17 17 29 29 17
29 11 17 29 11
29 29 29 11 11
17 29 29 17 29

例1#，素数连续，各对孪生素数对无其它素数；相当于列中缺41,43,47,49,71,73,77,79可能的孪生素数对：
素数相当于
3031329797 17
3031329799 19
3031329809 29
3031329811 31
3031329839 59
3031329841 61
3031329869 89
3031329871 91
3031329881 101
3031329883 103
A336966中的素数连续，各对孪生素数对无其它素数；素数值较大。

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-22 10:46
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-7-22 11:58 编辑

网页A261731给出10000个间距不超过210的五对孪生素数构成的10生素数之首素数，前20个如下：
标题是：Initial member of five twin prime pairs with gap 210 between them.
1 1308497 2 3042491 3 3042701 4 7445309 5 20031101
6 31572521 7 44687987 8 54266291 9 141208619 10 182316521
11 237416369 12 357080021 13 448436321 14 611641187 15 699458411
16 761126027 17 774997367 18 794065967 19 836452961 20 915215591

例1#，素数号不连续，各对孪生素数对有其它素数，总跨距210以内；相当于列中缺29,31,47,49,59,61等可能的孪生素数对：
素数号素数相当于
100618 1308497 17
100619 1308499 19
100620 1308521 41
100621 1308523 43
100627 1308581 101
100628 1308583 103
100632 1308611 131
100633 1308613 133
100634 1308647 167
100635 1308649 169
跨距 152
A261731中的素数不连续，各对孪生素数对有其它素数；素数值较小。

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-22 10:47
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-7-22 11:52 编辑

网页A035793给出10000个恰由五对连续孪生素数构成的十生素数之首素数，前20个如下：
标题是：Start of a string of exactly 5 consecutive (but disjoint) pairs of twin primes.
1 909287    2 2596619    3 9617981    4 12628337    5 18873497
6 21579629    7 25739771    8 34140077    9 39433367    10 62832101
11 67369397    12 84733211    13 90122507    14 102243017    15 132826607
16 140456711    17 142749149    18 180929687    19 201057539    20 212461979

由于各网页的孪生素数对之间的间距要求不同，中间有无其它素数要求不同，故各种有5对孪生素数构成的10生素数是不相同的。

例1#，素数号连续不间断，5孪生素数对之间无其它素数，前后也无另外的孪生素数，相当于列中缺41,43：
素数号素数相当于
71968 909287 17
71969 909289 19
71970 909299 29
71971 909301 31
71972 909317 47
71973 909319 49
71974 909329 59
71975 909331 61
71976 909341 71
71977 909343 73
又例2#，素数号连续不间断，5孪生素数对之间无其它素数，前后也无另外的孪生素数，相当于列中缺41,43和59,61：
素数号素数相当于
189647 2596619 29
189648 2596621 31
189649 2596637 47
189650 2596639 49
189651 2596661 71
189652 2596663 73
189653 2596667 77
189654 2596669 79
189655 2596679 89
189656 2596681 91

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-22 13:12
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-7-22 15:44 编辑

蔡家雄发表于 2021-7-22 12:37
A066081
a(n) = smallest m such that m+2^j and m-2^j are prime for all 0 < j

对称14、16生素数，只有12、14、16个素数，用素数13检验足够了，用不到素数17和19，故它们的中位数不用17和19整除。
对称12生素数，只有12个素数，用素数11检验足够了，中位数可被11整除不是必须的。

对称8、10生素数，只有8、10个素数，用素数7检验足够了。
8生中位数50943795不能被11整除属正常，10生中位数可被11和13整除是不必要的！

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-22 13:31
5±2=3/7，5不是3的倍数；9±2=7/11，9=3*3；15±2=13/17，15=3*5；21±2=19/23，21=3*7；39±2=37/41，39=3*13；45±2=43/47，45=3*15；……对于对称2生素数，中位数一般是3的倍数（第一个5除外）。

9±2，±4=5/7/11/13，中位数9=3*3；15±2，±4=11/13/17/19，中位数15=3*5；105±2，±4=101/103/107/109，中位数105=3*5*7；195±2，±4=191/193/197/199，中位数195=3*5*13；……对于对称4生素数，中位数一般是3的倍数；因只有4个素数用不到用5检验。

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-22 14:03
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-7-22 14:59 编辑

对称6生素数n±2，±4，±8

15±2，±4，±8=7/11/13/17/19/23，中位数15=3*5；
105±2，±4，±8=97/101/103/107/109/113，中位数105=3*5*7；
以下符合条件的第2个素数（对应4生最密素数的首素数）、首素数、尾素数和中位数是：
p2 p1 p8 中位数
16061 16057 16073 16065
19421 19417 19433 19425
43781 43777 43793 43785
1091261 1091257 1091273 1091265
1615841 1615837 1615853 1615845
1954361 1954357 1954373 1954365
2822711 2822707 2822723 2822715
2839931 2839927 2839943 2839935
3243341 3243337 3243353 3243345
3400211 3400207 3400223 3400215
6005891 6005887 6005903 6005895
6503591 6503587 6503603 6503595
7187771 7187767 7187783 7187775
7641371 7641367 7641383 7641375
8062001 8061997 8062013 8062005
8741141 8741137 8741153 8741145
10526561 10526557 10526573 10526565
11086841 11086837 11086853 11086845
11664551 11664547 11664563 11664555
中位数都是3，5，7的倍数（第一个中位数15除外），偶有11或13的倍数。

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-22 14:47
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-7-22 14:57 编辑

对称8生素数n±2，±4，±8，±16
1亿内有一组，1亿-10亿间有一组；OEIS网站给出100组，蔡家雄老师计算得到300组。
经笔者复核，最小的2组正确。
第一组的中位数50943795是3,5,7的倍数，但不是11和13的倍数，8个素数用素数7检验足够了；
第二组的中位数246843135除是3,5,7的倍数外，还能被11整除，但不能被13整除；该中位数能被11整除不是必须的。

在10亿内存有更多组对称6生素数，除上楼给出的21组外，还有138组，总共159组，将在下一楼汇总给出。

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-22 15:01
对称6生素数n±2，±4，±8
序号首素数尾素数
1 7 23
2 97 113
3 16057 16073
4 19417 19433
5 43777 43793
6 1091257 1091273
7 1615837 1615853
8 1954357 1954373
9 2822707 2822723
10 2839927 2839943
11 3243337 3243353
12 3400207 3400223
13 6005887 6005903
14 6503587 6503603
15 7187767 7187783
16 7641367 7641383
17 8061997 8062013
18 8741137 8741153
19 10526557 10526573
20 11086837 11086853
21 11664547 11664563
22 14520547 14520563
23 14812867 14812883
24 14834707 14834723
25 14856757 14856773
26 16025827 16025843
27 16094707 16094723
28 18916477 18916493
29 19197247 19197263
30 19634047 19634063
31 19800367 19800383
32 20112217 20112233
33 20247037 20247053
34 21321187 21321203
35 21850177 21850193
36 22587277 22587293
37 24786397 24786413
38 25009417 25009433
39 25524127 25524143
40 27305557 27305573
41 29153557 29153573
42 31563937 31563953
43 31875577 31875593
44 32836747 32836763
45 33575947 33575963
46 36319177 36319193
47 36985297 36985313
48 37055647 37055663
49 40660717 40660733
50 41214067 41214083
51 41763427 41763443
52 41927437 41927453
53 44842867 44842883
54 45974557 45974573
55 47204737 47204753
56 48660247 48660263
57 49157737 49157753
58 50685907 50685923
59 50943787 50943803
60 51255637 51255653
61 53204857 53204873
62 53266387 53266403
63 55057897 55057913
64 56431927 56431943
65 57812467 57812483
66 59877397 59877413
67 61052347 61052363
68 62757967 62757983
69 63655717 63655733
70 65689567 65689583
71 67022227 67022243
72 69296317 69296333
73 72610117 72610133
74 74283607 74283623
75 74390077 74390093
76 75085597 75085613
77 76150507 76150523
78 79413067 79413083
79 82984537 82984553
80 87423097 87423113
81 89483827 89483843
82 94752727 94752743
83 112710877 112710893
84 114405997 114406013
85 114812767 114812783
86 115198537 115198553
87 115921567 115921583
88 119279257 119279273
89 119732017 119732033
90 123821767 123821783
91 124160077 124160093
92 125847847 125847863
93 130278007 130278023
94 131118847 131118863
95 132842107 132842123
96 135941077 135941093
97 140124697 140124713
98 146022127 146022143
99 149620057 149620073
100 150733477 150733493
101 151048477 151048493
102 151659367 151659383
103 151848787 151848803
104 151946227 151946243
105 152574547 152574563
106 153090517 153090533
107 153514717 153514733
108 154597897 154597913
109 155011387 155011403
110 156896137 156896153
111 163893127 163893143
112 164221147 164221163
113 164564497 164564513
114 165601477 165601493
115 166000057 166000073
116 175258537 175258553
117 176919637 176919653
118 180646717 180646733
119 184706437 184706453
120 185938927 185938943
121 187315477 187315493
122 188722477 188722493
123 190504747 190504763
124 191128027 191128043
125 204332407 204332423
126 205137337 205137353
127 205216717 205216733
128 209823067 209823083
129 213861997 213862013
130 214187917 214187933
131 215989717 215989733
132 221389027 221389043
133 222762637 222762653
134 223136647 223136663
135 223789117 223789133
136 225443077 225443093
137 226901107 226901123
138 228667837 228667853
139 234929407 234929423
140 236608777 236608793
141 238523557 238523573
142 240293227 240293243
143 243857347 243857363
144 246843127 246843143
145 248834137 248834153
146 253746667 253746683
147 257699077 257699093
148 258145747 258145763
149 260708797 260708813
150 273649627 273649643
151 276244597 276244613
152 277682677 277682693
153 278340187 278340203
154 279328447 279328463
155 288004807 288004823
156 290181247 290181263
157 294430177 294430193
158 296095687 296095703
159 298713967 298713983

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-22 20:58

蔡家雄发表于 2021-7-20 20:24
前40组8生素数组(p, p+30, p+210, p+2310, p+30030, p+510510, p+9699690, p+223092870)

/727/757/937/3 ...

蔡家雄老师曾给出100万以内有40个
p,p+30,p+210,p+2310,p+30030,p+510510,p+9699690,p+223092870形式的素数阶乘八生素数群，
设想一下，这种级数一定能向高一级发展，也能向低一级后退。
以蔡老师的八生素数群向前升级，容易做到，在40个p的基础上分别加上29#、31#、37#，并分解所得和数，若有素数，则素数阶乘型9生、10生、11生素数群即可找到；经计算实际得到9个、2个和0个，即100万内素数分别加上30,210，……，37#不存在11生素数阶乘形式的素数群。
若要降级，则必须从头开始，在100万以内7万8千个素数基础上，分别加上30,210,2310，……9699690，并进行分解后才能得到。
经计算，100万内共有78498个素数，加30是素数的只有21992个2生素数群；再加上210，有7163个3生素数群；
加2310后剩2738个；加30030后剩1063个，加510510后剩396个；加9699690后还剩134个；加223092870后剩40个8生素数群，与蔡老师所给的素数群相同。

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-22 21:03
100万内10生素数阶乘形式的素数群（2个）：
素数 30 210 2310 30030 510510
23563 23593 23773 25873 53593 534073
409723 409753 409933 412033 439753 920233

素数 9699690 223092870 6469693230 200560490130
23563 9723253 223116433 6469716793 200560513693
409723 10109413 223502593 6470102953 200560899853

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-22 21:04
100万内9生素数阶乘形式的素数群（9个）：
素数 30 210 2310 30030
23563 23593 23773 25873 53593
42139 42169 42349 44449 72169
65183 65213 65393 67493 95213
86351 86381 86561 88661 116381
295049 295079 295259 297359 325079
323413 323443 323623 325723 353443
386987 387017 387197 389297 417017
409723 409753 409933 412033 439753
527347 527377 527557 529657 557377

素数 510510 9699690 223092870 6469693230
23563 534073 9723253 223116433 6469716793
42139 552649 9741829 223135009 6469735369
65183 575693 9764873 223158053 6469758413
86351 596861 9786041 223179221 6469779581
295049 805559 9994739 223387919 6469988279
323413 833923 10023103 223416283 6470016643
386987 897497 10086677 223479857 6470080217
409723 920233 10109413 223502593 6470102953
527347 1037857 10227037 223620217 6470220577

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-22 21:07
100万内8生素数阶乘形式的素数群（40个）：与蔡家雄所给相同，从略。

100万内7生素数阶乘形式的素数群（134个）：
素数 30 210 2310 30030 510510 9699690
41 71 251 2351 30071 510551 9699731
73 103 283 2383 30103 510583 9699763
337 367 547 2647 30367 510847 9700027
727 757 937 3037 30757 511237 9700417
881 911 1091 3191 30911 511391 9700571
907 937 1117 3217 30937 511417 9700597
3593 3623 3803 5903 33623 514103 9703283
9011 9041 9221 11321 39041 519521 9708701
11213 11243 11423 13523 41243 521723 9710903
11369 11399 11579 13679 41399 521879 9711059
11489 11519 11699 13799 41519 521999 9711179
13691 13721 13901 16001 43721 524201 9713381
14983 15013 15193 17293 45013 525493 9714673
15031 15061 15241 17341 45061 525541 9714721
16421 16451 16631 18731 46451 526931 9716111
17627 17657 17837 19937 47657 528137 9717317
17909 17939 18119 20219 47939 528419 9717599
21491 21521 21701 23801 51521 532001 9721181
21683 21713 21893 23993 51713 532193 9721373
22159 22189 22369 24469 52189 532669 9721849
23563 23593 23773 25873 53593 534073 9723253
24413 24443 24623 26723 54443 534923 9724103
31517 31547 31727 33827 61547 542027 9731207
31973 32003 32183 34283 62003 542483 9731663
32839 32869 33049 35149 62869 543349 9732529
36847 36877 37057 39157 66877 547357 9736537
42139 42169 42349 44449 72169 552649 9741829
43577 43607 43787 45887 73607 554087 9743267
46477 46507 46687 48787 76507 556987 9746167
48859 48889 49069 51169 78889 559369 9748549
64453 64483 64663 66763 94483 574963 9764143
65183 65213 65393 67493 95213 575693 9764873
69829 69859 70039 72139 99859 580339 9769519
70429 70459 70639 72739 100459 580939 9770119
74521 74551 74731 76831 104551 585031 9774211
77317 77347 77527 79627 107347 587827 9777007
85571 85601 85781 87881 115601 596081 9785261
86351 86381 86561 88661 116381 596861 9786041
111623 111653 111833 113933 141653 622133 9811313
116923 116953 117133 119233 146953 627433 9816613
123427 123457 123637 125737 153457 633937 9823117
124769 124799 124979 127079 154799 635279 9824459
126211 126241 126421 128521 156241 636721 9825901
127607 127637 127817 129917 157637 638117 9827297
127649 127679 127859 129959 157679 638159 9827339
134677 134707 134887 136987 164707 645187 9834367
135181 135211 135391 137491 165211 645691 9834871
140659 140689 140869 142969 170689 651169 9840349
150587 150617 150797 152897 180617 661097 9850277
161531 161561 161741 163841 191561 672041 9861221
174281 174311 174491 176591 204311 684791 9873971
175633 175663 175843 177943 205663 686143 9875323
176903 176933 177113 179213 206933 687413 9876593
178231 178261 178441 180541 208261 688741 9877921
179441 179471 179651 181751 209471 689951 9879131
182179 182209 182389 184489 212209 692689 9881869
185153 185183 185363 187463 215183 695663 9884843
199313 199343 199523 201623 229343 709823 9899003
210109 210139 210319 212419 240139 720619 9909799
214531 214561 214741 216841 244561 725041 9914221
221447 221477 221657 223757 251477 731957 9921137
225889 225919 226099 228199 255919 736399 9925579
227489 227519 227699 229799 257519 737999 9927179
228301 228331 228511 230611 258331 738811 9927991
251323 251353 251533 253633 281353 761833 9951013
270553 270583 270763 272863 300583 781063 9970243
276557 276587 276767 278867 306587 787067 9976247
280699 280729 280909 283009 310729 791209 9980389
284377 284407 284587 286687 314407 794887 9984067
285421 285451 285631 287731 315451 795931 9985111
295049 295079 295259 297359 325079 805559 9994739
298013 298043 298223 300323 328043 808523 9997703
311539 311569 311749 313849 341569 822049 10011229
312727 312757 312937 315037 342757 823237 10012417
317621 317651 317831 319931 347651 828131 10017311
323413 323443 323623 325723 353443 833923 10023103
334393 334423 334603 336703 364423 844903 10034083
351991 352021 352201 354301 382021 862501 10051681
372973 373003 373183 375283 403003 883483 10072663
386987 387017 387197 389297 417017 897497 10086677
390989 391019 391199 393299 421019 901499 10090679
392849 392879 393059 395159 422879 903359 10092539
409723 409753 409933 412033 439753 920233 10109413
431857 431887 432067 434167 461887 942367 10131547
437111 437141 437321 439421 467141 947621 10136801
443869 443899 444079 446179 473899 954379 10143559
443999 444029 444209 446309 474029 954509 10143689
448169 448199 448379 450479 478199 958679 10147859
448177 448207 448387 450487 478207 958687 10147867
451723 451753 451933 454033 481753 962233 10151413
456991 457021 457201 459301 487021 967501 10156681
459397 459427 459607 461707 489427 969907 10159087
463963 463993 464173 466273 493993 974473 10163653
486293 486323 486503 488603 516323 996803 10185983
499099 499129 499309 501409 529129 1009609 10198789
508913 508943 509123 511223 538943 1019423 10208603
516223 516253 516433 518533 546253 1026733 10215913
523637 523667 523847 525947 553667 1034147 10223327
527347 527377 527557 529657 557377 1037857 10227037
539237 539267 539447 541547 569267 1049747 10238927
554759 554789 554969 557069 584789 1065269 10254449
567737 567767 567947 570047 597767 1078247 10267427
576001 576031 576211 578311 606031 1086511 10275691
586711 586741 586921 589021 616741 1097221 10286401
592693 592723 592903 595003 622723 1103203 10292383
604697 604727 604907 607007 634727 1115207 10304387
607307 607337 607517 609617 637337 1117817 10306997
673429 673459 673639 675739 703459 1183939 10373119
676649 676679 676859 678959 706679 1187159 10376339
716449 716479 716659 718759 746479 1226959 10416139
721451 721481 721661 723761 751481 1231961 10421141
778567 778597 778777 780877 808597 1289077 10478257
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作者: yangchuanju 时间: 2021-7-22 21:10
100万内6生素数阶乘形式的素数群（396个）：
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763757 763787 763967 766067 793787 1274267
770771 770801 770981 773081 800801 1281281
777041 777071 777251 779351 807071 1287551
777221 777251 777431 779531 807251 1287731
788789 788819 788999 791099 818819 1299299
790241 790271 790451 792551 820271 1300751
793757 793787 793967 796067 823787 1304267
794383 794413 794593 796693 824413 1304893
798727 798757 798937 801037 828757 1309237
800519 800549 800729 802829 830549 1311029
802073 802103 802283 804383 832103 1312583
803867 803897 804077 806177 833897 1314377
816839 816869 817049 819149 846869 1327349
822763 822793 822973 825073 852793 1333273
824921 824951 825131 827231 854951 1335431
825679 825709 825889 827989 855709 1336189
832673 832703 832883 834983 862703 1343183
842447 842477 842657 844757 872477 1352957
850271 850301 850481 852581 880301 1360781
855397 855427 855607 857707 885427 1365907
859249 859279 859459 861559 889279 1369759
860087 860117 860297 862397 890117 1370597
869039 869069 869249 871349 899069 1379549
872923 872953 873133 875233 902953 1383433
875773 875803 875983 878083 905803 1386283
875981 876011 876191 878291 906011 1386491
878719 878749 878929 881029 908749 1389229
881141 881171 881351 883451 911171 1391651
882031 882061 882241 884341 912061 1392541
889489 889519 889699 891799 919519 1399999
901709 901739 901919 904019 931739 1412219
905137 905167 905347 907447 935167 1415647
915851 915881 916061 918161 945881 1426361
919729 919759 919939 922039 949759 1430239
928819 928849 929029 931129 958849 1439329
933949 933979 934159 936259 963979 1444459
937847 937877 938057 940157 967877 1448357
960931 960961 961141 963241 990961 1471441
961033 961063 961243 963343 991063 1471543
964009 964039 964219 966319 994039 1474519
967721 967751 967931 970031 997751 1478231
971063 971093 971273 973373 1001093 1481573
971951 971981 972161 974261 1001981 1482461
976607 976637 976817 978917 1006637 1487117
981061 981091 981271 983371 1011091 1491571
986719 986749 986929 989029 1016749 1497229

5生、4生、3生、2生数量众多，从略。

作者: 蔡家雄 时间: 2021-7-23 07:39
素数连乘的12生素数(的首素数)在10^10 内，必会出现，

p, p+30, p+30*7, p+30*7*11, p+30*7*11*13, p+30*7*11*13*17, p+30*7*11*13*17*19,

p+30*7*11*13*17*19*23, p+30*7*11*13*17*19*23*29, p+30*7*11*13*17*19*23*29*31,

p+30*7*11*13*17*19*23*29*31*37, p+30*7*11*13*17*19*23*29*31*37*41,

素数连乘的14生素数(的首素数)在10^12 内，必会出现，

素数连乘的16生素数(的首素数)在10^14 内，必会出现，

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-23 10:29

蔡家雄发表于 2021-7-23 08:09
若 k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 时，

则 23025749 + 60*(4^k - 1)/(4 - 1) 均为素数。

若 k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 时，
则 23025749 + 60*(4^k - 1)/(4 - 1) 均为素数。
令F=23025749 + 60*(4^k - 1)/(4 - 1)
k 4^k-1 F 分解式
0 0 23025749 23025749 is prime
1 3 23025809 23025809 is prime
2 15 23026109 23026109=17*83*16319
3 63 23027369 23027369=349*65981
4 255 23032469 23032469 is prime
5 1023 23052929 23052929 is prime
6 4095 23134829 23134829=113*204733
7 16383 23462489 23462489 is prime
8 65535 24773189 24773189=7*3539027
9 262143 30016049 30016049=7*1153*3719
10 1048575 50987549 50987549 is prime
11 4194303 134873609 134873609=13*19*546047
12 16777215 470417909 470417909=13*61*593213
13 67108863 1812595169 1812595169=7*11*23540197
14 268435455 7181304269 7181304269=419*547*31333
15 1073741823 28656140729 28656140729=17*73*2371*9739
其中素数只有6个，对应的k等于0,1,4,5,7,10。其余都是合数，命题不成立！

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-23 12:59

蔡家雄发表于 2021-7-23 12:41
数字 23025749 (23025749+60*(4^0-1)/(4-1)) 是质数

数字 23025809 (23025749+60*(4^1-1)/(4-1)) 是质数 ...

不知为什么，除k=0和1以外，F值都是错误的，重算结果如下：
k 4^k-1 F 分解式
0 0 23025749 23025749 is prime
1 3 23025809 23025809 is prime
2 15 23026049 23026049 is prime
3 63 23027009 23027009 is prime
4 255 23030849 23030849 is prime
5 1023 23046209 23046209 is prime
6 4095 23107649 23107649 is prime
7 16383 23353409 23353409 is prime
8 65535 24336449 24336449 is prime
9 262143 28268609 28268609 is prime
10 1048575 43997249 43997249 is prime
11 4194303 106911809 106911809 is prime
12 16777215 358570049 358570049 is prime
13 67108863 1365203009 1365203009 is prime
14 268435455 5391734849 5391734849 is prime
15 1073741823 21497862209 21497862209 is prime
16 4294967295 85922371649 85922371649=47*103*269*65981
17 17179869183 343620409409 343620409409=67*5128662827
18 68719476735 1374412560449 1374412560449=648217*2120297
19 274877906943 5497581164609 5497581164609=3203*4463*384581
20 1099511627775 21990255581249 21990255581249 is prime
21 4398046511103 87960953247809 87960953247809 is prime
22 17592186044415 351843743914049 351843743914049=39317*8948895997

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-23 14:08
（接上楼）
进一步扩大k值范围，并分解得小表：
k F———————— 分解式
23 1407374906579009 1407374906579009=25169*55916997361
24 5629499557238849 5629499557238849=409*3023*4553112007
25 22517998159878209 22517998159878209=367*887*69173554921
26 90071992570435649 90071992570435649 is prime
27 360287970212665409 360287970212665409=431*835934965690639
28 1441151880781584449 1441151880781584449=5416681*266058104729
29 5764607523057260609 5764607523057260609 is prime
30 23058430092159965249 23058430092159965249=2659*8671842832704011
31 92233720368570783809 92233720368570783809 is prime
32 368934881474214058049 368934881474214058049=193*1231*16193*19507*4916053
33 1475739525896787155009 1475739525896787155009=4729*312061646415053321
34 5902958103587079542849 5902958103587079542849=503*11735503188045883783
35 23611832414348249094209 23611832414348249094209 is prime
36 94447329657392927299649 94447329657392927299649 is prime
37 377789318629571640121409 377789318629571640121409 is prime
38 1511157274518286491408449 1511157274518286491408449=522106649*2894345968228201
39 6044629098073145896556609 6044629098073145896556609=47*21193*21972689*276182497511
40 24178516392292583517149249 24178516392292583517149249 is prime
41 96714065569170333999519809 96714065569170333999519809=347*1997969*30440609*4582664707
42 386856262276681335929002049 386856262276681335929002049=432559*894343343397504932111
43 1547425049106725343646931009 1547425049106725343646931009=1459*1060606613507008460347451
44 6189700196426901374518646849 6189700196426901374518646849=6709*922596541425980231706461
45 24758800785707605498005510209 24758800785707605498005510209=1321303*18738170416405325272103
46 99035203142830421991952963649 99035203142830421991952963649=101*980546565770598237544088749
47 396140812571321687967742777409 396140812571321687967742777409=7103*15473*4494509*801956835488779
48 1584563250285286751870902032449 1584563250285286751870902032449=541*63601*46051986658776094641989

白新岭老师给出的相关数值和素性都是正确的，该代数式中的素数几率还是相当高的！

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-23 15:08
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-7-23 15:10 编辑

在k=49-60中间，还有3个素数
k F=23025749 + 60*(4^k - 1)/(4 - 1) 分解式
49 6338253001141147007483539052609 761*1997*4170679804951281723823277
50 25353012004564588029934087133249 67*29209863307*12954636598951498721
51 101412048018258352119736279455809 53269*2425039*66588601*11789527269899
52 405648192073033408478945048746049 405648192073033408478945048746049 is prime
53 1622592768292133633915780125907009 661*2524539203*972357475508506418623
54 6490371073168534535663120434550849 226651441*28635913561954960328988689
55 25961484292674138142652481669126209 25961484292674138142652481669126209 is prime
56 103845937170696552570609926607427649 139*63521*15810149*743911753430717428679
57 415383748682786210282439706360633409 415383748682786210282439706360633409 is prime
58 1661534994731144841129758825373456449 797*8141888941*256050717519709680648937
59 6646139978924579364519035301424748609 316847*20975865256494709953128908594447
60 26584559915698317458076141205629917249 3517*2418671*30574708837*102215787675324511

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-23 19:08

yangchuanju 发表于 2021-7-23 10:29
若 k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 时，
则 23025749 + 60*(4^k - 1)/(4 - 1) 均为素数。
...

第一次计算出错的原因终于找到了！
在EXCEL的A1,A2,A3单元格中输入表头的3行文字后，
在A4单元格输入k；B4单元格输入4^k-1，在C4单元格输入F；
在A5:A20单元格中输入0-15；
在B5单元格中输入计算公式“=4^A5-1)”回车确认，并拖拽至B20；
以上计算过程没有错误。
在C5单元格中输入计算公式“=23025749+60*B5/3”，回车确认，等于23025749，正确；
如果按住C5向下拖拽，则F的计算值都是正确的；
然而没有拖拽，而是在C6单元格中又输入了一个错误计算公式“=C5+60*b5/3”后才向下拖拽至C20；
若C6单元格计算公式中的C5输成C$5,则没有任何问题，只因为少输了一个字母“$”，则除C6数值正确外，以下全错；
接着分解式除第1、第2数外都是错误的，故给定结论当然也就错了。
还因为计算表中的计算公式已改成数值，故多次查错找不到原因。

在此特表歉意，对不起各位老师和网友了！

作者: 白新岭 时间: 2021-7-24 17:16

蔡家雄发表于 2021-7-23 08:09
若 k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 时，

则 23025749 + 60*(4^k - 1)/(4 - 1) 均为素数。

10^n 16生素数a=60,q=4
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
7 0
8 0
9 0
10 0
11 0
12 1
13 2
14 6
15 20
16 69
17 247
18 949
19 3847
20 16394
21 73026
22 338477
23 1626240
24 8072518
25 41282584
26 216961441
27 1169264332
28 6449479591
29 36347905898
30 2.0898614782100000E+11
31 1.2241877455650000E+12
32 7.2969119099010000E+12
33 4.4208949807921000E+13
34 2.7197290076206300E+14
35 1.6974191541768400E+15
36 1.0738385663479600E+16
37 6.8808876640767100E+16
38 4.4627438953853500E+17
39 2.9277386732451200E+18
40 1.9416821197030800E+19
41 1.3010729213769600E+20
42 8.8040533976907400E+20
43 6.0133568665889600E+21
44 4.1439522176298000E+22
45 2.8800445303699900E+23
46 2.0179273291523100E+24
47 1.4248846301767300E+25
48 1.0136258154486800E+26
49 7.2621364558175700E+26
50 5.2385761155040600E+27
51 3.8036908255314600E+28
52 2.7792543365301300E+29
53 2.0430408223467800E+30
54 1.5106087996135800E+31
55 1.1232056800155200E+32
56 8.3967290376806100E+32
57 6.3098725167689100E+33
58 4.7655288474404100E+34
59 3.6166484732334700E+35
60 2.7576213336246400E+36
61 2.1121664861147600E+37
62 1.6248836025758500E+38
63 1.2553230404746600E+39
64 9.7379908176744200E+39
65 7.5841702304463600E+40
66 5.9295051720547100E+41
这是此种k生素数的理论值。理论预计在10^12才有实例，而蔡家雄先生给出了10^7时就有了实际值,差距有点大，不过在10^12以内在找出一例，或许是一个奇迹。

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-26 05:00
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-7-26 07:15 编辑

蔡家雄发表于 2021-7-25 20:35
素数阶乘的8生素数，可以有吗 ?

（ p , p+3! , p+5! , p+7! , p+11! , p+13! , p+17! , p+19! ）

单算100万内有没有p , p+3! , p+5! , p+7! , p+11! , p+13! , p+17! , p+19!形式的8素数群，比较简单，
在55楼给出的134组p  , p+5! , p+7! , p+11! , p+13! , p+17! , p+19!形式的7素数群的基础上，只考察134个首素数加上6是不是素数即可；
经计算，其中有24个素数，题目有解。

进一步，若再考察p+2！=p+2是不是素数，
在55楼给出的134组p  , p+5! , p+7! , p+11! , p+13! , p+17! , p+19!
7素数群的基础上，只考察134个首素数加上2和6（或在上面24组9素数群中加上2）是不是素数即可；
经计算，其中有5个素数，即有5组9素数群。

100万内有2组p  , p+5! , p+7! , p+11! , p+13! , p+17! , p+19!, p+23!, p+29!, p+31!形式的10素数群，
其中第2组的首素数409723+6=409729也是素数，可达11素数；

100万内有9组p  , p+5! , p+7! , p+11! , p+13! , p+17! , p+19!, p+23!, p+29!形式的9素数群，
其中第4组的首素数86351+2=86353,86351+6=86357都是素数；第7组首素数386987+2=386989,386987+6=386993也都是素数，都可达11素数。

若要进一步探讨它们与（3,5,7,11,13）的关系，与105k±2，±4，±8，±16，±32的关系，“无可奉告！”

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-26 07:16

蔡家雄发表于 2021-7-26 06:34
素数阶乘的8生素数，可以有吗 ?

（ p , p+3! , p+5! , p+7! , p+11! , p+13! , p+17! , p+19! ）

100万内24组p , p+3# , p+5# , p+7# , p+11# , p+13# , p+17# , p+19#形式的8生素数：
素数 6 30 210 2310 30030 510510 9699690
41 47 71 251 2351 30071 510551 9699731
73 79 103 283 2383 30103 510583 9699763
727 733 757 937 3037 30757 511237 9700417
881 887 911 1091 3191 30911 511391 9700571
13691 13697 13721 13901 16001 43721 524201 9713381
16421 16427 16451 16631 18731 46451 526931 9716111
24413 24419 24443 24623 26723 54443 534923 9724103
74521 74527 74551 74731 76831 104551 585031 9774211
77317 77323 77347 77527 79627 107347 587827 9777007
85571 85577 85601 85781 87881 115601 596081 9785261
86351 86357 86381 86561 88661 116381 596861 9786041
116923 116929 116953 117133 119233 146953 627433 9816613
123427 123433 123457 123637 125737 153457 633937 9823117
134677 134683 134707 134887 136987 164707 645187 9834367
221447 221453 221477 221657 223757 251477 731957 9921137
228301 228307 228331 228511 230611 258331 738811 9927991
323413 323419 323443 323623 325723 353443 833923 10023103
372973 372979 373003 373183 375283 403003 883483 10072663
386987 386993 387017 387197 389297 417017 897497 10086677
409723 409729 409753 409933 412033 439753 920233 10109413
431857 431863 431887 432067 434167 461887 942367 10131547
508913 508919 508943 509123 511223 538943 1019423 10208603
527347 527353 527377 527557 529657 557377 1037857 10227037
883187 883193 883217 883397 885497 913217 1393697 10582877

一般素数阶乘用p#表示，不用p!表示。

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-26 07:25
正整数的阶乘
规定0！=1
1！=1
2！=2
3！=6
4！=24
5！=120

素数的阶乘
2#=2
3#=6
5#=30
7#=210
11#=2310

非素数的#阶乘
规定4#=3#=6
6#=5#=30
8#=7#=210
9#=7#=210
10#=7#=210
12#=11#=2310
该类阶乘有没有专用数学名称，不详！

作者: 蔡家雄 时间: 2021-7-26 07:28
（ p , p+3! , p+5! , p+7! , p+11! , p+13! , p+17! , p+19! ）

3!=1*2*3
5!=1*2*3*4*5
7!=1*2*3*4*5*6*7
11!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11
13!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13
17!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15*16*17
19!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15*16*17*18*19

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-26 09:34

蔡家雄发表于 2021-7-26 07:28
（ p , p+3! , p+5! , p+7! , p+11! , p+13! , p+17! , p+19! ）

3!=1*2*3

不知蔡家雄老师要p , p+3! , p+5! , p+7! , p+11! , p+13! , p+17! , p+19!型的素数群干什么，经计算在100万内没有这样的8生素数群。
不含p+19！的7生素数群倒找到了10组：（仅给出首素数）
3797
29983
35863
36467
171757
281647
392143
542831
751627
917767
含p+19！但p+17！不是素数的有9组：（仅给出首素数）
159227
165083
247691
248701
376801
419051
785573
805723
989797

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-26 09:45
可能计算p,p+2,p+6,p+24,p+120,p+720，……形式的素数群更为有意思吧？

p0,p1=p0+2,p2=p1+4,p4=p2+6,p4=p3+8,……形式的素数群，当p0=11,17,41时链长分别为10,16,40，还有这样的素数群（链）吗？如果能找一个首素数大于41、链长大于40的素数链，将会轰动世界的！

作者: 蔡家雄 时间: 2021-7-26 11:14
素数阶乘的8生素数，可以有吗 ?

（ p , p+3! , p+5! , p+7! , p+11! , p+13! , p+17! , p+19! ）

yangchuanju 有能耐（首素数）计算到 10^8 以内吗？

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-26 12:39
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-7-26 15:53 编辑

邻距分别等于2,4,8,16,32……的多级素数
存在大量的邻距分别等于2,4,8,16,32,64……的多级素数；其间距分别等于2,6,14,30,62,126……
猜想其级数可以是任意长。

以100万内8169对孪生素数为基础，在素数对的小素数基础上分别加上6,14,30,62,126,254，使各素数邻距分别为2,4,8,16,32,64,128，
可得1293组3生素数，243组4生素数，78组5生素数，28组6生素数，5组7生素数，2组8生素数。

2组8生素数之首素数是1607和19427；
5组8生素数之首素数分别是：
1607 19427 65837 97547 499127

其中首素数1997是6级邻距分别为2,4,8,16,32的6生素数，其前4级是连续素数；
首素数2237是6级邻距分别为2,4,8,16,32的6生素数，其前5级是连续素数。

网页A090807给出2-8级素数都是连续素数的最小首素数：
3, 5, 1997, 2237, 6824897, 1356705137, 3637803390827

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-26 14:46

蔡家雄发表于 2021-7-26 13:27
蔡氏8生素数猜想：设 (2n+1) 为任一奇数，

8生素数 p, p+2, p+6, p+8, (2n+1)p+8n, (2n+1)p+8n+2, (2n+1 ...

以可求的1000组最密六生素数为基准，先求m，再求5m-8和5m+8，
对5m-8和5m+8进行分解，排序，最后可得26对素数：
序号六生小素数 5m-8 5m+8
1 7 67 83
2 1091257 5456317 5456333
3 37055647 185278267 185278283
4 50943787 254718967 254718983
5 156896137 784480717 784480733
6 163893127 819465667 819465683
7 246843127 1234215667 1234215683
8 279328447 1396642267 1396642283
9 335699587 1678497967 1678497983
10 926463397 4632317017 4632317033
11 1102078837 5510394217 5510394233
12 1121630677 5608153417 5608153433
13 1150877587 5754387967 5754387983
14 1454384287 7271921467 7271921483
15 1674508597 8372543017 8372543033
16 1744485637 8722428217 8722428233
17 1838705497 9193527517 9193527533
18 2169562387 10847811967 10847811983
19 2427206137 12136030717 12136030733
20 2782534747 13912673767 13912673783
21 3617172187 18085860967 18085860983
22 3843903517 19219517617 19219517633
23 3949495717 19747478617 19747478633
24 4240209427 21201047167 21201047183
25 4521673687 22608368467 22608368483
26 4599296827 22996484167 22996484183
它们远远大于基准素数，有什么意义？

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-26 15:34
尚若以可求的1000组最密六生素数为基准，先求m，再求m-16和m+16，
对m-16和m+16进行分解，排序，最后可得21组跨距32的8生对称素数：
序号六生小素数 m m-16 m+16
1 50943787 50943795 50943779 50943811
2 246843127 246843135 246843119 246843151
3 507420367 507420375 507420359 507420391
4 542460547 542460555 542460539 542460571
5 545170177 545170185 545170169 545170201
6 587191597 587191605 587191589 587191621
7 1040321197 1040321205 1040321189 1040321221
8 1170706627 1170706635 1170706619 1170706651
9 1286807437 1286807445 1286807429 1286807461
10 1343203777 1343203785 1343203769 1343203801
11 1356784057 1356784065 1356784049 1356784081
12 1391341867 1391341875 1391341859 1391341891
13 1789459027 1789459035 1789459019 1789459051
14 2315429647 2315429655 2315429639 2315429671
15 2384022997 2384023005 2384022989 2384023021
16 3251282467 3251282475 3251282459 3251282491
17 3408027517 3408027525 3408027509 3408027541
18 3960814927 3960814935 3960814919 3960814951
19 4000080517 4000080525 4000080509 4000080541
20 4209142027 4209142035 4209142019 4209142051
21 4795390417 4795390425 4795390409 4795390441
经核对，与蔡家雄老师给出的8生对称素数相同。

又若以可求的1000组最密六生素数为基准，先求m，再求m-14和m+14，
对m-14和m+14进行分解，排序，没有得到1组跨距28的8生对称素数；
不存在这样的8生素数。

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-27 07:47

蔡家雄发表于 2021-7-26 15:57
p+2^n -2 均为素数的k生素数，

p+3^n -3 均为素数的k生素数，

单单以第2式为例，以前2万个奇素数为基准，再取n=1-9，经计算存在有4730组2生素数，916组3生素数，141组4生素数，35组5生素数，10组6生素数，5组7生素数，3组8生素数，没有9生素数；
尚若基数扩大，一定能够找到9生、10生、……k生素数。

单单以第1式为例，单单以第3式为例，单单以第4式为例，……，一定会有与第2式相同的结果。

尚若要得到由同一个首素数p构成的k生素数，哪怕k=3，甚至k=2，恐怕都是困难的；当k值较大时甚至是不可能的。
尚若各式中的p不是相同的，任何一个单项式都能得到不同数量的k生素数，一般会有2生数量≥3生素数≥4生素数≥……≥k生素数；
这样的话该猜想又有什么意义？
尚若如此第2项的底数也不必限定为素数2,3,5,7；当底数等于4,6,8,9,10……时，也会有同样的结论！

请老师明示，k规定为几？4、5，还是6？还是任意值？
4个代数式中的p是同一个素数，还是不同的素数？

作者: 蔡家雄 时间: 2021-7-27 07:56
p+3^n -3 均为素数的8生素数，

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-27 08:41

蔡家雄发表于 2021-7-27 07:56
p+3^n -3 均为素数的8生素数，

3组8生素数是：
1543 1549 1567 1621 1783 2269 3727 8101
9103 9109 9127 9181 9343 9829 11287 15661
31643 31649 31667 31721 31883 32369 33827 38201

作者: 独舟星海 时间: 2021-7-27 09:02

yangchuanju 发表于 2021-7-27 07:47
单单以第2式为例，以前2万个奇素数为基准，再取n=1-9，经计算存在有4730组2生素数，916组3生素数，141组4 ...

存在任意长度的素数差的等比数列且公比为任意正整数及其倒数
http://www.mathchina.com/bbs/for ... &fromuid=130154
(出处: 数学中国)
最近你与蔡家雄讨论的问题，与我们以前讨论的问题，存在任意长度，任意公比（正整数的公比，及其倒数）的素数一阶差分等比数列。
连接中有这反面的专题讨论。

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-27 09:05
独舟星海（白新岭）老师在点评71楼中的观点是明确的，4个代数式中的p不要求是同一个素数；
蔡家雄老师在73楼中，明确了k等于8；
这样问题就好解了，第2式已经求得3组8生素数，另3式仿第2式用的能找到8生素数群，可能素数基准还需要加大。
谢谢两位老师！

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-27 12:16
蔡家雄老师在71楼给出一个猜想：
p+2^n -2 均为素数的k生素数，
p+3^n -3 均为素数的k生素数，
p+5^n -5 均为素数的k生素数，
p+7^n -7 均为素数的k生素数，

经通融和协商，取k=8，各代数式中的p不要求是同一个素数。
以前2万个奇素数为基数分别解之，4代数式中均有2-8或2-9生素数链存在，汇总如下：
生数 p+2^n -2 p+3^n -3 p+5^n -5 p+7^n -7
1 20000 20000 20000 20000
2 2371 4730 3167 5665
3 452 916 938 1394
4 92 141 263 292
5 44 35 65 107
6 16 10 17 28
7 4 5 7 6
8 2 3 3 1
9 1 0 2 0
p+2^n -2中有2个8生素数群（链）：
p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8
1607 1609 1613 1621 1637 1669 1733 1861
19427 19429 19433 19441 19457 19489 19553 19681
p+3^n -3中有3个8生素数群（链）：
1543 1549 1567 1621 1783 2269 3727 8101
9103 9109 9127 9181 9343 9829 11287 15661
31643 31649 31667 31721 31883 32369 33827 38201
p+5^n -5中有3个8生素数群（链）：
9161 9181 9281 9781 12281 24781 87281 399781
9623 9643 9743 10243 12743 25243 87743 400243
12143 12163 12263 12763 15263 27763 90263 402763
p+7^n -7中只有1个8生素数群（链）：
167107 167149 167443 169501 183907 284749 990643 5931901

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-27 12:18
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-7-27 13:18 编辑

从上表可以发现，4种8生素数的首素数互不相同；如若要求首素数p相同，则方程组无解。
尽管上表中无首素数相同的8生素数，但不排除当基数扩大到一定范围后有2个，3个甚至4个首素数都相同的；
若首素数基数扩大，可能都会出现9生、10生、……任意k生素数。

在上表中没有首素数相同的8生素数，有没有首素数相同7生、6生素数？有没有首素数相同5生、4生素数？
单独的1-4式中分别有92、141、263和292个4生素数，经汇总检验它们中没有4首素数相同的，也没有3首素数相同的，仅有16个2首素数相同的；据此更不会有4首素数相同的5生、6生、7生素数。

改求3生素数：单独的1-4式中分别有452、916、938和1394个3生素数，经汇总检验它们中有2组4首素数相同的，分别是：
17 19 23
17 23 41
17 37 137
17 59 353
和
107 109 113
107 113 131
107 127 227
107 149 443

当然对于2生素数，4首素数相同的会更多些。

作者: 白新岭 时间: 2021-7-27 14:49

yangchuanju 发表于 2021-7-27 12:18
从上表可以发现，4种8生素数的首素数互不相同；如若要求首素数p相同，则方程组无解。
尽管上表中无首素数 ...

二生的，相当于找这样的一组5生素数（0,2,6,20,42），它是可以过素数2,3,5的关卡的；三生的为这样的一组（0,2,6,20,42,6,24,120,336）→（0.2,6,20,24，42,120,336）(即8生素数），也能过2,3,5,7之关卡；接下来四生的有吗？（0.2,6,20,24，42,120,336，14,78,620,2394）→（0,2,6,14,20,24,42,78,120,336,620,2394）它不能通过素数5的关卡，所以4生以上的同P，四种形式的k生素数没有（不用找了，老天爷不给这个机会）。

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-27 15:13

白新岭发表于 2021-7-27 14:49
二生的，相当于找这样的一组5生素数（0,2,6,20,42），它是可以过素数2,3,5的关卡的；三生的为这样的一组 ...

白新岭老师已经上升到理论分析高度，原来4个首素数都相同的4个4生素数不可能存在，它通不过5的关卡。
这已经不是基数够不够大的问题，基数再大也无用了！
4个首素数都相同的4个4生素数不可能存在，那5生、6生、7生、8生就不必再谈了！

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-28 12:01

yangchuanju 发表于 2021-7-26 09:34
不知蔡家雄老师要p , p+3! , p+5! , p+7! , p+11! , p+13! , p+17! , p+19!型的素数群干什么，经计算在10 ...

【转载】ysr的计算结果：发表于 2021-7-27 17:27
p~p+19！确实有解找到一个：
1030000与1040000之间的素数打头有1组8生素数对: (用时959.1289秒）
/1034003/1034009/1034123/1039043/40950803/6228054803/355687429130003/121645100409866003p=1034003.

独舟星海点评：
从开始1034003到1034003+19!=121645100409866003（18位数），的确都是素数。说明，ysr先生在素数问题编程上，已经达到了很高的地步。

ysr的致谢：
谢谢朋友检验和鼓励！

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-28 12:28
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-7-28 12:30 编辑

转载ysr先生计算的153组：
1000万内p,p+3#,p+5#,p+7#,p+11#,p+13#,p+17#,p+19#形式的8生素数
23与1000000之间有40组p, p+30, p+210, p+2310, p+30030, p+510510, p+9699690, p+223092870素数对:
1 /727/757/937/3037/30757/511237/9700417/223093597
2 /3593/3623/3803/5903/33623/514103/9703283/223096463
3 /9011/9041/9221/11321/39041/519521/9708701/223101881
4 /11369/11399/11579/13679/41399/521879/9711059/223104239
5 /11489/11519/11699/13799/41519/521999/9711179/223104359
6 /17909/17939/18119/20219/47939/528419/9717599/223110779
7 /21683/21713/21893/23993/51713/532193/9721373/223114553
8 /23563/23593/23773/25873/53593/534073/9723253/223116433
9 /36847/36877/37057/39157/66877/547357/9736537/223129717
10 /42139/42169/42349/44449/72169/552649/9741829/223135009
11 /65183/65213/65393/67493/95213/575693/9764873/223158053
12 /70429/70459/70639/72739/100459/580939/9770119/223163299
13 /74521/74551/74731/76831/104551/585031/9774211/223167391
14 /86351/86381/86561/88661/116381/596861/9786041/223179221
15 /116923/116953/117133/119233/146953/627433/9816613/223209793
16 /127607/127637/127817/129917/157637/638117/9827297/223220477
17 /140659/140689/140869/142969/170689/651169/9840349/223233529
18 /150587/150617/150797/152897/180617/661097/9850277/223243457
19 /161531/161561/161741/163841/191561/672041/9861221/223254401
20 /185153/185183/185363/187463/215183/695663/9884843/223278023
21 /295049/295079/295259/297359/325079/805559/9994739/223387919
22 /323413/323443/323623/325723/353443/833923/10023103/223416283
23 /372973/373003/373183/375283/403003/883483/10072663/223465843
24 /386987/387017/387197/389297/417017/897497/10086677/223479857
25 /392849/392879/393059/395159/422879/903359/10092539/223485719
26 /409723/409753/409933/412033/439753/920233/10109413/223502593
27 /443869/443899/444079/446179/473899/954379/10143559/223536739
28 /448169/448199/448379/450479/478199/958679/10147859/223541039
29 /499099/499129/499309/501409/529129/1009609/10198789/223591969
30 /527347/527377/527557/529657/557377/1037857/10227037/223620217
31 /554759/554789/554969/557069/584789/1065269/10254449/223647629
32 /592693/592723/592903/595003/622723/1103203/10292383/223685563
33 /607307/607337/607517/609617/637337/1117817/10306997/223700177
34 /673429/673459/673639/675739/703459/1183939/10373119/223766299
35 /676649/676679/676859/678959/706679/1187159/10376339/223769519
36 /716449/716479/716659/718759/746479/1226959/10416139/223809319
37 /721451/721481/721661/723761/751481/1231961/10421141/223814321
38 /778567/778597/778777/780877/808597/1289077/10478257/223871437
39 /783799/783829/784009/786109/813829/1294309/10483489/223876669
40 /928903/928933/929113/931213/958933/1439413/10628593/224021773

1000000与2000000之间有18组p, p+30, p+210, p+2310, p+30030, p+510510, p+9699690, p+223092870素数对:
41 /1020989/1021019/1021199/1023299/1051019/1531499/10720679/224113859
42 /1115239/1115269/1115449/1117549/1145269/1625749/10814929/224208109
43 /1128509/1128539/1128719/1130819/1158539/1639019/10828199/224221379
44 /1141031/1141061/1141241/1143341/1171061/1651541/10840721/224233901
45 /1199689/1199719/1199899/1201999/1229719/1710199/10899379/224292559
46 /1226651/1226681/1226861/1228961/1256681/1737161/10926341/224319521
47 /1249481/1249511/1249691/1251791/1279511/1759991/10949171/224342351
48 /1304209/1304239/1304419/1306519/1334239/1814719/11003899/224397079
49 /1362997/1363027/1363207/1365307/1393027/1873507/11062687/224455867
50 /1372097/1372127/1372307/1374407/1402127/1882607/11071787/224464967
51 /1448177/1448207/1448387/1450487/1478207/1958687/11147867/224541047
52 /1478021/1478051/1478231/1480331/1508051/1988531/11177711/224570891
53 /1529419/1529449/1529629/1531729/1559449/2039929/11229109/224622289
54 /1557623/1557653/1557833/1559933/1587653/2068133/11257313/224650493
55 /1571747/1571777/1571957/1574057/1601777/2082257/11271437/224664617
56 /1708979/1709009/1709189/1711289/1739009/2219489/11408669/224801849
57 /1729681/1729711/1729891/1731991/1759711/2240191/11429371/224822551
58 /1870117/1870147/1870327/1872427/1900147/2380627/11569807/224962987

2000000与3000000之间有15组p, p+30, p+210, p+2310, p+30030, p+510510, p+9699690, p+223092870素数对:
59 /2030459/2030489/2030669/2032769/2060489/2540969/11730149/225123329
60 /2053979/2054009/2054189/2056289/2084009/2564489/11753669/225146849
61 /2229103/2229133/2229313/2231413/2259133/2739613/11928793/225321973
62 /2316173/2316203/2316383/2318483/2346203/2826683/12015863/225409043
63 /2350741/2350771/2350951/2353051/2380771/2861251/12050431/225443611
64 /2359963/2359993/2360173/2362273/2389993/2870473/12059653/225452833
65 /2360509/2360539/2360719/2362819/2390539/2871019/12060199/225453379
66 /2399113/2399143/2399323/2401423/2429143/2909623/12098803/225491983
67 /2426609/2426639/2426819/2428919/2456639/2937119/12126299/225519479
68 /2440049/2440079/2440259/2442359/2470079/2950559/12139739/225532919
69 /2477747/2477777/2477957/2480057/2507777/2988257/12177437/225570617
70 /2501071/2501101/2501281/2503381/2531101/3011581/12200761/225593941
71 /2572667/2572697/2572877/2574977/2602697/3083177/12272357/225665537
72 /2641337/2641367/2641547/2643647/2671367/3151847/12341027/225734207
73 /2759411/2759441/2759621/2761721/2789441/3269921/12459101/225852281

3000000与4000000之间有17组p, p+30, p+210, p+2310, p+30030, p+510510, p+9699690, p+223092870素数对:
74 /3165397/3165427/3165607/3167707/3195427/3675907/12865087/226258267
75 /3165709/3165739/3165919/3168019/3195739/3676219/12865399/226258579
76 /3199433/3199463/3199643/3201743/3229463/3709943/12899123/226292303
77 /3292507/3292537/3292717/3294817/3322537/3803017/12992197/226385377
78 /3375137/3375167/3375347/3377447/3405167/3885647/13074827/226468007
79 /3402821/3402851/3403031/3405131/3432851/3913331/13102511/226495691
80 /3412271/3412301/3412481/3414581/3442301/3922781/13111961/226505141
81 /3445723/3445753/3445933/3448033/3475753/3956233/13145413/226538593
82 /3505517/3505547/3505727/3507827/3535547/4016027/13205207/226598387
83 /3515173/3515203/3515383/3517483/3545203/4025683/13214863/226608043
84 /3659111/3659141/3659321/3661421/3689141/4169621/13358801/226751981
85 /3662731/3662761/3662941/3665041/3692761/4173241/13362421/226755601
86 /3667219/3667249/3667429/3669529/3697249/4177729/13366909/226760089
87 /3865123/3865153/3865333/3867433/3895153/4375633/13564813/226957993
88 /3877897/3877927/3878107/3880207/3907927/4388407/13577587/226970767
89 /3950599/3950629/3950809/3952909/3980629/4461109/13650289/227043469
90 /3970103/3970133/3970313/3972413/4000133/4480613/13669793/227062973

4000000与5000000之间有9组p, p+30, p+210, p+2310, p+30030, p+510510, p+9699690, p+223092870素数对:
91 /4053113/4053143/4053323/4055423/4083143/4563623/13752803/227145983
92 /4162727/4162757/4162937/4165037/4192757/4673237/13862417/227255597
93 /4292059/4292089/4292269/4294369/4322089/4802569/13991749/227384929
94 /4312123/4312153/4312333/4314433/4342153/4822633/14011813/227404993
95 /4808827/4808857/4809037/4811137/4838857/5319337/14508517/227901697
96 /4857341/4857371/4857551/4859651/4887371/5367851/14557031/227950211
97 /4863263/4863293/4863473/4865573/4893293/5373773/14562953/227956133
98 /4891253/4891283/4891463/4893563/4921283/5401763/14590943/227984123
99 /4930421/4930451/4930631/4932731/4960451/5440931/14630111/228023291

5000000与6000000之间有12组p, p+30, p+210, p+2310, p+30030, p+510510, p+9699690, p+223092870素数对:
100 /5009497/5009527/5009707/5011807/5039527/5520007/14709187/228102367
101 /5009519/5009549/5009729/5011829/5039549/5520029/14709209/228102389
102 /5203409/5203439/5203619/5205719/5233439/5713919/14903099/228296279
103 /5203837/5203867/5204047/5206147/5233867/5714347/14903527/228296707
104 /5251919/5251949/5252129/5254229/5281949/5762429/14951609/228344789
105 /5315993/5316023/5316203/5318303/5346023/5826503/15015683/228408863
106 /5376559/5376589/5376769/5378869/5406589/5887069/15076249/228469429
107 /5392193/5392223/5392403/5394503/5422223/5902703/15091883/228485063
108 /5639587/5639617/5639797/5641897/5669617/6150097/15339277/228732457
109 /5658967/5658997/5659177/5661277/5688997/6169477/15358657/228751837
110 /5684323/5684353/5684533/5686633/5714353/6194833/15384013/228777193
111 /5847557/5847587/5847767/5849867/5877587/6358067/15547247/228940427

6000000与7000000之间有12组p, p+30, p+210, p+2310, p+30030, p+510510, p+9699690, p+223092870素数对:
112 /6052273/6052303/6052483/6054583/6082303/6562783/15751963/229145143
113 /6224033/6224063/6224243/6226343/6254063/6734543/15923723/229316903
114 /6235627/6235657/6235837/6237937/6265657/6746137/15935317/229328497
115 /6416383/6416413/6416593/6418693/6446413/6926893/16116073/229509253
116 /6490063/6490093/6490273/6492373/6520093/7000573/16189753/229582933
117 /6563591/6563621/6563801/6565901/6593621/7074101/16263281/229656461
118 /6607889/6607919/6608099/6610199/6637919/7118399/16307579/229700759
119 /6671683/6671713/6671893/6673993/6701713/7182193/16371373/229764553
120 /6715649/6715679/6715859/6717959/6745679/7226159/16415339/229808519
121 /6763213/6763243/6763423/6765523/6793243/7273723/16462903/229856083
122 /6827473/6827503/6827683/6829783/6857503/7337983/16527163/229920343
123 /6930643/6930673/6930853/6932953/6960673/7441153/16630333/230023513

7000000与10000000之间有30组p, p+30, p+210, p+2310, p+30030, p+510510, p+9699690, p+223092870素数对:
124 /7359731/7359761/7359941/7362041/7389761/7870241/17059421/230452601
125 /7652521/7652551/7652731/7654831/7682551/8163031/17352211/230745391
126 /7652947/7652977/7653157/7655257/7682977/8163457/17352637/230745817
127 /7679849/7679879/7680059/7682159/7709879/8190359/17379539/230772719
128 /7757521/7757551/7757731/7759831/7787551/8268031/17457211/230850391
129 /7957393/7957423/7957603/7959703/7987423/8467903/17657083/231050263
130 /8031379/8031409/8031589/8033689/8061409/8541889/17731069/231124249
131 /8034877/8034907/8035087/8037187/8064907/8545387/17734567/231127747
132 /8051803/8051833/8052013/8054113/8081833/8562313/17751493/231144673
133 /8156903/8156933/8157113/8159213/8186933/8667413/17856593/231249773
134 /8283521/8283551/8283731/8285831/8313551/8794031/17983211/231376391
135 /8313911/8313941/8314121/8316221/8343941/8824421/18013601/231406781
136 /8365883/8365913/8366093/8368193/8395913/8876393/18065573/231458753
137 /8534651/8534681/8534861/8536961/8564681/9045161/18234341/231627521
138 /8847689/8847719/8847899/8849999/8877719/9358199/18547379/231940559
139 /8984593/8984623/8984803/8986903/9014623/9495103/18684283/232077463
140 /9026551/9026581/9026761/9028861/9056581/9537061/18726241/232119421
141 /9209437/9209467/9209647/9211747/9239467/9719947/18909127/232302307
142 /9355919/9355949/9356129/9358229/9385949/9866429/19055609/232448789
143 /9374063/9374093/9374273/9376373/9404093/9884573/19073753/232466933
144 /9482873/9482903/9483083/9485183/9512903/9993383/19182563/232575743
145 /9592459/9592489/9592669/9594769/9622489/10102969/19292149/232685329
146 /9725461/9725491/9725671/9727771/9755491/10235971/19425151/232818331
147 /9745529/9745559/9745739/9747839/9775559/10256039/19445219/232838399
148 /9745817/9745847/9746027/9748127/9775847/10256327/19445507/232838687
149 /9828223/9828253/9828433/9830533/9858253/10338733/19527913/232921093
150 /9908021/9908051/9908231/9910331/9938051/10418531/19607711/233000891
151 /9909323/9909353/9909533/9911633/9939353/10419833/19609013/233002193
152 /9920501/9920531/9920711/9922811/9950531/10431011/19620191/233013371
153 /9933853/9933883/9934063/9936163/9963883/10444363/19633543/233026723

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-29 13:47
素数间隙（邻距）依次是2,4,6,8……及……8,6,4,2的多生素数
网页A281448给出174个含9个连续素数的邻距依次为2,4,6,8,10,12,14,16的9生素数；
网页A290264给出21个含9个连续素数的邻距依次为16,14,12,10,8,6,4,2的9生素数；
其它网页分别给出相应的8生、7生、6生……素数。
有没有间隙（邻距）等于424,64246,8642468的对称4生、6生、8生素数呢？
答案是肯定的，有，各有无穷多组。

邻距等于424的对称4生素数大量存在，不必多说；
以跨距等于10的4生素数为基数，前减6后加6，可得跨距22邻距64246的对称6生素数：
网页A052378给出2000个邻距424型的对称四生素数，在此基础上前减6后加6，可得55组跨距等于22，邻距64246的对称6生素数；
再在55组6生对称素数基础上前减8后加8，可得4组跨距等于38，邻距8642468的对称8生素数。
4首 6首 8首 8尾
37 31 23 61
55813 55807 55799 55837
1107787 1107781 1107773 1107811
6583117 6583111 6583103 6583141
完整组成：
p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8
23 31 37 41 43 47 53 61
55799 55807 55813 55817 55819 55823 55829 55837
1107773 1107781 1107787 1107791 1107793 1107797 1107803 1107811
6583103 6583111 6583117 6583121 6583123 6583127 6583133 6583141

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-29 13:49
猜想和扩展
猜想应该存在邻距依次为10 8 6 4 2 4 6 8 10对称10生素数；
存在邻距依次为12 10 8 6 4 2 4 6 8 10 12对称12生素数；
存在邻距依次为14 12 10 8 6 4 2 4 6 8 10 12 14对称14生素数；
存在邻距依次为16 14 12 10 8 6 4 2 4 6 8 10 12 14 16对称16生素数；
……

猜想邻距依次为2,4,6,8,10,12,14,16的对称多生素数，可向后任意延伸；
邻距依次为16,14,12,10,8,6,4,2的多生素数，亦可向前任意延伸；
邻距依次为16 14 12 10 8 6 4 2 4 6 8 10 12 14 16对称多生素数可向前后任意延伸。

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-29 13:50
另一系列间隙对称多生素数
以邻距为242的最密4生素数为基数，前减后加，可扩展为
邻距分别为4 2 4 2 4、8 4 2 4 2 4 8和16 8 4 2 4 2 4 8 16对称6生、8生、10生素数。
6生邻距间距模3余数模5余数模7余数
0 0 0 0 0
4 4 1 4 4
2 6 0 1 6
4 10 1 0 3
2 12 0 2 5
4 16 1 1 2
— — 缺2 缺3 缺1
6生可通过3,5,7的检验（关卡）。

8生邻距间距模3余数模5余数模7余数
0 0 0 0 0
8 8 2 3 1
4 12 0 2 5
2 14 2 4 0
4 18 0 3 4
2 20 2 0 6
4 24 0 4 3
8 32 2 2 4
— — 缺1 缺1 缺2
8生可通过3,5,7的检验（关卡）。

10生邻距间距模3余数模5余数模7余数
0 0 0 0 0
16 16 1 1 2
8 24 0 4 3
4 28 1 3 0
2 30 0 0 2
4 34 1 4 6
2 36 0 1 1
4 40 1 0 5
8 48 0 3 6
16 64 1 4 1
— — 缺2 缺2 缺4
10生可通过3,5,7的检验（关卡）。

12生邻距间距模3余数模5余数模7余数模11余数
0 0 0 0 0 0
32 32 2 2 4 10
16 48 0 3 6 4
8 56 2 1 0 1
4 60 0 0 4 5
2 62 2 2 6 7
4 66 0 1 3 0
2 68 2 3 5 2
4 72 0 2 2 6
8 80 2 0 3 3
16 96 0 1 5 8
32 128 2 3 2 7
— — 缺1 缺4 缺1 缺9
12生可通过3,5,7,11的检验（关卡）。

该系列间隙对称的多生素数的基数是间隙（邻距）等于242的四生素数，它们均是模30余11,13,17,19的，其中位数是15x，
略加变换即可变成蔡家雄给出的15x±2，±4，±8，±16，±32……型。

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-29 13:52
蔡家雄老师曾给出许多组105x±2，±4，±8，±16，±32形式的对称素数；
105x±2/±4或15x±2/±4形式的对称4生素数就是跨距8,邻距242的最密4生素数；
105x±2/±4/±8或15x±2/±4/±8形式的对称6生素数就是跨距16，邻距42424的最密6生素数；
105x±2/±4/±8/±16形式的对称8生素数可在最密6生素数首素数前减8，尾素数后加8，再找出其中全是素数的；
网页A022008给出1000组最密六生素数之首素数（均模30余7），以此为基数前减8后加8，可得21组对称8生素数；
经核对，它们就是网页A066082给出的100组对称8生素数，蔡家雄给出的300组的前21组。
再以21组对称8生素数为基数，前减16后加16，其中没有105x±2/±4/±8/±16/±32对称10生素数：
改以蔡家雄给出的300组对称8生素数为基数，前减16后加16，最后得到一组对称10生素数，中位数是40874929095，
它是蔡家雄给出的5组15015x±2/±4/±8/±16/±32形式对称10生素数的第一组。

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-29 14:08
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-7-29 14:22 编辑

白新岭老师已经证明存在大量的邻距依次为2,4,8,16,32,64……的多生素数；
白新岭老师又证明存在大量的邻距依次为……64,32,16,8,4,2的多生素数；
那么存在邻距依次为……64,32,16,8,4,2,4,8,16,32,64……的对称型多生素数吗？
答案是否定的，不存在！

6生邻距间距模3余数模5余数模7余数
0 0 0 0 0
8 8 2 3 1
4 12 0 2 5
2 14 2 4 0
4 18 0 3 4
8 26 2 1 5
— — 缺1 不缺缺2 3 6
6生通不过素数5的关卡！不存在！

8生邻距间距模3余数模5余数模7余数
0 0 0 0 0
16 16 1 1 2
8 24 0 4 3
4 28 1 3 0
2 30 0 0 2
4 34 1 4 6
8 42 0 2 0
16 58 1 3 2
— — 缺2 不缺缺1 4 5
8生通不过素数5的关卡！不存在！
实际上6生都通不过，怎么能通过8生呢！
更高生的不再检验！

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-29 18:32

yangchuanju 发表于 2021-7-29 13:49
猜想和扩展
猜想应该存在邻距依次为10 8 6 4 2 4 6 8 10对称10生素数；
存在邻距依次为12 10 8 6 4 2 4 6 ...

邻距64246型对称6生素数34组
p1 p2 p3 p4 p5 p6
31 37 41 43 47 53
2677 2683 2687 2689 2693 2699
35521 35527 35531 35533 35537 35543
42451 42457 42461 42463 42467 42473
44257 44263 44267 44269 44273 44279
55807 55813 55817 55819 55823 55829
93481 93487 93491 93493 93497 93503
118891 118897 118901 118903 118907 118913
198817 198823 198827 198829 198833 198839
221707 221713 221717 221719 221723 221729
234181 234187 234191 234193 234197 234203
313981 313987 313991 313993 313997 314003
393571 393577 393581 393583 393587 393593
560227 560233 560237 560239 560243 560249
669847 669853 669857 669859 669863 669869
1107781 1107787 1107791 1107793 1107797 1107803
1210387 1210393 1210397 1210399 1210403 1210409
1596367 1596373 1596377 1596379 1596383 1596389
1616611 1616617 1616621 1616623 1616627 1616633
1738411 1738417 1738421 1738423 1738427 1738433
2710921 2710927 2710931 2710933 2710937 2710943
3194551 3194557 3194561 3194563 3194567 3194573
3377587 3377593 3377597 3377599 3377603 3377609
3441931 3441937 3441941 3441943 3441947 3441953
3484561 3484567 3484571 3484573 3484577 3484583
3586537 3586543 3586547 3586549 3586553 3586559
3699181 3699187 3699191 3699193 3699197 3699203
3887551 3887557 3887561 3887563 3887567 3887573
3904897 3904903 3904907 3904909 3904913 3904919
4095661 4095667 4095671 4095673 4095677 4095683
4192261 4192267 4192271 4192273 4192277 4192283
4239721 4239727 4239731 4239733 4239737 4239743
4802521 4802527 4802531 4802533 4802537 4802543
5177791 5177797 5177801 5177803 5177807 5177813

作者: yangchuanju 时间: 2021-7-29 18:32
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-8-4 03:59 编辑

邻距8642468型对称8生素数4组

p1 p2 p3 p4
55799 55807 55813 55817
1107773 1107781 1107787 1107791
6583103 6583111 6583117 6583121
68327513 68327521 68327527 68327531

p5 p6 p7 p8
55819 55823 55829 55837
1107793 1107797 1107803 1107811
6583123 6583127 6583133 6583141
68327533 68327537 68327543 68327551

作者: wlc1 时间: 2021-8-2 18:07
！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

作者: wlc1 时间: 2021-8-2 18:07

:lol

作者: 蔡家雄 时间: 2021-8-2 20:38
中项数成等差 90 的三连四生素数，有无限多组吗？

如：(11, 13, 17, 19) 与 (101, 103, 107, 109) 及 (191, 193, 197, 199)

作者: 蔡家雄 时间: 2021-8-2 20:40
中项数成等差 120 的三连四生素数，有无限多组吗？

如：

作者: yangchuanju 时间: 2021-8-2 21:42
1楼、2楼以给出连体四生素数的详细说明和可能间距19种；理论分析存在间距90+90和120+120的三连体四生素数，但以前10000组最密四生素数（2.65亿以内）为基数，分别加上90,180和120,240；仅在加90,180中找到一组11,13,17,19加90,180是三连体四生素数的外，没有再找到第2组。

从数据趋势看，三连体四生素数应该有无穷多组，但要进行严格的数学证明，本人无能为力；就像公认的孪生素数无穷多，但至今无人能给出严格的上下证明一样。

作者: 蔡家雄 时间: 2021-8-3 11:31
素数链：Q(n+1)=2*Q(n) +1，求证：这条素数链一定是9字尾素数。

素数差(首项差p+1)等比2 的8生素数是存在的。

1------p = 19099919

2------p = 52554569

3------p = 85864769

4------p = 171729539

5------p = 198479579

6------p = 226366139

7------p = 305192579

8------p = 344319029

9------p = 396959159

10------p = 474118349

11------p = 574964129

12------p = 610385159

13------p = 685066979

14------p = 764406059

作者: yangchuanju 时间: 2021-8-3 13:01
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-8-3 13:06 编辑

蔡家雄发表于 2021-8-3 11:26
定义：孪生素数(p, p+2)的中项(p+1)，叫：孪中数。

孪中比猜想：正有理数Q 均可表为两个孪中数之比。

2^607-1是一个梅森素数，2^607-1=531137992816767098689588206552468627329593117727031923199444138200403559860852242739162502265229285668889329486246501015346579337652707239409519978766587351943831270835393219031728127，怎么能被61整除呢？
2677174495893273722589934875717390492623447630247218057290638206392224123300632686914611634542774952949753220808951176042803665822471588204881714976974045218105284329082257750868474037737150/（2^607-1)=5040450

作者: 蔡家雄 时间: 2021-8-4 10:22
同一个n值，

使 (2n+1)(2n+3)(2n+5) -4, -2, +2, +4 均为最密4生素数，

的前20个解，请给出首奇数 2n+1= ?

作者: yangchuanju 时间: 2021-8-4 10:29
蔡老师求这些素数用途不大，凭蔡老师的本领有可能找到某些相当于n^2+n+41的长素数链，届时有可能轰动世界的！

作者: 蔡家雄 时间: 2021-8-4 10:43
长素数链早已找到了，但，不是我发现的，

A0=2
A1=2^A0 -1
A2=2^A1 -1
A3=2^A2 -1
A4=2^A3 -1
A5=2^A4 -1

A(n+1)=2^An -1

作者: 蔡家雄 时间: 2021-8-4 10:55
长素数链早已找到了，但，不是我发现的，

A0=2
A1=2^A0 -1
A2=2^A1 -1
A3=2^A2 -1
A4=2^A3 -1
A5=2^A4 -1

A(n+1)=2^An -1

长素数链早已找到了，但，不是我发现的，

有数学家已证明：存在一个常数A ,

[ A^(3^n) ] 取整数部分，都是素数，

但，遗憾的是：人们至今不知道这个常数A的具体的值，

等，几个世纪，某一个超人才能求出，:lol :lol :lol

作者: yangchuanju 时间: 2021-8-4 11:13

蔡家雄发表于 2021-8-4 10:43
长素数链早已找到了，但，不是我发现的，

A0=2

塔型梅森素数
A0=2
A1=2^A0 -1
A2=2^A1 -1
A3=2^A2 -1
A4=2^A3 -1
A5=2^A4 -1
A0 2
A1 3
A2 7
A3 127
A4 170141183460469231731687303715884105727
已经证明A0--A4都是素数，但A5是不是素数尚无有人证明，那A5以后的数是不是素数就不知道了！

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