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证明:(1+1/x)^x 是 x 的递增函数

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发表于 2021-8-15 17:47 | 显示全部楼层 |阅读模式
证明:(1+1/x)^x是递增的
发表于 2021-8-15 19:10 | 显示全部楼层
只考虑 \(x>0\) 的情况。

定义函数
\[f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\]
导数为
\[f'(x)=f(x)\left[\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac1{x+1}\right]\]
我们有
\[\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)=\int_0^{1/x}\frac{\mathrm{d}t}{1+t}>\int_0^{1/x}\frac{\mathrm{d}t}{1+1/x}=\frac{1}{x+1}\]
因为总有 \(f(x)>0\),所以导数 \(f'(x)>0\)。所以函数 \(f(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 上是严格单调递增函数。
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发表于 2021-8-15 19:47 | 显示全部楼层
同济大学数学系编《高等数学》上册,第六版,53 至 54 页上有个根据牛顿二项式展开公式的证明。算是一个非常基础的证明方法。
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 楼主| 发表于 2021-8-15 20:02 | 显示全部楼层
了解,图像怎么画?
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发表于 2021-8-15 21:15 | 显示全部楼层
zytsang 发表于 2021-8-15 11:10
只考虑 \(x>0\) 的情况。

定义函数

导数的计算是建立在(1+1/x)^x=e的基础上,而e的存在性又是建立在(1+1/x)^递增基础上,所以不能用求导证明
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 楼主| 发表于 2021-8-15 21:27 | 显示全部楼层
simpley 发表于 2021-8-15 21:15
导数的计算是建立在(1+1/x)^x=e的基础上,而e的存在性又是建立在(1+1/x)^递增基础上,所以不能用求导证明

那这个怎么证明啊?
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发表于 2021-8-16 08:20 | 显示全部楼层
本帖最后由 liangchuxu 于 2021-8-16 12:13 编辑

导数可以用。作些修改。如有循环论证之错误,望给予指教。

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发表于 2021-8-16 09:25 | 显示全部楼层
ln x的导数是1/x,这已用到了结果,形成循环证明
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 楼主| 发表于 2021-8-16 09:55 | 显示全部楼层
对,有点矛盾!
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发表于 2021-8-16 10:11 | 显示全部楼层
曹子昂 发表于 2021-8-15 21:27
那这个怎么证明啊?

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