如何理解 n 阶实方阵的全体关于矩阵的加法与数乘运算构成向量空间？

wufaxian

如何理解n阶实矩阵构成向量空间？
我承认n阶实矩阵满足加法乘法封闭性，同时满足向量运算的八条性质。令我费解的是n阶实矩阵这个空间中的一个向量是什么样的？比如，2x+y-z=0构成一个向量空间。我们随便取（1，1，4）就是这个过原点平面空间的一个向量。如果是5x5的实矩阵呢？这个空间的一个向量是什么呢？是矩阵的某个列向量及其线性组合？还是是其所有不相关列向量构成的线性组合都是其空间中的一个向量？或是其他构成向量的模式？

补充一下刚才想到一点。如果5x5实矩阵A构成向量空间是按照其不相关列向量的线性组和来理解，那么怎么理解其对加法封闭？
是3A+5A的结果还属于该空间？

还是用其5个列向量abcde作为讨论对象，即5a+4b+2c+5d+7e 还属于该空间？

luyuanhong

wufaxian

luyuanhong 发表于 2021-9-12 18:48

谢谢lu老师的回复。
如果说5*5的矩阵构成的线性空间是其列向量的线性组合，我还比较容易接受。可能是先入为主吧。因为最早对矩阵的认识来自于Ax=b，x被A中的无关列向量变换到b。所以就很容易接受A矩阵是列向量的线性组合。

现在你说n阶方阵就是有\(n^{2 }\)个元素的单一向量，而不是n个列向量的线性组合。我就有点懵。也不能说这种说法不对。就是你为什么要把一个有\(n^{2 }\)个元素的单一向量 写成方阵的样子呢？

A 是个方阵是因为我们写线性方程组的时候基本就是一个方阵，我们只不过把线性方程组系数抽出来组成一个系数方阵。这个方阵只要一乘未知数向量x就立刻恢复成线性方程组的模样了。因此方阵系数谁是a11，谁是a31都是固定的（在初等线性变换之前是固定的，位置由线性方程组决定。）

但是n阶方阵就是有\(n^{2 }\)个元素的单一向量，谁是向量的第一个元素，谁是第二个元素？A(1 2)?A(2 1)?理由是什么呢？或者反过来说。如果给我一个\(n^{2 }\)个元素的单一向量，让我写成n阶方阵，我应该怎么填写这\(n^{2 }\)个元素呢？数学界有什么一致性规则么？我写成一个2nx0.5n的矩形阵可以么？