证明：下列 5 个 3×3 矩阵在 3×3 矩阵组成的线性空间中线性无关

wufaxian

题如上图，答案在下面


请问用什么“方法”可以找出这么一组矩阵的？

其次，如何证明这5个矩阵线性无关？答案中的方法似乎只能证明1 2 4矩阵是线性无关的吧。要是严格证明呢？如何证明这五个矩阵线性无关呢？难道要构造一个向量（a b c d e)去线性组合这五个矩阵，然后消元证明矩阵的秩是3？

luyuanhong

wufaxian

luyuanhong 发表于 2021-9-24 12:08

谢谢lu老师的证明。请问题中的五个矩阵时如何“筛选”出来的？我的意思是用3个1 在3x3的矩阵的9个位置，可以构建出很多矩阵。比较笨的办法是按照排列组合的方法构建出所有可能的矩阵，然后去除掉所明显相关的矩阵（比如一列全都是1的，一行全都是1的）但是还是会有很多相关的矩阵。如果要用排除法去筛选，计算量比较大吧。
有没有什么方法可以绕开排除法。使产生的矩阵本身就是互不相关的呢？