哥德巴赫猜想证明

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（一）N+d和N-d都是素数时d的取值条件
（1）(a+d) mod p≠0
素数p的最小非负完系为{0,1,2...p-1}用Pp表示。
设a为自然数，p是素数，d为正整数，r=a mod p。如果(a+d) mod p≠0，则d要满足：
当r=0时，d mod p≠0
当r≠0时，d mod p≠p-r
用Rp表示满足条件的d模p的最小非负简系。可得|Rp|=|Pp|-1=p-1。
例如：
85 mod 5=0，85+d mod 5≠0的d的R5={1,2,3,4}
85 mod 3=1，85+d mod 3≠0的d的R3={0,1}

（2）(a-d) mod p≠0
设a为自然数，p是素数，d为正整数，r=a mod p。如果(a-d) mod p≠0，则d要满足：d mod p≠r
用Lp表示满足条件的d模p的最小非负简系。可得|Lp|=|Pp|-1=p-1。
例如：
85 mod 5=0，85-d mod 5≠0的d的L5={1,2,3,4}
85 mod 3=1，85-d mod 3≠0的d的L3={0,2}

（3）(a+d) mod p≠0 且(a-d) mod p≠0
设a为自然数，p是素数，d为正整数，r=a mod p。如果(a+d) mod p≠0 且(a-d) mod p≠0，用Ap表示满足条件的d模p的最小非负简系。
由前面可得Ap=Rp ∩ Lp
当r=0时d的条件相同。即：d mod p≠r。所以r=0时Rp=Lp且|Ap|=|Pp|-1=p-1
当r≠0时d的条件不同。分别是：d mod p≠p-r和d mod p≠r。所以r≠0时Rp≠Lp且|Ap|=|Pp|-2=p-2
例如：
85 mod 5=0，85+d mod 5≠0且85-d mod 5≠0的d的A5={1,2,3,4}
85 mod 3=1，85+d mod 3≠0且85-d mod 3≠0的d的A3={0}

（4）N+d和N-d都是素数时d的取值条件
设2N为偶数，p为不大于√2N的最大素数。则对于(0,2N)上的奇数q，如果满足q不能被[3,p]上的全部素数整除，q就是素数。
设d为正整数，如果要让N+d和N-d都是素数，必须满足N+d和N-d都不能被[3,p]上的全部素数整除
由前面（3）可知，要让N+d和N-d都不能被[3,p]上的全部素数整除就要满足:
d mod 3∈A3 且 d mod 5∈A5 ... d mod p∈Ap
An为满足N+d mod n≠0且N-d mod n≠0的模n的最小非负简系。
设r=N mod n,
r≠0时，An={0,1,2,...,n-1}-{r,n-r}
r=0时，An={1,2,...,n-1}
例如：
设85+d<121,只要85-d和85+d不能被3,5,7整除，那这两个数就是素数。
由前面可知：A3={0}；A5={1,2,3,4}
85 mod 7=1；A7=R7∩L7={0,1,2,3,4,5}∩{0,2,3,4,5,6}={0,2,3,4,5}
则满足85-d和85+d不能被3,5,7整除的d对于3,5,7取余的最小非负简系为：
A3={0}；A5={1,2,3,4}；A7={0,2,3,4,5}
12 mod 3=0∈A3；12 mod 5=2∈A5；12 mod 7=5∈A7
所以85-12=73,85+12=97都是素数。
18 mod 3=0∈A3；18 mod 5=3∈A5；18 mod 7=4∈A7
所以85-18=67,85+18=103都是素数。

（二）对于偶数2N满足N+d和N-d都是素数的d的存在性的证明

由前面可知，对于偶数2N要满足N+d和N-d都是素数的d的取值条件是类似下面的条件例如∶
d mod 3∈{0}且
d mod 5∈{1,2,3,4}且
d mod 7∈{0,2,3,4,5}且
……
d mod p∈Ap
这里集合An的元素个数是n-1或n-2。
下面考虑在极端情况，每个An的元素个数都是n-2时，是否一定存在d。
当N是偶数时d应该是奇数，当N是奇数时d应该是偶数。
小于N的偶数或奇数个数G=N/2。
因为自然数除以p的余数是如下形式的例如∶
p=3
奇数数列∶1，3，5，7，9，11，13，15
余数∶       1，0，2，1，0，2，1，0
将余数{0，1，2}中去掉2个不满足条件的，那么剩下满足d mod 3∈A3的数的个数就应该是∶G×(3-2)/3=(3-2)/3×(N/2)
剩下的这些数再用d mod 5∈A5来筛除，得到的个数是∶(3-2)/3×(5-2)/5×(N/2)
以此类推得到最后满足条件的奇数d或偶数d的个数是∶(3-2)/3×(5-2)/5......×(P-2)/P×(N/2)
这里P是不大于√2N的最大素数，所以
(N/2)≥P2/4
所以(3-2)/3×(5-2)/5......×(P-2)/P×(N/2) ≥ (3-2)/3×(5-2)/5......×(P-2)/P×P2/4
可知 (3-2)/3×(5-2)/5......×(P-2)/P×P2/4＞1
(当P=5时 (3-2)/3×(5-2)/5×52/4=1.25，且结果的值随P增大而增大)
所以(3-2)/3×(5-2)/5......×(P-2)/P×(N/2) ＞ 1
所以在极端情况下满足条件的d的取值个数是＞1的，也就是一定存在满足条件的d。
其实可以看成按照除以[3，P]上每个素数的余数都取两个任意余数来作为条件从[0，N]上去选数，这样的选法无法覆盖掉所有[0，N]上的偶数或奇数。

（三）结论
因为(3-2)/3×(5-2)/5......×(P-2)/P×(N/2) ＞ 1
所以对于偶数2N，在[0，N]上一定存在d使得∶N+d是素数，且N-d也是素数。也就是2N一定可以表示成两个素数的和。哥德巴赫猜想成立。