用高中知识证明不等式：(π+1)^(π+1)＞[π^(π+2)+(π+2)^π]／2

jinanliufanli

高中数学比大小的题目



怎么用高中知识解决？

王守恩

小学知识就可以。

\(4^4>\frac{1}{2}(3^5+5^3)\)

\(5^5>\frac{1}{2}(4^6+6^4)\)

jinanliufanli

不严密啊，
\(3^2>3\times7-\frac{95}{8}\)
\(4^2>7\times4-\frac{95}{8}\)
但是\(3.5^2<7\times3.5-\frac{95}{8}\)

任在深

因为：
          π=3+√2/10

所以
       (1)  f(a)=(π+1)^(π+1)=(3+√2/10+1)^(3+√2/10+1)=(4+√2/10)^(4+√2/10)=358
       (2)  f(b)=1/2[π^(π+2)+(π+2)^π]=1/2[(3+√2/10)^(3+√2/10+2)+(3+√2/10+2)^(3+√2/10)]
                  =530/2=265
因此(3)  f(a)=358＞f(b)=265.

        証毕。

jinanliufanli

“(4+√2/10)^(4+√2/10)=358”怎么得到的？

任在深

jinanliufanli 发表于 2022-8-21 14:11
“(4+√2/10)^(4+√2/10)=358”怎么得到的？

因为：
        ( 4+√2/10)^(4+√2/10)=(4.14)^(4.14)=X^X=358.

请点击计算器X^Y,   X^2, X^3, X^Y即可。

jinanliufanli

如果能用计算器，连近似值都不用取，可以直接算了啊
可是高考中是不允许用计算器的。

任在深

jinanliufanli 发表于 2022-8-22 00:06
如果能用计算器，连近似值都不用取，可以直接算了啊
可是高考中是不允许用计算器的。

哈哈！
        俺想起来了，那是60年前俺给我外孙子做的数学题，答案对，老师却全给打错号？！
        原来小学是按部就班的计算，俺给列出了方程了。
        老师对！

elim

题： 试证 \((\pi+1)^{\pi+1}>\frac{1}{2}(\pi^{\pi+2}+(\pi+2)^{\pi})\)
解： 原不等式等价于 \((^*)\quad 2>\displaystyle\frac{1}{\pi+2}\left(\frac{\pi+2}{\pi+1}\right)^{\pi+1}+\pi\left(\frac{\pi}{\pi+1}\right)^{\pi+1}.\)    但
\(\displaystyle\qquad\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{4}\right)^5>\frac{1}{\pi+2}\left(1+\frac{1}{\pi+1}\right)^{\pi+1}=\frac{1}{\pi+2}\left(\frac{\pi+2}{\pi+1}\right)^{\pi+1}\)
\(\displaystyle\qquad\frac{4}{\large(1+\frac{1}{3})^4}>\frac{\pi}{\large(1+\frac{1}{\pi})^{\pi+1}}=\pi\left(\frac{\pi}{\pi+1}\right)^{\pi+1}\)    且
\(\displaystyle\qquad\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{4}\right)^5+\frac{4}{\large(1+\frac{1}{3})^4}=\frac{1921}{1024}< 2\)
\(\qquad\)故\((^*)\) 成立。


请大家想想这个不等式可以怎样简单证明(不论用什么程度的数学)

luyuanhong

楼上 elim 的解答很好！已收藏。