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发表于 2022-10-1 19:45
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四 Yang-Baxter方程[1967]
1963 年，数学家 E. Lieb 与 W. Liniger 利用著名的 Bethe 拟设求解了一维玻色子在互斥作用下的本征值问题，1964 年，物理学家 J. B. McGuire 也独立解决了同一问题。1965 年，McGuire 考虑了费米子的类似问题，得到特殊情况下的部分结果，1967 年 Lieb 和 M. Flicker 做了进一步推广，但未完全解决。1967 年，杨振宁和 M. Gaudin（1931–）各自独立地解决了一般问题。杨振宁通过利用一个推广的 Bethe 拟设完成了这一工作，其文章极短，而 Gaudin 的全文是其博士论文。
杨振宁之所以对这个问题感兴趣，是因为早年他就注意到 Bethe 拟设的妙处。Bethe 拟设由物理学家 H. Bethe（1906–2005）在 1931 年提出，它大致说，若一个系统的哈密顿量具有某种对称性，那么它具有某种特定形式的本征值和本征函数。
图 8 : 杨振宁与 Baxter
杨振宁的第一个研究生（B. Sutherland）的工作，充分利用了 Bethe 拟设的有效性,并在个别情形严格证明了其正确性（Bethe 拟设的数学内涵，1982 年由数学家 E. Gutkin 在 Integrable systems with delta-potential 一文中揭示。）
在求解费米子的本征值问题时，杨振宁注意到，有一组等式很关键，确保了方程组的相容性（系统的可积性）。这组等式 1971 年又被 R. J. Baxter（1940–）重新发现，从而被冠名为 Yang–Baxter 方程。
通过明确写出 Yang–Baxter 方程的具体形式来理解它，对笔者和读者来说都是极困难的.这里我们满足于给出一个不失其精髓的简化版本。从精神上讲，Yang–Baxter 方程有似于三个元素的全置换群 S3 的生成元之间的基本关系。如下图所示：
图 9 ：从第一行第一个图到第二个经历的是 σ1=(1, 2) ，从第二个图到第三个图经历的是 σ2=(2, 3) ，之后的四步是重复两次这些操作。最终的结果： (σ1σ2)^3=1 ，即六步恰好回复原位。
Yang–Baxter 方程与可积系统的发展，被俄罗斯 L. Faddeev（1934–2017）学派发扬光大。特别地，最初被用来描述 Yang–Baxter 方程的解的一个工具后来被 V. Drinfeld 定义为 Yangian 。
值得一提的是，2010 年，杨振宁在与尤亦庄合作的文章中更正了 1967 年文章中末尾的一处错误，为这个问题画上了圆满的句号。
顺便指出，2009–2010 年间，杨振宁发表了 7 篇学术论文（均发表在 Chinese Physics Letters），其中有 5 篇是与马中骐教授合作。马中骐教授告诉我，他们的工作产生了一些未解决的猜想：
杨先生和我合作的工作，用 Thomas–Fermi 方法计算电子密度分布的精确解。我们相信这是精确解，用了一些辅证，但不是严格证明。我们不会证也没有精力去严格证明了。
南开大学陈省身数学研究所的葛墨林院士在一篇文章[11]特别分享了杨先生做物理的与众不同:
物理从某种意义上是一种直觉。我有时问杨振宁先生，您怎么写一篇文章就是经典文章？我问他怎么去推导？他说不对，我做这个之前，我早就知道是这个结果，先猜的。好物理都是先猜出来的。也就是说，他的物理图像非常清楚，早就知道该做什么，然后去推。
这不由得令我们想起数学家 E. Artin（1898–1962）的一句名言；“我们的困难不在于证明，而在于学习要证明的是什么。”
五 Wu-Yang字典[1975]
杨振宁与 Simons 的交流，不由令人想到 A. Einstein（1879–1955）与数学家 M. Grossmann（1878–1936）的故事。正是 Grossmann 向 Einstein 指出了 Riemann 几何对于发展广义相对论的重要性。据说，当年 Einstein 向老同学求教时，是这样说的：“Grossmann ，你一定要帮帮我，不然我会疯掉！”也正是 Simons 让杨振宁认识到纤维丛对于规范场论的重要性。
1975 年，杨振宁与吴大竣合作，给出了规范场的整体表述，并给出了著名的 Wu–Yang 字典，在规范场和纤维丛之间架起了桥梁，从而用纤维丛的数学澄清了规范场中一些含混不清的概念。
特别值得指出的，是杨振宁与吴大竣确立了，相位因子（而不是场强）才是规范场的恰当描述。从数学上，相当于说，在纤维丛的几何中，联络（而不是曲率）才是首要的研究对象。顺便指出，纤维丛上的联络之定义，是由法国数学家 C. Ehresmann（1905–1979）在 1950 年给出。Ehresmann 是 E. Cartan（1869–1951）的学生，是陈省身的师兄，也是严志达（1917–1999）和吴文俊（1919–2017）的博士导师。
图 10 ：吴大竣与杨振宁，1982 年摄于荷兰莱登
杨振宁承认，规范场与纤维丛之间的紧密关系，已经多多少少被许多不同的作者（包括 E. Lubkin ，D. Finkelstein ，J. M. Schiminovich ，D. Speiser ，J. A. Wheeler ，B. S. DeWitt ，A. Lichnerowicz ，C. W. Misner ，A. Trautman ，H. G. Loos）在 1960–1970 年代察觉。但正如英国数学家、哲学家 A. N. Whitehead（1861–1947）在一篇题为 The Organisation of Thought 的演说中所说的：
在其关于形式的理论中，Aristotle 和后继的逻辑学家都非常接近逻辑变量的理论[11]。但科学的历史告诉我们，非常接近真理跟真正懂得它的意义，是两码事。每一个重要的理论都被它的发现者之外的人说过。
杨振宁曾多次说，只是在与吴大竣写完这篇文章以后，才终于欣赏到数学与物理（即纤维丛与规范场）之间谜一样深刻与美妙的关系。当弄明白规范场就是纤维丛的联络以后，杨振宁就带着吴大竣驱车前往伯克利，拜访几何学家陈省身。杨振宁曾回忆起这次拜访：
40 年代初，当他[陈省身]是中国昆明西南联大的年轻教授而我是该校的学生时，我曾听过他的课。那时，纤维丛在微分几何里还未显出重要性。陈教授也还未以他对 Gauss–Bonnet 定理的推广及建立 Chern 类所做的贡献而创造历史。我们谈了许多：朋友、家人、中国。当我们的谈话转移到纤维丛理论时，我告诉他，我终于从 Simons 那里学到了纤维丛理论和意义深远的 Chern–Weil 定理之美妙。我说，规范场恰好是纤维丛上的联络，而后者是数学家在不涉及物理世界的情况下发展起来的，这实在令人惊异。我还加了一句：“这既令人震惊，也令人疑惑不解，因为你们数学家凭空梦想出了这些概念。”他马上提出异议：“不，不，这些概念不是梦想出来的。它们是自然的，也是实在的。”
图 11 ：画家范曾为陈省身和杨振宁创作的巨画，作品悬挂于南开大学陈省身数学所
几年前，我曾通过邮件访谈杨先生几个问题，其中一个问题是：“您一生中最激动的时刻”是什么时候。他做如下答复：
我想我一生中灵魂最受震撼的时刻是：
a) 在《邓稼先》一文中描述的 1971 年的事情（收入《曙光集》，见“民族感情？友情”一节）[13]：
b) 当我最终理解了，电磁学的数学恰好是数学家发展的优美的纤维丛理论（见我最近的文章《麦克斯韦方程和规范理论的观念起源》中关于 Maxwell 和他向上帝祷告的评论[14]）。
插话：杨振宁对华罗庚与陈省身的比较
杨振宁写过多篇关于陈省身的文章，比如数学界耳熟能详的佳句“千古寸心事，欧高黎嘉陈”就出自杨先生 1973 年的诗《赞陈氏级》。1991 年，陈省身 80 大寿时，杨振宁写了一篇文章《陈省身先生与我》。2013 年，杨先生将这篇文章收录《论文选集续集》[2]时，专门加了一个评论，比较了华罗庚与陈省身，很有意思，我们分享如次（上书 p.188）：
伯林（Isaiah Berlin ，1900-1997）普及了希腊关于哲学家的两种不同类型的观念：“狐狸掌握多门技艺，而刺猬则精通一门绝技。”我想这是一种极好的方式来描述华罗庚与陈省身的不同：华罗庚兴趣广泛，对数学的几个不同分支做出了重要贡献；而陈省身则专注于微分几何一个分支，但他革新了这个分支，并且这个革新后来对 20 世纪的几何、代数、分析、拓扑各个主要分支都有深远的影响，甚至深入影响了近 40 年来理论物理学的发展。
2011 年，杨振宁在南开大学举办的“陈省身先生 100 周年诞辰纪念会议”上宣读了文章《菩萨、量子数与陈氏级》，介绍了数学家 A. Weil（1906–1998）1948 年关于物理中的粒子可能与几何拓扑中出现的一些分类现象有关的猜想，最终引出结语：如果 Weil 的猜想是对的，那么陈省身开创的示性类就要旁及物理世界最基本的结构了，那时“数学仙山的大雄宝殿中岂能不迎来一尊新菩萨[陈省身]”？
实际上，早在 1979 年，杨振宁就专门翻译过 Weil 的一篇介绍陈省身的文章《我的朋友——几何学家陈省身》，发表于《自然杂志》[15]。
顺便说一句，杨先生非常关心近代中国的数学史研究，在他指导我完成关于 Dyson 的传记以后，曾建议我考虑许宝騄(1910–1970)、闵嗣鹤（1913–1973)、钟开莱（1917–2009）和王浩（1921–1995)。他曾告诉我，从气质上讲，在许、华、陈三位中，他最接近许。2019 年，97 岁的杨先生在《数学文化》发表的文章《许宝騄和“移棋相间法”》就源于他对许先生的关注。此外，2015 年《纽约客》关于张益唐的报道[16]，也是杨先生第一时间建议我翻译的（见对美的追求：张益唐破解了纯数学的一个神秘）。
六 Dirac 磁单极[1976-1978]
Dyson 在 2008 年 Einstein 公众演讲《飞鸟与青蛙》中说，杨振宁在规范场论方面的这两篇工作是“飞鸟”级别的[17]：
Weyl 离开普林斯顿后不久，杨振宁从芝加哥来到普林斯顿，并住进了 Weyl 的旧居。在我这一代的物理学家中，杨作为一只领头的飞鸟接替了 Weyl 的位置。当 Weyl 还在世的时候，杨和 Mills 发现了非阿贝尔规范场的 Yang–Mills 理论，这是对 Weyl 早期规范场思想的绝妙推广。
……对称决定相互作用这个思想，是杨振宁对 Weyl 思想的推广。Weyl 曾注意到规范不变性与物理守恒定律密切相关，但他未能更进一步，因为他只知道 Abel 规范场的规范不变性。然而，杨振宁通过引入非 Abel 规范场而使这种联系更加紧密。由于非 Abel 规范场伴随非平凡的李代数，场之间的相互作用的可能形式成为了唯一的形式，因此对称决定了相互作用。这个观点是杨振宁对于物理学最伟大的贡献。这个贡献是一只飞鸟的贡献，她高高翱翔在小问题的雨林之上，而我们大多数人在雨林中耗尽我们的一生。
图 12 ：多年以后，Simons 夫妇为清华大学高等研究院捐资建造招待访问学者的寓所陈赛蒙斯楼
相形之下，杨振宁在规范场论的其它工作就没那么石破天惊了，但有一个工作是特别令他自豪的。这个工作，是厘清并发展了 Dirac 的磁单极。最初也受到 Simons 的启迪。正如杨振宁在论文选集中所说的：
研究场论的物理学家必须学习纤维丛的数学概念，这一点越来越清楚了。1975 年初，我邀请 Jim Simons 给我和同事们做一系列的午餐演讲，讲授微分形式和纤维丛。他友好地接受了邀请。于是我们学到了 Stokes 定理，de Rham 定理等等。我们所学的使得我们理解了 Aharonov–Bohm 实验的数学涵义，以及 Dirac 的电荷与磁单极的量子化定律。吴大峻和我后来还弄懂了深奥而且非常普遍的 Chern–Weil 定理。
图 13 ：Weyl 与杨振宁在普林斯顿的故居，Mercer Street 284 号。曲径通幽处，飞鸟相与还。
1931 年，P. A. M. Dirac（1902–1984）在一篇极其著名的文章中证明了，如果存在磁单极，那么磁荷 g 与电子的电荷 e 之间必定满足关系（其中 h 是 Planck 常数，c 光速）：
这个量子化条件非常引人注目。但 Dirac 最初的推理非常晦涩。简单说，他的推理中，必须要求电磁势有“奇性”。这在数学上难以言说。后来，当杨振宁拿着 Dirac 的论文给 Simons 看时，Simons 说：“Dirac 已经领先陈省身十多年了。”言下之意，Dirac 的磁单极量子化公式，其实可以放在纤维丛的拓扑观点下考虑。大致这样理解，左边是曲率的积分，右边的整数是纤维丛的欧拉数。在数学上，曲率与欧拉数之间的联系由 Gauss–Bonnet 公式给出，因此 Dirac 量子化条件恰好是 Gauss–Bonnet 公式对磁单极所对应的纤维丛的具体应用。
今天从纤维丛的观念来看，Dirac 磁单极的观念并不神秘。但在长达 40 年的时间里，人们对它缺乏理解，很大程度上，就是因为缺乏恰当的数学语言描述它。这里我们穿插一个故事。
现在以李群方面的工作著称于世的 Harish-Chandra（1923–1983）早年是 Dirac 的学生，因为没有 Dirac 那种对物理学的神秘的“第六感”，后来转到了数学。在 1948 年转行到数学之前，他写了最后一篇物理文章，讨论一个受到 Dirac 论文启发（也许就是 Dirac 本人所提出）的问题：在 Dirac 磁单极的场中运动的电子，是否存在束缚态？由于问题没有从数学上得到恰当表述，Harish‐Chandra 得到了错误的结论——不存在。正如对 Harish-Chandra 卓有研究的数学家 R. Langlands（1936–）在论文《Dirac 磁单极与诱导表示》中所指出的[18]：
关键点在于，波函数 Ψ 可以视为具有度量和由电磁势定义的联络的线丛的截面。
事实上，1976–1977 年，杨振宁与合作者（吴大峻、A. S. Goldhaber ，Y. Kazama 等）正是利用这个洞见而得到了存在束缚态的正确结论。这个故事让我们想起陈省身先生多次强调的一个观点，这也许正是杨先生所欣赏的数学家的价值观：
杨振宁与吴大竣、杜东生进一步考虑了电子、磁单极和电磁场的二次量子化理论，但只取得部分成功。所谓“文章千古事，得失寸心知”，杨先生一直期待能够用 R. Feynman（1918–1988）路径积分将他们发现的那个经典作用量量子化。
图 14 ：Dirac ，他与 Einstein 和 Fermi 并列为杨振宁学生时代的三位偶像
杨振宁还将 Dirac 的 U(1) 磁单极推广到 SU(2) 磁单极。顺便指出，杨振宁对 SU(2) 情有独钟，因为与它对应的代数是四元数，U(1) 对应的代数是复数，它是实数域上唯一的非交换可除代数。（这是著名的 Frobenius 定理的推论。杨先生有一次在邮件中曾问我，是否能证明不存在三维的实可除代数，并在后来的邮件中分享了他的证明——只用到三次实系数多项式必定有实根。）
稍加观察，我们可以注意到，杨振宁的工作中有两点特别突出：
(1)费米化：将 Boson 系统改为 Fermion 系统；见第 3，4 节。
(2)四元数化：将 U(1) 群推广为 SU(2) 群；见第 2 节以及本节上一段。
杨振宁在《我的学习与研究经历》一文中曾经说：“把问题扩大往往是一个好的策略。”杨振宁曾对他最后一个博士翟荟说[19]：“你要是真正懂一件事情，就要能对它做出 generalization 。你能 generalize 这个事情，才说明你真的懂了。”
插话：规范场论空前繁荣
1976 年，杨振宁和 Simons 分别将第 5 节所提到的规范场–纤维丛字典给到此访问的几何学家 I. Singer（1924–2021）看，Singer 看后非常激动，又分享给他在牛津的合作者 M. Atiyah（1929–2019），进而在数学界引起热烈反响。正是 Singer 将这个字典命名为“Wu–Yang 字典”，并指出，字典中的“？”不是别的，正是 Yang–Mills 方程。J. Hadamard（1865–1963）曾经说：“就广义相对论来说，所有的数学家必须承认失败。”对非 Abel 规范场论来说，数学家何尝不是如此呢？要知道，这个推广一直是 Weyl 晚年念念不忘的梦想！。
图 15 ：陈省身，他多次强调基本观念的重要性。例如，在纪念 Einstein 诞辰 100 周年的演讲中，他说到：“丛和联络这两个几何概念是非常简洁的，我相信 Einstein 会喜欢它们。”
自数学家介入规范场论以后，规范场的发展得到空前繁荣。如果说 1954 年 Yang–Mills 开创历史还只是“山有小口，仿佛若有光”的话，那么到 1975 年 Wu–Yang 字典出现以后，已经是“豁然开朗”的气象了。回看历史，在数学界，有一些主要人物（“英雄造时势”）促成了规范场、同时也是几何学的空前繁荣：Atiyah ，Singer 和陈省身之外，还有 R. Bott（1923–2005），N. J. Hitchin ，R. S. Ward ，S. K. Donaldson ，E. Witten ，A. Jaffe ，Faddeev ，Drinfeld ，Yu. I. Manin ，C. Taubes ，K. K. Uhlenbeck ，丘成桐等。正所谓“江山如此多娇，引无数英雄竞折腰”，恕我们这里不能一一展开。我们这里仅仅指出，Atiyah 的论文集第五卷之标题就是“规范理论”，丘成桐也专门写过一篇文章《规范场论与几何》。
标志性的成果与事件有：1977 年，Atiyah–Hitchin–Singer 利用 Atiyah–Singer 的指标定理确定了自对偶 Yang–Mills 方程的解空间的维数；1978 年，Atiyah 和 Jaffe 在芬兰首都赫尔辛基召开的国际数学家大会上分别了做了关于规范场的 45 分钟报告；同年，Atiyah ，Hitchin ，Drinfeld 和 Yu. I. Manin 给出了自对偶 Yang–Mills 方程的解空间的具体构造；1979 年，加州伯克利大学为庆祝陈省身退休举办了为期一周的研讨会（集结成著作《The Chern Symposium 1979》于次年出版），Bott 和杨振宁分别做了关于 Yang–Mills 方程和纤维丛与物理中的磁单极的报告；1979 年，陈省身在《美国数学月刊》上撰文《从三角形到流形》（中译文同年刊登于《自然杂志》），专辟一节强调 Yang–Mills 规范场之重要性。
1979 年恰逢 Einstein 诞辰 100 周年，世界各地都举办了纪念活动。在普林斯顿高等研究所，陈省身和杨振宁都参加了活动。陈省身做了题为“广义相对论和微分几何”的报告，再次强调了 Yang–Mills 规范场论。杨振宁则参与 Bethe 主持的题为“Einstein and the Physics of the Future”的小组讨论（中译文收入）。杨振宁提到，正是 Einstein 首先使用了“对称支配相互作用”这一原则。后来，杨先生也说，他在科学上的最大成就可以用这句话概括：对称支配相互作用。杨振宁还参加了在意大利里雅斯特为纪念 Einstein 诞辰 100 周年而召开的第二届 Grossmann 会议，并做报告《Einstein 和 20 世纪后半期的物理学》，其中他画了一个二叶图来比喻数学与物理的关系，并说道：
它们有各自的目标和截然不同的价值观与传统，在基础概念的层面，它们令人惊讶地共享着某些概念，但即使如此，每个学科仍旧按着自身的脉络生长着。
规范场的故事远远没有结束。2000 年，Clay 数学所提出了 21 世纪的七个悬赏百万的数学难题，其中最年轻的一个，就是 Yang–Mills 规范理论的质量间隙问题。
结语
从本文所介绍的几项成就来看，杨先生的这些工作，凸显了数学与物理之间的和谐与美妙。正如 Dyson 在 1999 年杨振宁退休研讨会上的演讲《一个保守的革命者》一文中所精辟总结的[19]：
杨振宁对数学美的品味在他的全部工作中熠熠生辉。它将他次要的计算转化为袖珍的艺术品,将他更深刻的猜测转化为杰作。它使得杨，一如它曾使得 Einstein 和 Dirac ，比其他人对自然的神秘运作看得更远。
2014 年，在丘成桐 65 岁生日的庆祝活动上，杨振宁曾说:
有人问我，现在我重新选择专业的话，我会做什么选择？我现在看理论物理，发展很是缓慢，不像我们那个时代，所以我说我会选择数学。
那么他会不会选择像 Yang–Mills 质量间隙这样的难题研究呢？我猜他更可能会遵循他在芝加哥大学的老师 E. Fermi（1901–1956）的教导：
那么杨先生可能会选择哪些数学呢？我想，从历届邵逸夫数学奖得主的名单中可以得到线索。为什么呢，邵逸夫奖的设立与评选，杨先生都功不可没。
纵观杨先生这几篇简洁凝练的代表作，可以发现，杨先生对数学的美有极高的品味，对物理的真有极深的洞察，对历史有敏锐通透的反思。不禁令人想起韩愈的名句 ：“李杜文章在，光焰万丈长。”韩愈在下文中还慨叹自己未能与李白杜甫生活在同一个时代 ：“伊我生其后，举颈遥相望。夜梦多见之，昼思反微茫。”比起韩愈，我们是何其幸运 ：人与文同在，春风拂面来！
致谢
本文以作者 2021 年 10 月 17 日在“第十届全国数学文化论坛学术会议”上的同名报告为底稿，在《数学文化》主编汤涛院士的建议下扩充完成。感谢严加安院士、汤涛院士对作者一如既往的鼓励支持！感谢清华大学高等研究院许晨老师提供杨先生的诸多照片。感谢天津大学物理系戴伍圣老师和刘云朋老师、上海交通大学数学系的吴耀琨老师、重庆大学数学学院邵红亮老师、中央民族大学理学院王兢老师、北京朝阳教研中心张浩老师、香港科技大学陈帅博士对初稿提出宝贵意见。感谢西北农林科技大学资环学院刘洋同学帮忙制作图片。
后记
写作本文，让我想起华东师范大学数学系的张奠宙老师（1933–2018)。十几年前当我还是本科生的时候，正是通过阅读他编纂的《杨振宁文集》而开始走近杨先生。20 年前，张老师对杨先生做过一个极为精彩的访谈（参见《杨振宁和当代数学》），值得有兴趣的读者了解。
我还想到上海交通大学数学系的吴耀琨老师。2016 年，他就邀请我做关于 Lee–Yang 单位圆定理的报告。然而，只是在这两天准备这篇文章时我才领会到，原来单位圆定理如此漂亮。毫无疑问，正如丘成桐先生所说的：“杨振宁教授的工作中还有许多有待数学家发掘的宝藏，比如李政道–杨振宁关于多项式零点的单位圆定理。”最后，为满足读者的求知欲与好奇心，我再借花献佛分享一条寻宝线索。
图 16 ：杨振宁先生 90 岁时，清华大学赠送给他的立方体。顶面刻着杨先生最喜爱的诗句“文章千古事，得失寸心知。”四个侧面分别是杨先生在统计力学、规范场论、凝聚态物理和粒子物理方面的 13 项代表性成就。本文第 1，4 节属于统计力学，第 2，5，6 属于规范场论，第 3 节属于凝聚态物理。对杨先生工作更专业的介绍，可见葛墨林院士的文章。
注释
[1] 1922-2002 ，其父是中国著名数学家熊庆来（1893-1969）。
[2] 杨振宁：我对亚洲发展是一个乐观的看法 ,《知识通讯评论》79 期 , 2009.05.01.
[3] 林开亮，戴森传奇，《数学文化》第六卷（2015 年）第三期。
[4] 指普林斯顿高等研究所。
[5] 杨振宁，翁帆，《晨曦集》（增订版），商务印书馆，2021. 254 页。
[6] 季理真、林开亮，《杨振宁的科学世界：数学与物理的交融》，高等教育出版社，2018 年. 47页
[7] 林开亮、郑豪，从费尔马多边形数猜想到华罗庚的渐近华林数猜想——纪念杨武之先生诞辰 120 周年， 《数学文化》第七卷（2016 年）第二期。
[8] Hermann Weyl, A half-Century of Mathematics, American Math Monthly, 1951, 58(8): 523-553.
[9] 林开亮 , 杨振宁的一个猜想 ,《数学传播》, 第 37 卷第 2 期（2013 年）, 38-48. 去年华东师范大学出版的《百年科学往事——杨振宁访谈录》 中，杨先生还专门提到这个问题。
[10] 他是 2020 年诺贝尔物理学奖得主 Roger Penrose 的哥哥 , 他们还有一个知名的棋手弟弟 Jonathan Penrose（1933-).
[11] 葛墨林 , 物理教学的思考 , 《大学物理》第 32 卷（2013 年 ）第 9 期 .
[12] 这是他与罗素一起做出的发现。
[13] 杨先生在文章中写道：“1971 年 8 月 16 日，在我离开上海经巴黎回美国的前夕，……有人送了一封信给我，是稼先写的，说他已经证实了，中国原子武器工程中除了最早于 1959 年底以前曾得到过苏联的极少‘援助’外，没有任何外国人参加。此封短短的信给了我极大的感情震荡。”
[14] 杨先生在文章中写道：“麦克斯韦是个虔诚的教徒 . 我想知道 , 在做出如此巨大的发现后 , 麦克斯韦是否曾在祷告的时候因为揭示造物主的最大秘密之一而请求宽恕。 ”
[15] 安德烈·韦伊，杨振宁译，我的朋友——几何学家陈省身，《自然杂志》第 2 卷（1979 年）第 8 期。
[16] 对美的追求：张益唐破解了纯数学的一个神秘。
[17] Freeman Dyson , Birds and Frogs, Notices of the AMS, 2008, 56（2）: 212-223.
[18] Robert Langlands , The Dirac monopole and induced representations. Pacific Journal of Mathematics, 1986, 126(1): 145-151.
[19] 翟荟，杨先生研究风格对我的影响，收入《杨振宁先生百岁华诞文集》，将出版。
本文原载《数学文化》 2022 年第 2 期
原文链接：https://global-sci.org/intro/article_detail/mc/20520.html |
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