设 f[-1]=f[0]=1，f[n]=2xf[n-1]-f[n-2]。证：cos[π/(2n+1)] 是 f[n](x)=0 的一个根

时空伴随者

大胆地假设 小心地求证

cgl_74

好奇地问下，1楼的小心求证做得如何了？验证到n值到多大，结论仍成立呢？

时空伴随者

cgl_74 发表于 2022-10-9 04:44
好奇地问下，1楼的小心求证做得如何了？验证到n值到多大，结论仍成立呢？

我在想办法归纳证明，而不是一个一个的验证。不管n多大，结论都成立吧！

王守恩

cgl_74 发表于 2022-10-9 04:44
好奇地问下，1楼的小心求证做得如何了？验证到n值到多大，结论仍成立呢？

Solve[{8 Cos[x]^3 - 4 Cos[x]^2 - 4 Cos[x] + 1 == 0, \[Pi]  > x > 0}, {x}] // FullSimplify
{{x -> (5 \[Pi])/7}, {x -> (3 \[Pi])/7}, {x -> \[Pi]/7}}

Solve[{16 Cos[x]^4 - 8 Cos[x]^3 - 12 Cos[x]^2 + 4 Cos[x] + 1 == 0, \[Pi]  > x > 0}, {x}] // FullSimplify
{{x -> \[Pi]/3}, {x -> (7 \[Pi])/9}, {x -> (5 \[Pi])/9}, {x -> \[Pi]/9}}

Solve[{32 Cos[x]^5 - 16 Cos[x]^4 - 32 Cos[x]^3 + 12 Cos[x]^2 + 6 Cos[x] - 1 == 0, \[Pi] > x > 0}, {x}]
{{x -> (9 \[Pi])/11}, {x -> (7 \[Pi])/11}, {x -> (5 \[Pi])/11}, {x -> (3 \[Pi])/11}, {x -> \[Pi]/11}}

Solve[{64 Cos[x]^6 - 32 Cos[x]^5 - 80 Cos[x]^4 + 32 Cos[x]^3 + 24 Cos[x]^2 - 6 Cos[x] - 1 == 0
{{x -> (11\[Pi])/13}, {x -> (9\[Pi])/13}, {x -> (7\[Pi])/13}, {x -> (5\[Pi])/13}, {x -> (3\[Pi])/13}, {x ->\[Pi]/13}}

Solve[{128 Cos[x]^7 - 64 Cos[x]^6 - 192 Cos[x]^5 + 80 Cos[x]^4 + 80 Cos[x]^3 - 24 Cos[x]^2 - 8 Cos[x] + 1 == 0, \[Pi]  > x > 0}, {x}] // FullSimplify
{{x->\[Pi]/3},{x->(3\[Pi])/5},{x->\[Pi]/5},{x->(13\[Pi])/15},{x->(11\[Pi])/15},{x->(7\[Pi])/15},{x->\[Pi]/15}}

Solve[{256 Cos[x]^8 - 128 Cos[x]^7 - 448 Cos[x]^6 + 192 Cos[x]^5 + 240 Cos[x]^4 - 80 Cos[x]^3 - 40 Cos[x]^2 + 8 Cos[x] + 1 == 0, \[Pi]  > x > 0}, {x}] // FullSimplify
{{x -> (15 \[Pi])/17}, {x -> (13 \[Pi])/17}, {x -> (11 \[Pi])/17}, {x -> (9 \[Pi])/17}, {x -> (7 \[Pi])/17}, {x -> (5 \[Pi])/17}, {x -> (3 \[Pi])/17}, {x -> \[Pi]/17}}

Solve[{512 Cos[x]^9 - 256 Cos[x]^8 - 1024 Cos[x]^7 + 448 Cos[x]^6 + 672 Cos[x]^5 - 240 Cos[x]^4 - 160 Cos[x]^3 + 40 Cos[x]^2 + 10 Cos[x] - 1 == 0, \[Pi]  > x > 0}, {x}] // FullSimplify
{{x -> (17 \[Pi])/19}, {x -> (15 \[Pi])/19}, {x -> (13 \[Pi])/19}, {x -> (11 \[Pi])/19}, {x -> (9 \[Pi])/19}, {x -> (7 \[Pi])/19}, {x -> (5 \[Pi])/19}, {x -> (3 \[Pi])/19}, {x -> \[Pi]/19}}

Solve[{1024 Cos[x]^10 - 512 Cos[x]^9 - 2304 Cos[x]^8 + 1024 Cos[x]^7 + 1792 Cos[x]^6 - 672 Cos[x]^5 - 560 Cos[x]^4 +160 Cos[x]^3 + 60 Cos[x]^2 - 10 Cos[x] - 1 == 0, \[Pi]  > x > 0}, {x}]
{{x -> \[Pi]/3}, {x -> (5 \[Pi])/7}, {x -> (3 \[Pi])/7}, {x -> \[Pi]/7}, {x -> (19 \[Pi])/21}, {x -> (17 \[Pi])/21}, {x -> (13 \[Pi])/21}, {x -> (11 \[Pi])/21}, {x -> (5 \[Pi])/21}, {x -> \[Pi]/21}}

Solve[{2048 Cos[x]^11 - 1024 Cos[x]^10 - 5120 Cos[x]^9 + 2304 Cos[x]^8 + 4608 Cos[x]^7 - 1792 Cos[x]^6 - 1792 Cos[x]^5 + 560 Cos[x]^4 + 280 Cos[x]^3 - 60 Cos[x]^2 - 12 Cos[x] + 1 == 0,
{{x -> (21 \[Pi])/23}, {x -> (19 \[Pi])/23}, {x -> (17 \[Pi])/23}, {x -> (15 \[Pi])/23}, {x -> (13 \[Pi])/23}, {x -> (11 \[Pi])/23}, {x -> (9 \[Pi])/23}, {x -> (7 \[Pi])/23}, {x -> (5 \[Pi])/23}, {x -> (3 \[Pi])/23}, {x -> \[Pi]/23}}

时空伴随者

会当临绝顶，一览众山小。
只有证明了的结论才能成为定理！


以上的证明，除了数学归纳法之外，最主要的是用到了正弦余弦的和差公式，而定理的本质就是余弦多倍角公式的递推关系（引理一）。
sin(n+1)ɑ-sinnɑ是单角ɑ正弦余弦的n+1次多项式函数，含有因子sinɑ，提取出来，化成只有余弦的n次多项式，就是fn(cosɑ)。

luyuanhong

楼上 时空伴随者 的解答很好！已收藏。

cgl_74

王守恩 发表于 2022-10-9 09:37
Solve[{8 Cos[x]^3 - 4 Cos[x]^2 - 4 Cos[x] + 1 == 0, \  > x > 0}, {x}] // FullSimplify
{{x -> (5 \ ...

没有看懂你的回复。
验证到n为多少了？猜想是否成立呢？这个也与计算精度相关，可能差之毫厘，谬之千里。

cgl_74

时空伴随者 发表于 2022-10-10 09:50
会当临绝顶，一览众山小。
只有证明了的结论才能成为定理！

首先赞一个👍。
自己提出的猜想，自己想办法证明，形成闭环！责任心很强！
我仔细学习了一下你的证明，发现最后那个最关键的证明，数学归纳法，用得有问题！a值没有统一。造成了自我循环论证。在假设n=k正确时，a的值为pi/2k+1; 但是当n= k+1时，你指定的a变成为pi/2k+3了，变量混乱了。
意见供参考和讨论。

cgl_74

cgl_74 发表于 2022-10-10 20:30
首先赞一个👍。
自己提出的猜想，自己想办法证明，形成闭环！责任心很强！
我仔细学习了一下你 ...

时空伴随者

cgl_74 发表于 2022-10-10 21:10

欢迎参与讨论。
这是一个很大的题目，\(f_n(x)\)对应的是一系列的函数，归纳法，只是针对n进行的。而本定理关心的只是每个函数的一个0点。如果你认为，还没有被证实，就把它当作猜想好了。还是那句话，大胆地假设，小心地求证。